11081
.pdf
Через границу идет тепловой поток плотностью ккал/м2 час.
За время на границе выделится количество теплоты:
.
За это время изотерма подвинется на , м.
Выделившаяся теплота пойдет на растаивание следующей массы льда:, т:
где – пористость грунта (объем пор в единице объема грунта);
–объем грунта;
–объем льда в грунте (полагается что все поры заполнены льдом);
– плотность льда, т/м3;
Что бы растаять эту массу льда необходимо количество теплоты:
где – теплота плавления льда, ккал/т. |
Мкал/т |
220
Считая, что вся выделившаяся на границе теплота пошла на растаивание льда, запишем тепловой баланс:
Отсюда можно выразить подвеличину нулевой изотермы в разной форме:
Знаки
мерзнет
или записать условие на границе раздела фаз в дифференциальной форме:
Это уравнение называют условием Стефана.
Параметр 
– скрытое тепло изменения агрегатного состояния влаги в порах грунта, Мкал/м3.
221
Одномерная задача промерзания - оттаивания грунта: приближенное аналитическое решение
Л. С. Лейбензона
Формулировка задачи промерзания грунта (в общей постановке) В каждой зоне (1 и 2) процесс
|
|
описывается уравнением Фурье: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
- |
+ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
для |
|
|
|
|
|
1 м.г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
для |
|
|
, |
|
|
2 т.г. |
|
|
|
|
с краевыми условиями: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
начальными |
(z), |
|
|
|
|
|
||||
граничными |
|
|
; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и условием на границе раздела фаз:
222
Приближенное аналитическое решение Л. С. Лейбензона (1931 г, СССР)
Принято следующее распределение температуры:
2) |
1) |
1 м.г.
3) распределение ϑ в мерзлой |
|
зоне по линейному закону |
2 т.г. |
223
Найдем градиенты температуры на границе раздела фаз:
Тогда из условия на границе раздела фаз следует:
. |
( ) |
|
( )
Подставляя выражение для ( ) в уравнение ( ) и интегрируя правую часть (отдельно числитель и знаменатель), получим характеристическое уравнение для определения коэффициента :
( )
224
;
.
0 |
365 |
t, сутки |
1
2 z, м
225
Учет зависимости |
в задачах о стационарной теплопроводности |
|||||||
|
|
|
|
|
[Богословский, 1957] |
|||
|
Уравнение стационарной |
Уравнение стационарной |
||||||
теплопроводности для температуры |
теплопроводности для |
|||||||
|
|
град, при |
): |
относительной температуры U при |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В практических расчетах обычно принимают
λ
|
U |
Вводят шкалу относительной температуры U. |
226 |
Связь между (вывод опущен) записывается в виде:
для зоны мерзлого грунта: |
для зоны талого грунта: |
|
|
т.г.
м.г.
227
Задача о стационарном температурном состоянии основания сооружения (двухразмерные условия)
Хотим получить решение задачи Г . Применим уравнение Лапласа для температуры U. Воспользуемся приемом суперпозиции Б - В = Г .
А Возьмем задачу
U=1 U=0
Решение ее элементарно:
arctg
Б |
Воспользуемся приемом В |
Г Получим |
суперпозиции предварительно сместив |
решение |
|
|
координатные оси |
|
U=1 |
U=0 |
- |
U=1 |
U=0 |
= |
|
U=1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
U=0 |
U=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
arctg |
arctg |
arctg
228
Суперпозицию температурных полей можно осуществить графически:
2a ширина
U=1-1=0 U=1-0=1 U=0-0=0
При необходимости путем суперпозиции можно прибавить температурное поле недр Земли, изображенное в относительной температуре в виде горизонтальных изотерм:
=0 |
=1 |
=0 |
Затем температуру U можно привести в температуру град. |
229 |