4. Однородные уравнения первого порядка

Определение 1.Функция называетсяоднородной функцией -го измерения относительно переменныхи, если при любомсправедливо тождество

.

Пример. Показать однородность функции.- однородная функция нулевого измерения.

Определение 2. Уравнение первого порядка (8)

называется однородным уравнением, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительнои.

Метод решения однородного уравнения следующий. По условию . Положим в этом тождестве, получим, т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Уравнение (8) в этом случае примет вид. (9)

Сделаем подстановку , т.е.. Тогда будем иметь.

Подставляя это выражение производной в уравнение (9) получим

. Это уравнение с разделяющимися переменными:

,. Интегрируя, найдем.

Подставляя после интегрирования вместо отношение, получим интеграл уравнения (8).

Замечание.Уравнение видабудет однородным в том и только в том случае, когдаиявляются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однородных функций – функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения.

5. Линейные уравнения первого порядка.

Определение.Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида

, (10)

где и- непрерывные функции от. Будем искать решение уравнение (10) в виде произведения двух функций от. (11)

Дифференцируя обе части равенства (11), находим .

Подставляя полученное значение производной в уравнение (10), имеем

, или. (12)

Выберем функцию такой, чтобы(13)

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим

,.

Интегрируя, получим , или.

Так как нам достаточно какого-нибудь отличного нуля решения уравнения (13), то за функцию возьмем (14)

Очевидно, что . Подставляя найденное значениев (12) и, учитывая (13), получим

или;.

Подставляя значения ив формулу (11), получаем

. (15)

Пример.Решить уравнение.

;;;;;

;;;;;;;

;;.

Замечание:При нахождении решения линейного уравнения (10) можно пользоваться формулой (15).

6.Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение . (16)

Предположим, что , дифференцируемые в некоторой области.

Определение.Если левая часть уравнения (16) представляет собой полный дифференциал некоторой функции, то (16) называетсяуравнением в полных дифференциалах.

Другими словами, уравнение (16) представляется в виде ; откуда,

интегрируя, найдем общий интеграл .

Теорема.Для того чтобы уравнение (16) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в областивыполнялось условие

(17)

Лекция 10. Дифференциальные уравнения высшего порядка