Лаба 2 3 4
.docxЛабораторная работа № 2
Минимизация функции нескольких переменных
Ход работы:
Запускаем программму, вводим фамилию имя и вариант (рисунок 1).
Рисунок 1 – Окно запуска программы
Открывается окно выбор параметров расчета (рисунок 2). Согласно варианту заполняем:
начальное ребро симплекса = 1;
координаты начальной точки поиска – дальняя точка, абсцисса -11, ордината 11(по варианту);
метод построения симплекса – правильный;
точность расчета 0,0001.
Рисунок 2 – Выбор параметров расчета для дальней точки, по правильному симплексу
Кликаем на кнопку вычислить, и переходим в следующее окно программы (рисунок 3).
Рисунок 3 – Вычисление минимума функции для дальней точки по правильному симплексу
На рисунке 3 видим результат нахождения точки минимума для всех точностей от 1 до 0,0001. Далее выводим результаты вычислений (рисунок 4).
Рисунок 4 – Результаты расчета минимума функции по правильному симплексу для дальней точки
Заполним таблицу 1, по результатам расчета.
Таблица 1 – Значение функции после каждой итерации при достигаемой точности для дальней точки по правильному симплексу
№ итерации |
Ребро симплекса |
Достигаемая точность |
x0 |
x1 |
x2 |
f(x0) |
f(x1) |
f(x2) |
29 |
0.25 |
1 |
-2.88 1.967 |
-3.12 1.902 |
-3.06 2.143 |
0.7062
|
1.4619 |
1.6762 |
34 |
0.031 |
0.1 |
-2.99 1.995 |
-3.01 2.017 |
-3.02 1.986 |
0.0063 |
0.0284 |
0.0321 |
35 |
0.15 |
0.01 |
-3.007 2.006 |
-2.99 1.995 |
-3.007 1.991 |
0.0027 |
0.0063 |
0.0071 |
37 |
0.003 |
0.001 |
-2.99 1.99 |
-3.002 2.002 |
-3.002 1.99 |
0.00002 |
0.00006 |
0.00006 |
39 |
0.00156 |
0.0001 |
-3.005 2.0054 |
-2.99057 1.99 |
-3.00162 1..99036 |
0.00001 |
0.00002 |
0.00002 |
Далее проделываем такие же действия для ближней точки согласно варианту:
начальное ребро симплекса = 1;
координаты начальной точки поиска – ближняя точка, абсцисса -4, ордината
3(по варианту);
метод построения симплекса – правильный;
точность расчета 0,0001 (рисунок 5).
Рисунок 5 – Выбор параметров расчета для ближней точки, по правильному симплексу
Делаем расчет для выбранных параметров и получаем следующее (рисунок 6).
Рисунок 6 – Вычисление минимума функции по правильному симплексу для ближней точки
Выводим результат вычисления (рисунок 7).
Рисунок 7 – Результаты расчета минимума функции по правильному симплексу для ближней точки
Заполним таблицу 2 по результатам расчета для дальней и ближней точки.
Таблица 2 - Минимальное значение функции после каждой итерации при достигаемой точности для ближней и дальней точки по правильному симплексу.
Для дальней начальной точки |
Для ближней начальной точки |
||||||
Параметр точности |
Число итераций |
Координаты точки минимума |
Значение функции в точке минимума |
Параметр точности |
Число итераций |
Координаты точки минимума |
Значение функции в точке минимума |
1 |
29 |
-2.88 1.967 |
0.7062
|
1 |
8 |
-3.02773 2.02773 |
0.09226 |
0.1 |
34 |
-2.99 1.995 |
0.0063 |
0.1 |
12 |
-3.00563 2.00563 |
0.00381 |
0.01 |
35 |
-3.007 2.006 |
0.0027 |
0.01 |
14 |
-2.99458 1.99458 |
0.00352 |
0.001 |
37 |
-2.99 1.99 |
0.00002 |
0.001 |
18 |
-3.00011 2.00011 |
0 |
0.0001 |
39 |
-3.005 2.0054 |
0.00001 |
0.0001 |
20 |
-3.00011 2.00011 |
0 |
По исследованным данным найдем абсолютные и относительные погрешности для ближней и дальней точки по следующим формулам.
