10828

∑

= 0;20

45 −

45 = 0;

41

= 20 кН

(растяжение)

5.

Вырезаем узел № 1 и рассматриваем его равновесие (рис.4.3, б):

= 0;−20+20√2

45

= 0; 0 ≡ 0.

6.

Вырезаем узел № 4 и= 0;−20

45

+20

45 = 0;

0 ≡ 0.

∑

рассматриваем его равновесие (рис.4.3, д):

= 0;20+

45

= 0;

= −20√2

= −28,2кН

(сжатие);

7.

Вырезаем узел В и проверяем справедливость результатов (рис.4.3, е):

= 0;−20+20√2

45

= 0; 0 ≡ 0.

= 0;−20

45

+20

45 = 0;

0 ≡ 0.

будетнаходитьсявравновесии,если оба усилия

и

нулевые, что следует из уравне-

ний

∑

= 0 ∑

= 0

. Равновесиенагруженногодвухстержневогоузлавзависимостиот

,

направлениянагрузки будетпри однозначных усилиях

и

(рис.4.4, б), разнозначных-

и

(рис.4.4,в)илиодномнулевомусилии

(рис.4.4,г).Трехстержневойнена-

груженныйузел(рис.4.4,д)будетнаходитьсяв

равновесии,еслиусилия

и

равны,а

= 0

усилие

равнонулю.

Равновесие нагруженного трехстержневого узла в зависимости от направления нагрузки

будет при разнозначном по сравнению с нагрузкой усилии

(рис.4.4, е),

однозначном

(рис.4.4, ж) или попарно равных значениях усилий

(рис.4.4, з). Четы-

рехстержневой ненагруженный узел, в зависимости от

положения стержней, будет в равно-

=

,

= −

весии при разнозначных усилиях

и (рис.4.4, и),

однозначных -

и

(рис.4.4, к) и

попарно равных

простых сечений

(рис.4.4, л).

4.1.2

Способ

=

,

=

Способ простых сечений заключается в определении неизвестных усилий из условия

равновесиялюбойотсеченнойчастифермы.

Проводится простое, сквозное сечение, как правило, через три стержня и рассматрива-

етсяравновесиеотсеченнойчасти.

На отсеченную часть действуют силы и усилия, образуя плоскую, произвольную сис-

тему сил,для которой можно составитьтри уравнения статикиввиде

точки,которыележат

;

здесь1,2,3-моментные

напересечениидвухизтрехстержней,

∑

= 0,∑

= 0,

∑

= 0

Пример 4.1.2. Определить от заданной нагрузки усилия

, ,

, ,

в стержнях

фермы (рис.4.5) способом простых сечений.

Решение:

×18 = 0;

= 30 кН;

1.Определяемопорныереакции:

= 0; −15×3 − 35×9 −12×15+

Проверка:

= 0; 15×15+35×9+12×3 −

×18 = 0;

= 32 кН;

= 0: − 15− 35− 12+32+30 = 0; 0 ≡ 0.

= 3×

- плечо усилия= 0; −

×6+15×3 −

× =

0;

где

рад,

,

= =

относительно точки «1»,

=

;

м

=Тогда:

= 0,3218

= 0,9487

= 3×0,9487 =

= 2,85

.

= ,

× = −51,58

кН (сжатие).

где

= 3×

– плечо

= 0; 32×3 − 15×6 − × = 0;

рад,

,

= ;

усилия

относительно точки «3»,

=

= 0,5880

×

)

= 0,5547

= 9×0,5547 =

= 4.99

.

=

(

= 1,20

м

Тогда:

кН (растяжение).

4.

Определяем усилие

×2 = 0;

=

×

= 48

∑

= 0; −

×3+

:

кН(растяжение).

∑ = 0:

−15 − ×

кН (= 0

,где

= 45 ,

= 0,7071.

Тогда:

= (

,

) = 24,04

растяжение).

∑ = 0; − ×9 − ×3+12×6 = 0; =

×

= 2 кН (сжатие).

