2.2 Статистическое распределение выборки

Пусть для изучения количественного признака из генеральной совокупности извлечена выборка,, …,объема. Наблюдавшиеся значенияпризнаканазываютвариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке –вариационным рядом. Число наблюдений значенияназывается егочастотой, а его отношение к объему выборки–относительной частотой.

Определение.Статистическим распределением выборкиназывают перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот ( в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал).

Пример 1.

Задано распределение частот выборки объема

	5	25	30	32
	7	8	1	9	25

Написать распределение относительных частот.

Решение.

	5	25	30	32
					1

2.3 Эмпирическая функция распределения

Определение.Пусть известно статистическое распределение количественного признака.

Эмпирической функцией распределения(функцией распределения выборки) называют функцию, определяющую для каждого значенияотносительную частоту события, т.е.

,

где – число вариант, меньших,– объем выборки.

Свойства эмпирической функции

1. ;

2. – неубывающая функция;

3. Если – наименьшая варианта, то, при;

если – наибольшая варианта, топри.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения генеральной совокупности называюттеоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, чтоопределяет вероятность события, аотносительную частоту этого же события.

Известно, что , т.е. при большихимало чем отличаются друг от друга. Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Пример 2.

Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

	4	5	8
	2	5	3	10

Решение.

2.4 Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частотназывают ломаную, отрезки которой соединяют точки,, …,.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ,, …,.

Пример 3.

Дано распределение выборки

	2	3	5	6
	10	15	5	20	50

Построить полигоны частот и относительных частот.

Решение.

В случае непрерывного признака целесообразно стоить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной и находят для каждого частичного интервала– сумму частот вариант, попавших в-ый интервал.

Гистограммой частотназывают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной, а высоты равны отношению(плотность частоты). Аналогично определяетсягистограмма относительных частот.

Пример 4.

Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:

Номер инт-ла		частот
1 2 3 4 5	10-15 15-20 20-25 25-30 30-35	2 4 8 4 2	0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

Замечание.Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. 1.