2. Теоретическая часть

У различных фильтров существуют параметры, характеризующий данный тип фильтра: частота среза, добротность фильтра и передаточная функция.

Частота среза – это частота, выше или ниже которой мощность выходного сигнала электронной схемы уменьшается вполовину от мощности в полосе пропускания. Для каждого фильтра она вычисляется своеобразным образом, учитывая особенности рассматриваемого устройства.

Добротность фильтра – это характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

(6)

Где - f0 – резонансная частота колебаний;

- W – энергия, запасённая в колебательной системе;

- Pd – рассеиваемая мощность.

Передаточная функция – дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Пусть u(t) – входной сигнал линейной стационарной системы, а y(t) – её выходной сигнал. Тогда передаточная функция H(s) такой системы запишется в виде

(7)

где U(s) и Y(s) – преобразования Лапласа для сигналов u(t) и y(t) соответственно

(8)

(9)

Кроме того, для каждого полюса, относящегося к комплексному коэффициенту усиления фильтра G, есть другой – комплексно-сопряжённый, а для каждой комплексно-сопряжённой пары есть два полюса, отличающихся от них только знаком действительной части полюса. Передаточная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюса должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением

(10)

где – только те полюса, которые имеют отрицательную действительную часть.

2.1 Фильтр низких частот

Приведём пример фильтра низких частот с единичным коэффициентом усиления в полосе пропускания (рисунок 5).

Рисунок 5 – Фильтр Саллена-Кея низких частот

Операционный усилитель в данной схеме используется в качестве повторителя напряжения. В общем случае частота среза и добротность фильтра Q задаются следующими уравнениями

(11)

(12)

Типовые схемы активных фильтров рассчитаны, и параметры их элементов можно взять из таблиц, подставив в них необходимые исходные данные.

К примеру, представленная схема имеет частоту среза 15,9 кГц и добротность 0,5. Передаточная функция фильтра будет иметь следующий вид

(13)

2.2 Фильтр высоких частот

Рассмотрим пример фильтра высоких частот с частотой среза в 72 Гц и добротностью 0,5 и, также, с единичным коэффициентом усиления в полосе пропускания (рисунок 6).

Рисунок 6 - Фильтр Саллена-Кея высоких частот

Аналогично будут выглядеть соответствующие уравнения для частоты среза

(14)

но для добротности

(15)

где Сx – общая ёмкость двух конденсаторов при последовательном соединении

(16)

2.3 Полосовой фильтр

Представим пример полосового фильтра с известными сопротивлениями и ёмкостями составляющих его элементов (рисунок 7).

Рисунок 7 – Полосовой фильтр Саллена-Кея

Пиковая частота среза и добротность фильтра Q будут вычисляться по следующим уравнениям.

(17)

Делитель напряжений в обратной связи управляет коэффициентом усиления. «Внутреннее усиление» G задаётся следующим соотношением

(18)

Тогда усиление на пиковой частоте будет равным

(19)

Можно заметить, что коэффициент G не должен превышать 3, в противном случае фильтр станет генерировать колебания.

автоматический управление фильтр

3. Расчётная часть

3.1 Выбор и обоснование схемы фильтра

3.1.1 Формирование шаблона и определение порядка фильтра

Исследуем предоставленный фильтр Саллена-Кея. Для этого определяем вид шаблона амплитудно-частотной характеристики проектируемого фильтра, отметив необходимые значения коэффициентов передач Г и частот f (рисунок 8).

|Г|

Г_з = 15

5

10

Г_min

Г_max = 20

f, Гц

100

f_з

200

f_пр

300

Рисунок 8 – Зависимость коэффициента передачи исследуемого фильтра от частоты

Для расчета фильтра сделаем переход от реального фильтра высоких частот к нормированному фильтру-прототипу низких частот, преобразовав коэффициенты передачи и граничные частоты.

(20)

(21)

(22)

где и- максимальный и минимальный коэффициенты передачи реального фильтра высоких частот;

и - максимальный и минимальный коэффициенты передачи фильтра-прототипа низких частот;

и- задерживающая и предельная частота реального фильтра высоких частот;

- коэффициент перехода по частоте фильтра-прототипа низких частот.

По вышеприведённым формулам (15), (16) и (17) получим:

(Дб);

(Дб);

Определяем порядок фильтра по формуле:

(23)

Подставив в формулу (18) ранее полученные значения коэффициентов, вычислим порядок фильтра

Округляем до ближайшего большего целого и получаем порядок фильтра n=2. Кроме того, порядок фильтра равен числу реактивных компонентов, использованных при его реализации. Имея дело с фильтром Саллена-Кея, на данном этапе можно утверждать, что количество конденсаторов в его устройстве также будет равно n=2.