∑МА =0;

10 3-20 3-30

6+RB 12=0;

RB =17,5кН,

∑МВ =0;

20

9+30 6=0;

R =42,5кН.

10×15-R×A 12+×

×

A

Проверка:∑Y×=0;-

10 +42,5- 20 - 30 +17,5 = 0

×

×

×

∑М3=0; RB

6+N1-7

3=0иопределяемN1-7=-35кН(сжатие).

6.

ОпределяемусилиеN . ПроводимсечениеII-II, рассматриваемравновесие правой от-

×

×

3-7

сеченнойчасти,составляемуравнениеравновесияввиде

∑У =0;

RB

30 + N3-7 sinα = 0,

N3.7 = (30 -

3⁄√3 +6

0,4472, и определяем

где sinα =

×

=×

Решение:

1. Определяемопорныереакции:

∑МA =0;

20 3-40 3+RB 9-10 12=0;

RB=20кН,

∑M =0;

20×12-R×A 9+

40 6-10 3=0;

R =50кН.

B

× ×

A

Проверка: ∑Y=0;×-20 + R×A-40 +×RB-10×= 0.

виде

∑М6=0;

20

9-RA 6+N1-2 5=0иопределяемN1-2 =24кН(растяжение)

3. Определяем

усилие N . Используя сечение I-I, назначаем моментную точку «1»,

×

×4-5

×

∑М1=0;

20

3-N4-5 5=0иопределяемN4-5=12кН(растяжение).

4. Определяем

усилие N . Проводим сечение I-I, рассматриваем равновесие левой отсе-

×

1-6×

ченнойчасти,составляемуравнениеравновесияввиде

∑Y=0;

-20+RA+N1-6

sinα=0, где sinα=

=0,6402,

иопределяемN1-6 = (20-

50)/0,6402 = - 46,86 кН (сжатие).

×

5⁄√6 +5

5.Определяем усилиеN5-6. Вырезаем узел 5, рассматриваем его равновесие, составляем

уравнение равновесия в виде

∑X=0;

-N4-5+N5-6=0иопределяем N5-6=N4-5=12кН(растяжение)

∑Y=0;

N2.5+N2-6×sinα=0, гдеsinα=5⁄√3 +5

=0,8575,

М =0; -N .

5+R 3-10 6=0и

∑определяем6 2 3×

B×N2.3 =×(20

3-10 6)/5=0.

9. Определяем усилие N3-6.

Проводим сечение II-II, назначаем моментную точку «9», рас-

×

×

∑М9 =0;

-N3-6

(b+6)-RB

(b+3)+10 6=0,

где

b=3/tgγ=

3/(2/6)=9миопределяем N

×

×

×3-6

М =0;

N . h +R 3-10 6=0,

N6×.7

= (105×6-

⁄√6

+2

∑где3 h1 =5

cosγ=6 7× 1

B×

×=4,743миопределяем N6.7

виде

∑М9=0;

N3.7 h2-RB (3+b)+10

b)=0,

N3.7=

×

sinφ=

15×4⁄√3 +4

=12,0миопределяемN.

гдеh2 =(6+b)

×

×

×

3 7

Решение:

1.Определяемопорныереакции:

∑МА=0;

-10×3-35×6-40×3+RB×9=0;

RB=40кН,

48

∑МВ=0;

-40 3+10 6+35 3-VA 9=0; VA =5кН,

∑X = 0; - НА+ 40

×

×

А × ×

= 0;

Н = 40 кН.

Проверка: ∑Y= 0;

-10 - 35 + 5 + 40 = 0.

∑М2 =0;

НА 6-35 6-V2 9 =0;

кН(сжатие).

V2=(-40-6-210)/9×=-50×

×

5. Определяем усилия O1и Д1 . Вырезаем узел 3, рассматриваем его равновесие

(рис.4.9, а), составляем уравнения равновесия:

∑X = 0;

- 40 + Д

sinp + O

cosa = 0,

∑Y= 0; Vx –Д1

cosβ + O1×1

sinα = 0,1×

cosα = sinα = 0,707;

гдеtgα = 1;

α= arctg 1= 0,7854 рад;

×

×

tgβ = 9/3 = 3;

β = arctg 3 = 1,249рад; cosβ=0,316; sinβ = 0,9487 и определяемД1

(рис. 4.9, б):

∑X=0;

O1 cosa+Д2

cosa-40=0;

Д2 =21,22 кН(растяжение).

