11072

растягивающих цепных усилий Nx и Ny в мембране могут быть вычислены по формулам

а соответствующие цепные напряжения найдены из выражений

.

Рис. 34

Изгибающие и крутящие моменты, а также перерезывающие силы и соответствующие им напряжения в мембране отсутствуют.

30

1.9 Приближенное определение прогиба и напряжений в круглой мембране

При выводе приближенных формул предполагается, что защемленная на контуре мембрана радиусом а и толщиной h (рис.34) изгибается, образуя шаровую поверхность, и

Рис. 35

по кромкам элемента, вырезанного из мембраны двумя взаимно перпендикулярными сечениями, окажутся одинаковыми. При размерах элемента, равных единице,

Согласно уравнению равновесия сумма проекций нагрузки и усилий, действующих по кромкам элемента на нормаль z к поверхности элемента

(1.56)

Центральный угол выражаем через длину дуги кромки элемента и радиус кривизны

. Замена в уравнении (1.56), ввиду малости ,

Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности на основании зависимости (1.57)

.

Величина прогиба в середине мембраны получается на основании закона сохранения

31

где U – потенциальная энергия деформации мембраны;

A – работа внешних сил на перемещениях, вызванных деформацией мембраны.

где удельная потенциальная энергия деформации с учетом того, что на основании закона Гука

,

может быть выражена через напряжение следующим образом:

.

или после возведения скобки в квадрат и отбрасывания как величины высшего порядка малости

откуда

(1.62)

Подстановка этого значения в формулу (1.61) и значения и в формулу (1.60) дает выражение для потенциальной энергии

половины произведения элементарной силы qdxdy на прогиб w (ху):

(1.64)

Интеграл в выражении (1.64) представляет собой объем Vш.с. шарового сегмента с высотой W0 и радиусом а:

.

Поэтому выражение (1.64) примет вид

При подстановке значений (1.63) и (1.65) в выражение (1.59), получаем

32

.

Тогда прогиб в середине мембраны

Точное решение, полученное путем интегрирования дифференциальных уравнений

(1.53), дает

.

Нормальное напряжение получается, если в формулу (1.58) подставить ρ из формулы (1.62) и w0 из формулы (1.66):

или

.

Точное решение на базе системы (1.53) дает выражение

.

33

Пример выполнения задачи 1 из РГР «Расчет пластин и оболочек»

Задание

Определить нормальные напряжения и в точке на верхней поверхности

прямоугольной пластины, испытывающей изгиб от моментов М, распределенных по кромках AD и ВС. Определить радиус кривизны изогнутой срединной поверхности и наибольший прогиб w. Все значения взять из таблицы данных в соответствии с номеров варианта.

Решение

Отношение сторон пластины Следовательно, напряжения в средней части пролета можно вычислить по формулам цилиндрического изгиба.

Погонный изгибающий момент по кромкам AD и ВС

.

34

Напряжения:

Такие же напряжения будут во всех точках верхней поверхности в пределах цилиндрического изгиба.

Цилиндрическая жесткость:

Кривизна срединной поверхности:

поэтому дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности

или

Два последовательных интегрирования дифференциального уравнения дают

Условия для определения произвольных постоянных: 1) х = 0, w = 0 (прогиб по кромке AD отсутствует); 2) х = 0,30 м, (касательная к изогнутой срединной поверхности в середине пролета горизонтальна). Из первого условия следует, что С2 = 0.

Из второго условия откуда

Подставляя найденные значения С1 и С2 в уравнение прогибов, получаем

Наибольший прогиб при х = 0,30 м

.

35

Раздел 2 . Теория расчета оболочек.

2.1 Общие сведения об оболочках

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина h) мало по сравнению с другими размерами тела. Оболочки принадлежат к сплошным непрерывным системам (к дискретным системам относятся, например, стержневые системы). В настоящей главе рассматриваются наиболее часто применяемые в машиностроении оболочки постоянной толщины.

Оболочки широко применяются в различных отраслях техники. Например, подкрепленной замкнутой оболочкой является прочный корпус подводной лодки. Корпус парогенератора или турбины энергетической установки также рассчитывают как оболочку.

Цистерны, воздушные и газовые баллоны обычно представляют собой оболочки вращения цилиндрической, шаровой или каплевидной формы. Как оболочки рассматриваются и строительные конструкции − перекрытия и купола всевозможных очертаний со значительными пролетами, а также самолетные конструкции (фюзеляж, крылья и оперение).