3.1.2 Передаточная функция фильтра

Рассчитываем передаточную функцию нормированного ФНЧ по формуле (2). Находим полиномы Y(s) и U(s) из таблиц для фильтра II порядка, учитывая, что пульсации в полосе пропускания равны Дб. Получаем передаточную функцию для :

Сделаем обратный переход от нормированного фильтра низких частот к проектируемому, для чего преобразуем передаточную функцию:

(24)

где

(25)

Подставив значения в формулу (20) получим:

Совершив необходимые замены, масштабируем по частоте:

Тогда и передаточная функция примет следующий вид:

3.1.3 Выбор схемного решения

В соответствии с техническим заданием и рассчитанными параметрами, в качестве схемного решения выбираем ФВЧ-ІІ Саллена-Кея, так как схема имеет небольшой диапазон номиналов элементов. Порядок всего фильтра n=2 совпадает с порядком звена Саллена-Кея (рисунок 9), поэтому для построения фильтра необходимо одно звено.

Рисунок 9 – Устройство ФВЧ-ІІ Саллена-Кея

3.2 Топологическая модель и расчет элементов фильтра

3.2.1 Граф Мезона ФВЧ- ІІ

Составим граф Мезона для выбранной схемы (рисунок 10).

sC₁

sC₂

G₁+sC₁

G₂+sC₂

0

+1

-1

G₄+ G₃

Рисунок 10 - Граф Мезона для ФВЧ-ІІ

Далее найдём передаточную функцию по формуле Мезона

(26)

Сопоставим с канонической формулой для ФВЧ-ІІ

(27)

Откуда получим

(28)

(29)

(30)

Подставив численные значения, получим

3.2.2 Расчет элементов схемы

Пусть в исследуемой схеме ёмкость конденсаторов (нФ). После чего из известных соотношений для фильтра определим сопротивление резисторов (Ом).

Сопротивление выберем произвольно, возьмём, к примеру, кОм, а из известного соотношения вычислим :

Установив в схему рассчитанные значения, можно снять АЧХ фильтра, которая примет следующий вид (рисунок 11).

u

Рисунок 11 - АЧХ проектируемого фильтра

3.3 Методика настройки и регулировки фильтра

Коэффициент усиления фильтра можно настроить при помощи резисторов и

(31)

При использованном в схеме операционном усилителе, сопротивление резистора можно выбирать в пределах от нескольких кОм до 1 МОм. При меньшем значении становится большим ток, потребляемый схемой, а при большем – вносит своё влияние входное сопротивление микросхемы.

Сопротивление определяется из формулы (31) для требуемого коэффициента усиления. Учитывая описанное формулой (29) раньше соотношение, можно показать, что максимально достижимый коэффициент усиления в полосе пропускания равен 3. В этом случае добротность фильтра наибольшая, но при этом присутствуют наибольшие пульсации в полосе пропускания. При попытке увеличения фильтр самовозбуждается и превращается в генератор колебаний на частоте . Из этого ограничения определим, что сопротивление лежит в диапазоне от 0 до . При нулевом сопротивлении схема становится фильтром Баттерворта с единичным усилением.

Кроме того, частоту можно настроить с помощью элементов , , и

(32)

При условии, что и , формула (32) упрощается

(33)

Если сопротивления и ёмкости не равны, то соотношением к и к регулируется добротность фильтра. При этом также нужно учитывать, что при больших добротностях фильтр склонен к самовозбуждению.

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены различные типы фильтров Саллена-Кея, а также разработан фильтр высокой частоты второго порядка, который состоит из одного звена Саллена-Кея 2 порядка. Устройство обеспечивает максимальный коэффициент усиления 3,2 в полосе пропускания. Частота полосы пропускания =180 кГц, что на 10% отличается от заданной. Это обусловлено использованием элементов из стандартного ряда, которые имеют разброс номиналов 10%. Фильтр допускает простую настройку коэффициента усиления и частоты пропускания, а также имеет небольшой разброс номиналов элементов. Из недостатков можно назвать наличие пульсаций в полосе пропускания.

Список использованных источников

1. Зеленин А.Н, Костромицкий А.И, Бондарь Д.В. Активные фильтры на операционных усилителях. – Х.: Телетех, 2000. - 136 с.

2. Ногин В.Н. Аналоговые электронные устройства: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1992. – 309 с.

3. Р. Богнер, А. Константинидис Введение в цифровую фильтрацию. — Москва: Мир, 1996.

4. Э. Оппенгейм Применение цифровой обработки сигналов. — Москва: Мир, 1990.

5. Рабинер Л.Р., Гоулд В. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

6. Хэмминг Р. У. Цифровые фильтры. — М.: Советское радио. 1980.