- •ВВЕДЕНИЕ
- •Глава XIV ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
- •Раздел I
- •Виды случайных событий
- •Классическое определение вероятности
- •Основные формулы комбинаторики
- •Статистическое определение вероятности
- •Непосредственное вычисление вероятностей
- •§ 2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •§ 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
- •§ 4. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •§ 5. Формула полной вероятности
- •§ 6. Формула Бейеса
- •§ 7. Схема Бернулли
- •Раздел II
- •§ 2. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины, их свойства
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Примеры решения задач
- •§ 3. Примеры распределения случайных величин
- •3.1 Биномиальное распределение
- •3.2 Распределение Пуассона
- •3.3 Нормальное распределение
- •3.4. Равномерное распределение
- •3.5 Показательное (экспоненциальное) распределение
- •§ 4. Система случайных величин
- •§ 5. Ковариация и коэффициент корреляции
- •Свойства коэффициента корреляции
- •§ 6. Закон больших чисел. Теорема Чебышева
- •§ 7. Центральная предельная теорема Ляпунова
- •Глава XV МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
- •§ 1. Задачи математической статистики
- •§ 2. Выборочный метод
- •2.1 Генеральная и выборочная совокупности
- •2.2 Статистическое распределение выборки
- •2.3 Эмпирическая функция распределения
- •2.4 Полигон и гистограмма
- •2.5 Оценки математического ожидания
- •2.6 Оценки дисперсии
- •§ 3. О статистической проверке гипотез
- •ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ
- •КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
29
Пример 4. |
|
при |
x < 0, |
0, |
|||
|
λ (4x − x3 ), |
при 0 ≤ x ≤ 2, |
|
Дана функция f (x) = |
|||
|
0, |
при |
x > 2. |
|
Определить, при каком значении λ функция f (x) может быть принята за плотность вероятности случайной величины X . Определить это значение
λ , найти M ( X ) и σ( X ) .
Решение.
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f (x) dx =1 |
|
f (x) – плотность некоторой случайной величины X . |
||||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 = λ(8 − 4) = 4λ =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ f (x) dx = λ∫(4x − x3 ) dx = λ(2x2 − x4 4) |
|
|
|
|
λ = |
|||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+∞ |
|
2 |
|
|
2 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
2 = |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
M ( X ) |
= ∫x f (x) dx = ∫x (x |
− x3 4) dx = ∫(x2 − x4 4) dx = |
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
0 |
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
20 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= 8 − |
8 |
= |
16 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D( X ) = M ( X 2 ) −[M ( X )]2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+∞ |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
x |
6 |
|
|
2 = |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
M ( X 2 ) = ∫x2 f (x) dx = ∫x2 (x − x3 4) dx = ∫(x3 − x5 4) dx = |
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
24 |
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= 4 − |
8 |
= |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D( X ) = |
4 |
− 256 |
= |
900 −768 = |
132 |
|
= |
44 |
, σ( X ) = |
D( X ) = |
|
|
44 |
|
≈ 0,44 . |
|||||||||||||||
3 |
3 225 |
|
|
|
15 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
225 |
|
3 225 |
225 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. Примеры распределения случайных величин
3.1 Биномиальное распределение
Определение. Распределение случайной величины X , равной количеству появлений события A в схеме Бернулли из n испытаний, называется
биномиальным распределением.
В этом распределении значению k случайной величины X соответствует вероятность Pn (k) = Cnk pk qn −k , k =1, 2, ..., n , где p – вероятность наступления события A в одном испытании, а q =1 − p .
30
Теорема. Пусть X – случайная величина с биномиальным распределением. Тогда
M ( X ) = np , |
D( X ) = npq , |
σ( X ) = npq . |
Доказательство.
Т.к. биномиальное распределение дискретно, имеем:
n
Очевидно, что X = ∑Xi , где Xi – случайная величина, равная количе-
i =1
ству наступлений события A в i -ом испытании. Все Xi независимы и имеют
закон распределения: |
M ( Xi ) = 0 q +1 p = p . |
|||
|
|
|
Отсюда |
|
|
0 |
1 |
||
|
D( Xi ) = M ( Xi2 ) −[M ( Xi )]2 = 0 q +12 p − p2 = |
|||
|
|
|
||
|
q |
p |
||
|
|
|
= p − p2 = p (1 − p) = pq . |
|
|
|
|
Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии имеем:
n
M ( X ) = ∑M ( Xi ) = n M ( Xi ) = np ,
i =1
n
D( X ) = ∑D( X i ) = npq ,
i =1
σ( X ) = D( X ) = npq .
3.2 Распределение Пуассона
Определение. Распределение случайной величины X , принимающей
значения k {0, 1, 2, ..., } с вероятностями P(k) = ak |
e−a , где |
a > 0 |
– некото- |
k ! |
|
|
|
рый параметр, называется пуассоновским распределением или распределением Пуассона.