Большое распространение оболочек объясняется их экономичностью по сравнению с равнопрочными конструкциями, состоящими из плоских пластин. Например, при одной и той же площади F поперечного сечения сосуда и одинаковом постоянном внутреннем давлении наибольшие напряжения в стенке сосуда вдали от торцов при прямоугольной призматической форме (рис. 36,а) будут в несколько десятков раз больше, чем при цилиндрической форме (рис. 36, б). Это обусловлено тем, что в пластинах, образующих прямоугольный сосуд, вследствие изгиба наблюдается большая неравномерность распределения напряжении, чем в цилиндрической оболочке.

Рис. 36

36

Срединной поверхностью оболочки называется геометрическое место точек, равноудаленных от ее наружной и внутренней поверхностей. Считается, что кромка незамкнутой оболочки образована поверхностью, нормальной к срединной поверхности.

Условно, в зависимости от отношения толщины h оболочки к наименьшему радиусу R кривизны ее срединной поверхности, различают два класса оболочек: толстые оболочки, у

не превышая обычную для технических расчетов погрешность в 5 % :

Большая часть оболочек, применяемых в машиностроении, относится к тонким оболочкам, однако основана на использовании достаточно сложного математического аппарата. Их теория построена в предположении, что материал изотропен, обладает идеальной упругостью, подчиняется закону Гука и перемещения точек оболочки малы по сравнению с ее толщиной. Кроме того, используются два допущения теории пластин: 1) о прямых нормалях, т. е. считается, что линейные элементы оболочки, нормальные к срединной поверхности, остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности; 2) об отсутствии поперечного давления, т. е. предполагается, что нормальные напряжения, перпендикулярные к срединной поверхности, пренебрежимо малы.

Напомним некоторые сведения из теории поверхностей. В любой точке К криволинейной поверхности (рис. 37,а) имеется плоскость П, касательная к поверхности, в которой лежат все касательные Т к плоским кривым S, проведенным на поверхности. Нормаль n в точке К перпендикулярна к касательной плоскости.

Рис. 37

Нормальное сечение поверхности в точке К получается, если рассечь ее плоскостью V, содержащей нормаль п (рис. 37,б). В любой точке К можно провести на поверхности две взаимно перпендикулярные линии главной кривизны, из которых одна имеет наибольший радиус кривизны R1, а другая наименьший R2 по отношению к радиусам всех линий, проходящих через точку К.

37

Величины и , обратные этим радиусам, называются главными кривизнами. Центры кривизны О1 и O2 в общем случае не совпадают.

2.2 Понятие о расчете оболочки произвольной формы

При изучении оболочек произвольной формы в общем случае пользуются системой криволинейных координат. Для оболочек вращения применяют цилиндрическую или сферическую системы.

При цилиндрической системе (рис. 38) за координаты принимаются: расстояние z по вертикали, отсчитываемое от точки О, определяющее параллель П, и угол , отсчитываемый от начальной плоскости у0z, определяющий положение плоскости BOA, в которой лежит меридиан М. Пересечение параллели П и меридиана М определяет положение точки К на поверхности. Радиус R представляет собой функцию от z.

Рис. 38

При сферической системе за координаты принимаются: угол , отсчитываемый в плоскости BOA от вертикальной оси z, определяющий положение параллели П, и угол , определяющий положение меридиана М. Радиус представляет собой функцию от .

Выделим из оболочки, нагруженной непрерывно распределенной нагрузкой, элемент АОВ (рис. 39,а) двумя парами смежных взаимно ортогональных сечений, содержащих главные кривизны оболочки. Обозначим через R1 и R2 соответствующие радиусы главных кривизн. Взаимно перпендикулярные оси х и у направим по касательным в точке О к линиям главных кривизн, а ось z − по нормали к срединной поверхности в точке О. На элемент АОВ действуют десять погонных усилий (рис. 39,б): изгибающие моменты Мх и My, крутящие моменты Нх и Ну, продольные силы Nx и Ny, поперечные силы Qх и Qy и сдвигающие силы Тxу и Туx. Так как элемент выделяется взаимно ортогональными плоскостями, нормальными к срединной поверхности, в пересечении плоскостей с оболочкой образуются фигуры, имеющие разные длины волокон в зависимости от длины радиусов R1 и R2.

38

Рис. 39

Размер волокна длиной, равной единице (рис. 40), на расстоянии z от срединной поверхности с радиусом R после деформации окажется

Рис. 40

Поэтому для погонных усилий, действующих по граням выделенного элемента АОВ (рис. 39,б и 40), можно составить выражения:

39