Абсолютная погрешность х=хист-хизм
Относительная погрешность
Где хист – теоритическая точка минимума;
хизм – координата точки полученная в результате расчета;
n – число измерений или число итераций.
Заполним таблицу 3.
Таблица 3 – Абсолютная и относительная погрешности для правильного симплекса
Относительная погрешность |
Абсолютная погрешность |
|||||||
Для дальней точки |
Для ближней точки |
Функция |
Для дальней точки |
Для ближней точки |
Функция |
|||
д.т. |
б.т. |
д.т. |
б.т. |
|||||
0,22 0,23 |
0,27 0,35 |
0,025
|
0,023
|
1,4 1,5 |
1,024 1,731 |
1,109 |
1,02 |
|
0,03 0,105 |
0,19 0,11 |
0,02 |
0,019
|
0,19 0,31 |
0,506 0,200 |
0,036 |
0,0075 |
|
0,06 0,018 |
0,075 0,083 |
0,01 |
0,002
|
0,108 0,012 |
0,088 0,088 |
0,0027 |
0,0039 |
|
0,05 0,01 |
0 0 |
0,002
|
0,001 |
0,0040 0,015 |
0 0 |
0 |
0 |
|
0 0 |
0 0 |
0
|
0
|
0 0 |
0 0 |
0 |
0 |
Вывод: Рассчитав минимум функции по правильному симплексу для ближней и дальней точки видим, что относительная и абсолютная погрешности невелики, а при достаточном числе итераций, для дальней точки 27-29, для ближней точки 13-14, погрешности и вовсе равны нулю.
Лабораторная работа № 3
Минимизация функции нескольких переменных
Ход работы:
Запускаем программу минимизация функции нескольких переменных и вводим начальные значения для дальней точки, но уже по деформируемому симплексу, согласно варианту и по способу построения – равносторонний треугольник (рисунок 1).
Рисунок 1 – Выбор параметров расчета для дальней точки по деформируемому симплексу
начальное ребро симплекса = 1;
координаты начальной точки поиска – дальняя точка, абсцисса -11, ордината 11(по варианту);
метод построения симплекса – деформируемый;
точность расчета 0,0001.
Нажимаем вычислить и переходим в следующее окно (рисунок 2).
Рисунок 2 - Вычисление минимума функции по деформируемому симплексу для дальней точки, способом равностороннего треугольника
Выводим результаты вычисления (рисунок 3).
Рисунок 3 – Результаты расчета минимума функции по деформируемому симплексу для дальней точки
Заполним таблицу 1 по результатам расчета для дальней точки.
Таблица 1 – Значение функции после каждой итерации при достигаемой точности для дальней точки по деформируемому симплексу, по способу равностороннего треугольника.
№ итерации |
Достигаемая точность |
x0 |
x1 |
x2 |
f(x0) |
f(x1) |
f(x2) |
14 |
1 |
-2.9557 1.9277 |
-2.861 2.05335 |
-3.0142 2.1359 |
0.47057 |
1.1325 |
1.3403 |
18 |
0.1 |
-2.9749 2.0161 |
-3.0072 1.99665 |
-2,9969 1.9713 |
0,04817 |
0,0832
|
0,1027 |
22 |
0.01 |
-3,0016 2.0013 |
-2.9961 1.9954 |
-2.9873 2.0053 |
0,00024
|
0,00023 |
0,0097 |
25 |
0.001 |
-3,0159 2.0013
|
-2,9402 1,9912
|
-2,9505 2,0073
|
0,00024
|
0,00059
|
0,0006 |
28 |
0.0001 |
-3.0011 2.00131
|
-2,9971 1,9883
|
-3,012 1,9788
|
0,000542 |
0,000006
|
0,0001 |
Проделаем такие же расчеты для ближней точки (рисунки 4,5,6 и таблица 2).
Рисунок 4 – Выбор параметров расчета для ближней точки по деформируемому симплексу
начальное ребро симплекса = 1;
координаты начальной точки поиска – ближняя точка, абсцисса -4, ордината 3(по варианту);
метод построения симплекса – деформируемый;
точность расчета 0,0001.