Теорема. |
Пусть X |
– случайная величина, |
подчиненная пуассонов- |
|||||||||||||
скому закону распределения. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M ( X ) = a , |
|
|
|
D( X ) = a , |
σ( X ) = a . |
|
|
|
||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. пуассоновское распределение дискретно, имеем: |
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
∞ |
|
a |
k |
|
|
|
∞ |
a |
k −1 |
|
|
|
|
||
M ( X ) = ∑k pk = ∑k |
|
a−a = a e |
−a ∑ |
|
|
= a e−a ea = a . |
||||||||||
k ! |
(k −1)! |
|||||||||||||||
k =0 |
k =0 |
|
|
|
|
k = |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
14243 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ea |
|
|
|
|
|
|
|
D( X ) = M ( X 2 ) −[M ( X )]2 |
∞ |
|
k |
|
|
|
|
∞ |
|
k −1 |
− a2 = |
|||||
= ∑k 2 a |
|
− a2 = e−a a ∑k a |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
k =0 |
k ! |
|
|
|
|
k =1 |
(k −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
∞ |
[(k −1) +1]a |
k −1 |
|
|
∞ |
a |
k −2 |
∞ |
a |
k −1 |
|
|
||
= e−a a ∑ |
|
− a2 |
= e−a a2 |
∑ |
|
|
+ e−a a ∑ |
|
|
− a2 |
= |
|||
(k −1)! |
|
(k − 2)! |
(k −1)! |
|||||||||||
k =1 |
|
|
|
k =2 |
k =1 |
|
|
= e−a a2 ea + e−a a ea − a2 = a .
σ( X ) = D( X ) = a .
3.3 Нормальное распределение |
|
||||
Определение. Распределение непрерывной случайной величины |
X , |
||||
заданное дифференциальной функцией распределения |
|
||||
f (t) = |
|
1 |
e−(t −a)2 (2σ 2 ) , |
(1) |
|
σ |
2π |
||||
|
|
|
где a R и σ > 0 – некоторые параметры, называется нормальным распре-
делением.
Теорема. Если X – нормально распределенная случайная величина с дифференциальной функцией распределения (1), то
M ( X ) = a , |
D( X ) =σ 2 , |
σ( X ) =σ . |
Теорема устанавливает, таким образом, вероятностный смысл параметров нормального распределения.
Нормальное распределение (нормальная случайная величина) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и в приложениях теории вероятности к практическим задачам.
Эта роль объясняется установленным фактом. Если известно, что изучаемая случайная величина X складывается из большого количества случайных величин, каждое из которых оказывает лишь небольшое влияние на всю сумму, то можно считать, что X распределена нормально.
Например, ошибка, допускаемая при измерении какой-либо физической величины, складывается, по-видимому, из большого числа ошибок, вы-
званных многочисленными причи- f (t) нами. Поэтому, как правило, слу-
чайная ошибка измерения имеет нормальное распределение.
|
|
|
|
Рассмотрим нормальное рас- |
|
|
|
|
|
пределение более подробно. |
|
|
|
|
|
График функции (1) изобра- |
|
a −σ |
a |
a +σ |
t |
жен на рис. 14.1. Его можно полу- |
|
чить из “стандартного графика” |
|||||
|
Рис. 14.1 |
|
|
нормального |
распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
f (t) = |
1 |
|
e−t 2 2 |
( a = 0 , |
σ =1) сдвигом на a |
единиц вправо, с последую- |
||||||
2π |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
щим растяжением по горизонтали относительно оси симметрии в σ |
раз. |
|||||||||||
Функция |
y = |
1 |
e−x 2 2 |
табулирована. Она упоминается в формулировке |
||||||||
2π |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
локальной теоремы Муавра-Лапласа. Кривая |
f (t) = |
|
e−(t −a)2 (2σ 2 ) |
сим- |
||||||||
σ |
2π |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метрична относительно прямой t = a . Точка t = a является точкой максимума функции, а точки a ±σ – точками перегиба. Чем больше σ , тем кривая положе.
Интегральный закон распределения, соответствующий дифференциальному закону (1), имеет вид:
t |
1 |
|
|
|
|
|
⌠ |
|
−(t −a)2 (2σ 2 ) |
|
|
||
F(t) = |
|
|
e |
|
dt . |
(2) |
|
2π |
|
||||
⌡ σ |
|
|
|
|
−∞
Интеграл (2) нельзя вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. удобно выразить F(t) через табулированную функцию Лапласа:
t |
|
|
1 |
|
|
|
|
⌠ |
|
|
|
|
−t 2 2 |
|
|
Ф(t) = |
|
|
|
|
e |
|
dt . |
|
|
2π |
|
||||
⌡ |
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Именно, |
1 |
|
|
t − a |
|
||
F(t) = |
+ |
|
|
||||
2 |
Ф |
σ |
. |
||||
|
|
|
|
|
По интегральной теореме Муавра-Лапласа имеем:
Однако
(3)
(4)
|
β − a |
|
α − a |
(5) |
||
P(α ≤ X < β) = F(β) − F(α) = Ф |
σ |
|
−Ф |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
или
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
β |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
⌠ |
|
|
−(t −a)2 |
(2σ 2 ) |
|
|
|||
|
|
|
P(α ≤ X |
< β) = f (t) dt = |
|
|
e |
|
|
|
|
dt = |
|
|||||
|
|
|
σ 2π |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β −a |
|
|
|
|
|
β −a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
1 |
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
⌠ |
|
−u 2 |
2 |
|
⌠ |
|
|
|
|
|
|
−t 2 2 |
|
||||
= |
|
|
|
e |
|
|
du = |
ϕ(t) dt , |
|
где |
ϕ(t) = |
|
|
e |
|
. |
||
|
2π |
|
|
|
2π |
|
||||||||||||
|
⌡ |
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
α −a |
|
|
|
|
|
α −a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
|
Величина X распределена нормально с параметрами a = 5, σ =1. Най- |
|
ти вероятность того, что X примет значение в интервале [4; 7 |
]. |