7. Определяем

усилия Д

и O . Вырезаем узел

5, рассматриваем его равновесие (рис.

×

3

×

3

4.9, в), составляем уравнения равновесия:

∑Х= 0;

O1- Дз

cosα + O3

cosα = 0;

∑Y=0;

=0;

-35 -Дз sinα×-O3 sinα×

3,54кН(растяжение)иO = - 53,03 кН (сжатие).

определяемД3 = ×

×

3

7. ОпределяемусилиеД4.Вырезаемузел6ирассматриваемегоравновесие

(рис. 4.9, г):

∑Х=0;

O3 sina-Д4

cosβ=0;

Д4=39,52кН(растяжение).

проверки:

Вкачестве×

×

∑Y= 0; -

O3 sinα- Д4

cosβ+50 =0;

-53,03-0,707-

39,52-0,316 +50 =0;

0 =0.

×

×

Решение:

1. Определяемопорныереакции:

∑МА=0;

-25 3-40 6-45 9+RB 9=0;

RB =80кН;

∑Mв =0;

-RA× 9+

× ×

×

3=0

A

15

9+25

6+40

R =45кН,

∑У=0;

- 15×-25 -

40 -45 +80 +45

=0;

0 =0.

×

×

×

∑Y= 0;

RA-15-25 + Д3 sinα-Д4

sinα = 0; ∑Х= 0; Д3 cosα + Д4

cosα = 0;

гдеtgα = 2/3;

a = arctgα =×0,588;

×

cosα = 0,832;

×sinα =

0,5547

×

∑Y= 0;

RA- 15-25 -25 -40 + Д5-sina – Д6-sina = 0;

∑Х =0;

Д5

cosa + Д6 cosa =0

31,55 кН (растяжение), Дб = - 31,55 кН (сжатие).

иопределяемД5= ×

×

4. ОпределяемусилияO2 иU2.ПроводимсечениеIII-III,назначаеммоментнуюточку«3»,

∑Мз=0;

RA

3+15

3–О2

4=0; и определяем О2 = - 22,5 кН (сжатие). Ана-

логично составляем

уравнения равновесия в виде

×

×

×

∑M4,=0;

-RA 3+15

3+U2 4=0;иопределяемU2:

растяжение).

×

×

U2=22,5кН(

×

∑М6=0;

RB -3-45

3–U3

4=0;

иопределяемU3=26,25кН(растяжение),

∑M5=0;-RB

3-45×3+О3×4=0;×иопределяемО3 =-26,25кН(сжатие)

6.

Определяем усилияO , U , Д , Д , V , V .

×

×

× 1

1 1 2

1 2

∑Х=0; Д1

cosα+Д2

cosα=0;

sinα=0

15 +45 + Д

sinα–Д

∑Y=0; - ×

×1

2

Д =21,04кН(растяжение).

кН(сжатие),

иопределяемусилияД×1=-27,04×

2

7. Определяем усилия V4,

V6, V7. Рассматривая равновесие узлов 4, 6, 9, составляем

уравнения равновесия в виде (рис. 4.11, г)

∑Y= 0;

- V + Д

sinα-25=0,откудаV =-10кН(сжатие);

аналогичнодля4узлов1×6,9

4

∑Y=0;

-V6-Д3

sinα-40=0,

откудаV6 =-42,5кН(сжатие);

∑Y=0;

sinα-45 - V =0,откудаV =-62,5кН(сжатие).

-Д5- ×

1

7

∑Y =0; Д2

sinα+V3=0;

∑Y= 0; Д4 sinα+ V5= 0,

15 кН (сжатие), V = - 2,5 кН (сжатие).

откудаV3= - ×

5

×