Рисунок 5 – Вычисление минимума функции по деформируемому симплексу для ближней точки по способу равностороннего треугольника
Рисунок 6 – Результаты расчета минимума функции по деформируемому симплексу для ближней точки
Таблица 2 – Значение функции после каждой итерации при достигаемой точности для ближней точки по деформируемому симплексу способом равностороннего треугольника.
№ итерации |
Достигаемая точность |
x0 |
x1 |
x2 |
f(x0) |
f(x1) |
f(x2) |
8 |
1 |
-3,0493 1.9563
|
-2.9741 2.0831
|
-3.0016 2.0881 |
0.2034
|
0.2525 |
0.5652 |
11 |
0.1 |
-3,0187 1.9921
|
-2,9611 2.0018
|
-3,0037 2,0912
|
0,02126 |
0,02313 |
0,09439 |
12 |
0.01 |
-2,9187 1,9665 |
-1,8609 0,8333 |
-2,1629 1,1629 |
0,0084994 |
0,01178
|
0,0133 |
18 |
0.001 |
-1,9974 0,9837
|
-2,0013 1,0314
|
-2,0338 1,9943
|
0,00006
|
0,00025
|
0,0003 |
20 |
0.0001 |
-2,0042 1,0118 |
-1,9974 0,9837 |
-2,0166 1,000 |
0,0000394 |
0,00007
|
0,0001 |
Теперь проделаем расчет по деформируемому симплексу способом построения по базисным векторам для дальней точки (рисунки 7 и 8).
Рисунок 7 – Выбор параметров расчета по деформируемому симплексу для дальней точки способом базисных векторов
начальное ребро симплекса = 1;
координаты начальной точки поиска – дальняя точка, абсцисса -11, ордината 11(по варианту);
метод построения симплекса – деформируемый;
точность расчета 0,0001
Рисунок 8 – Вычисление минимума функции по деформируемому симплексу для дальней точки по базисным векторам
Выведем результаты вычислений (рисунок 9).
Рисунок 9 – Результаты расчета минимума функции по деформируемому симплексу, для дальней точки по способу базисных векторов
Заполним таблицу 3
Таблица 3 – Значение функции после каждой итерации при достигаемой точности для дальней точки по деформируемому симплексу способом базисных векторов
№ итерации |
Достигаемая точность |
x0 |
x1 |
x2 |
f(x0) |
f(x1) |
f(x2) |
14 |
1 |
-3,0625 1,91875
|
-2,9586 2,8008
|
-2,8156 2,0469
|
0,28601
|
0,4723
|
1,4139 |
17 |
0.1 |
-2,7649 1,9681
|
-2,0446 1,06606
|
-3,2884 2,1992
|
0,0149788
|
0,0293
|
0,0307 |
21 |
0.01 |
-2,0966 1,0317
|
-1,9876 0,8553
|
-1,7649 0,0681
|
0,002583
|
0,00528 |
0,015 |
24 |
0.001 |
-4,0226 3,0016
|
-1,9559 0,9876
|
-1,9938 0,937
|
0,0001285 |
0,00053
|
0,001 |
27 |
0.0001 |
-5,9803 4.0012 |
-2,0226 1,0016 |
-1,9869 1,0233 |
0,00009 |
0,00013 |
0,0002 |
Проведем аналогичные расчеты для ближней точки (рисунки 10,11,12 и таблица 4)
Рисунок 10 – Выбор параметров расчета по деформируемому симплексу для ближней точки способом базисных векторов
Рисунок 11 – Вычисление минимума функции по деформируемому симплексу для ближней точки по базисным векторам
Рисунок 12 – Результаты расчета минимума функции по деформируемому симплексу, для ближней точки по способу базисных векторов
Таблица 4 – Значение функции после каждой итерации при достигаемой точности для ближней точки по деформируемому симплексу способом базисных векторов
№ итерации |
Достигаемая точность |
x0 |
x1 |
x2 |
f(x0) |
f(x1) |
f(x2) |
9 |
1 |
-3.0321 2.0332 |
-4.3462 3.1321 |
-4.3213 3.1321 |
1,251 |
1,25 |
2 |
12 |
0.1 |
-1,625 0,875
|
-2,0312 1,5938
|
-2,5 1,5 |
0,03906
|
0,0415 |
0,125 |
15 |
0.01 |
-1,8442 0,9155
|
-2,1641 1,1172
|
-1,9629 0,7949
|
0,00784 |
0,01016
|
0,0109 |
19 |
0.001 |
-4,9833 3,0108
|
-3,9694 2,975
|
-2,039 1,0139
|
0,00009 |
0,00039
|
0,0004 |
12 |
0.0001 |
-2,0077 1,0034 |
-1,9825 0,9911 |
-1,9833 0,0108 |
0,0000176 |
0,0001
|
0,0001 |
Таблица 5 - Минимальное значение функции после каждой итерации при достигаемой точности для ближней и дальней точки по деформируемому симплексу, способами начального построения: равносторонний треугольник и по базисным векторам.
