§ 14. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы

Рассмотрим случай, когда материальная точка движется из точки 1 в точку 2 под действием приложенных к ней сил (рис.14.1.)

Рисунок 14.1

Причем силы, действующие на материальную точку, могут иметь разную природу, т.е. могут быть консервативными и неконсервативными. Уравнение движения в этом случае запишется в виде

(14.1)

Перепишем в виде

(14.2)

Умножим скалярно уравнение (14.2) на и проинтегрируем от точки 1 до точки 2, получим:

. (14.3)

Учитываем то, что dt =, и интеграл в правой части выражения(14.3) представляет собой работу всех сил, на участке 1-2, можно записать:

(14.4)

Величина

. (14.5)

называется кинетической энергией материальной точки. Таким образом, кинетическая энергия материальной точки – это энергия, которой обладает эта точка вследствие своего движения.

Из полученного выражения (14.4) следует, что работа всех сил, действующих на материальную точку на участке траектории 1-2 равна изменению ее кинетической энергии на этом участке.

Потенциальная энергия - это энергия, обусловленная взаимным расположением тел и характером их взаимодействия. При соответствующих условиях возможно изменение потенциальной энергии, за счет чего совершается работа. Для поднятия тела массой m на высоту необходимо совершить работу против сил тяготения Р:, знак минус перед интегралом, т.к. сила Р направлена в сторону противоположную изменениюh.

Проинтегрируем это выражение:

Эта энергия пойдет на увеличение энергии замкнутой системы тело-Земля т.е. численно равна

Считая поверхности Земли , получим

Эта энергия системы тело - Земля и является потенциальной энергией тела, поднятого на высоту h:

. (14.6)

Единица кинетической и потенциальной энергии – Джоуль (Дж).

§ 15. Закон сохранения и превращения энергии

Рассмотрим процесс изменения состояния тела, поднятого на высоту h. При этом его потенциальная энергия

Тело начало свободно падать . Из кинематики известно, что момент достижения поверхности земли оно будет иметь скорость

 и кинетическую энергию:

(15.1)

Кинетическая энергия тела, упавшего с высоты h, оказалась равной его потенциальной энергии, которую оно имело до начала падения. Следовательно:

(15.2)

На поверхности Земли h=0 и потенциальная энергия , а-максимальна. В начале падения, ат.е. потенциальная энергия переходит (превращается) в кинетическую. Таким образом, при падении тела в системе тело-Земля кинетическая энергия возрастает и, следовательно, ее изменениеравное работе, имеет положительный знак, т.е.

. (15.3)

Потенциальная энергия - уменьшается, и, следовательно, ее изменение имеет знак минус. Поэтому можем записать:

(15.4)

Сложив (15.3) и (15.4), получим

(15.5)

Сумма  представляет собой полную энергию, и, следовательно,, а.

Таким образом, энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной при всех, происходящих в ней процессах и превращениях. Энергия может переходить из одних видов в другие (механические, тепловые, и т.д.), но общее ее количество остается постоянным. Данное положение называют законом сохранения и превращения энергии.