Для дальней начальной точки |
Для ближней начальной точки |
|||||||||||||
Параметр точности |
Число итераций |
Координаты точки минимума |
Значение функции в точке минимума |
Параметр точности |
Число итераций |
Координаты точки минимума |
Значение функции в точке минимума |
|||||||
Способ построения начального симплекса – равносторонний треугольник |
||||||||||||||
1 |
5 |
-2.7746 -4.3656 |
0.17341 |
1 |
1 |
-3,0341 -5,7412
|
1,02525
|
|||||||
0.1 |
8 |
-1,7525 -4,0672 |
0,0164 |
0.1 |
3 |
-1,1629 -2,1629
|
0,01326 |
|||||||
0.01 |
11 |
-2,0691 3,8816 |
0,00269
|
0.01 |
5 |
-1,8187 -3,9665 |
0,0084994 |
|||||||
0.001 |
13 |
-2,0159 -3,9662
|
0,000134
|
0.001 |
7 |
-1,9974 -3,9837
|
0,0000681
|
|||||||
0.0001 |
17 |
-1,9919 -3,9965
|
0,00001 |
0.0001 |
13 |
-2,0042 -4,0118 |
0,0000394 |
|||||||
Способ построения начального симплекса – по базисным векторам |
||||||||||||||
1 |
9 |
-2,0625 -3,1875
|
0,16601
|
1 |
1 |
-3 -6 |
1,25 |
|||||||
0.1 |
13 |
-1,7649 -4,0681
|
0,0149788
|
0.1 |
5 |
-1,625 -3,875
|
0,03906
|
|||||||
0.01 |
15 |
-2,0966 -4,0317
|
0,002583
|
0.01 |
8 |
-1,8442 -3,9155
|
0,00784 |
|||||||
0.001 |
19 |
-2,0226 -4,0016
|
0,0001285 |
0.001 |
13 |
-1,9833 -4,0108
|
0,0000992
|
|||||||
0.0001 |
21 |
-1,9803 -4 |
0,00009 |
0.0001 |
15 |
-2,0077 -4,0034 |
0,0000176 |
По исследованным данным найдем абсолютные и относительные погрешности для ближней и дальней точки по следующим формулам.
Абсолютная погрешность х=хист-хизм
Относительная погрешность
Где хист – теоритическая точка минимума;
хизм – координата точки полученная в результате расчета;
n – число измерений или число итераций.
Заполним таблицу 6 и 7.
Таблица 6 – Абсолютная и относительная погрешности для деформируемого симплекса по методу равностороннего треугольника.
Относительная погрешность |
Абсолютная погрешность |
|||||||
Для дальней точки |
Для ближней точки |
Функция |
Для дальней точки |
Для ближней точки |
Функция |
|||
д.т. |
б.т. |
д.т. |
б.т. |
|||||
0,52 0,145 |
0,28 0,36 |
0,25
|
0,23
|
1,456 1,578 |
1,0268 1,458 |
1,203 |
1,350 |
|
0,11 0,059 |
0,25 0,37 |
0,026 |
0,014
|
0,194 0,236 |
0,506 0,196 |
0,056 |
0,0089 |
|
0,063 0,048 |
0,12 0,05 |
0,002 |
0,002
|
0,166 0,089 |
0,056 0,056 |
0,0036 |
0,0045 |
|
0,031 0,032 |
0,027 0,027 |
0,002
|
0,001 |
0,0056 0,0123 |
0 0 |
0 |
0 |
|
0,024 0,024 |
0 0 |
0
|
0 |
0 0 |
0 0 |
0 |
0 |