Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9932

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

y 2x x

y sinx 0

y cosx

9.103.

9.104.

9.105.

2 .

y 0

9.107. { y = 2x-x

y axx, a 0

9.106.

{

9.108.

.9.109.

2 + 2 = 1

y = 4x-2x2

y 0

y ln x

y 1 x 2

x 1

y 2

y 2 .

9.110.

9.111.

x 1

x 2

x 0

В задачах 9.112 - 9.123 вычислить объемы тел, образованных вращением

вокруг оси y фигур, ограниченных линиями:

y2 4 x

x 3

y2 = x3(y > 0)

y 0 .

9.112.

x 0

9.113.

9.114. {

y = 0 .

x 2

x = 1

y x2 2x 1

y 2x x2

y arcsinx

y 0 .

y 2 x .

9.115.

9.116.

9.117.

y arccosx .

x 2

x 0

y 0

y sin x

x y 2

y 1 .

y x .

9.118.

9.119.

9.120.

x 0

y 0

x 0

x 1

x 2

9.121.

9.122.

9.123.

В задачах 9.124 - 9.132 вычислить длины дуг кривых:

B 1;1 до точки A 1;1 .

9.124.

от точки

2 x

9.125. y x2 2 между точками пересечения кривой с осью x.

9.126. y e x между точками с абсциссами x 0 и

x 1 .

1 x		x
9.127. y	e e		(цепная линия) между точками с абсциссами					x 1
2
и x 0 .
		x 3t sint
9.128. Циклоиды				, t 2 .
		y 31 cost

			3	0 t .
9.129. Астроиды x 4cos3t ,				0 t .
	y 4sint			4
				x Rcost tsint		t1 0	до t2	.
9.130. Эвольвенты окружности					от	t1 0	до t2	.
				y Rsint tcost

9.131. Кардиоиды		31 cos
9.131. Кардиоиды				.
									.
9.132. Окружности 2 3cosмежду точками, для которых 0								и	.
									4

Глава 10

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

§1. Область определения функции нескольких переменных

В задачах 10.1 - 10.12 найти и изобразить на координатной плоскости xy области определения функций:

		x 2y						1			1
10.1.	z	x 2y		10.2.		z			.	10.3.	z 2 2	.
10.1.	z		.	10.2.		z	2	2	.	10.3.	z 2 2	.
		x y					x	y			x 4y 4

										2 2
10.4.	z x y 1xy									2 2
10.4.					. 10.5. z 1x 1y.

																		2
							z 1			lnxy								z		lnx y
	z lnx y																			lnx y

10.6.					10.7.								10.8.								y x .		10.9.
10.6.				.	10.7.			x 2				.	10.8.								y x .		10.9.
		2		2																1 y2
ln1 x y							z y arcsinx 2													1 y2
z							z y arcsinx 2
		y		. 10.10.								.	10.11.						z sinx .				10.12.
		2
z lny 4x 8.
		§2. Линии уровня функции нескольких переменных
В		задачах 10.13 - 10.24 написать уравнения линий уровня функции
z f x;y и построить их:
								z	x				z	y x2								z x y y
								z	x				z	y x2								z x y y
				2																			2
10.13.		z y x .			10.14.				y .			10.15.				2			. 10.16.
															x
		z	y										z x y y
			y			z x y 1																	z x y
			x .			z x y 1
.10.17.			x .	10.18.								. 10.19.						. 10.20.
.10.21.		z y2 x.			10.22.			z	y		.	10.23.	z		x2		.	10.24.					z	2y		.
										3														2y
																2
									x						y	2									x
									x						y										x

§3. Частные производные функции нескольких переменных

В задачах 10.25 - 10.42

10.25. z x y.

x y

10.28. z 2 2 . x y

найти частные производные первого порядка:

	2	3		z	u v

10.26. z x 3xy y.			10.27.				.
					v u
10.29.	z xtgy 1		10.30.	z		2y		.

		.				sinx

	z xlny arcsiny	y	y
	z xlny arcsiny	z arctg	y
10.31.	. 10.32.	x.	10.33. z x	.

10.34.	sinx	.				3 2 4
10.34.	z y	.			10.35. z 5x y 1 .
			y
			y			2 2
						2 2
10.37.	z x ln			.	10.38.	z lnx x y.
			x

10.36.z e x .

10.39.u x y z

	uxy yz xz				y							y z

10.40.					z .		10.42.						.
10.40.			. 10.41.	u x	z .		10.42.		u x				.
				u x
								z		z		z
В задачах 10.43 - 10.48 найти производные второго порядка xx ,											yy ,		xy :

	3	2	3			1	2		3
	3	2	3			1	2	2
10.43. z x xy 5xy.					10.44.	z	x y .
						3

2 2

10.45. z lnx x y.

10.47. z ylnx .

x y

10.46. z arctg . 1 xy

10.48. z arcsinxy.

В задачах 10.49 - 10.52 найти смешанные производные указанного порядка от следующих функций:

10.49.	3 z		от z sinx y .	10.50.
10.49.	x y	2	от z sinx y .	10.50.
	x y	2
	2 u
	2 u		2 2 2
10.51.			от u x y z 2xz. 10.52.
10.51.	z y		от u x y z 2xz. 10.52.

	3 z	от	z exy2 .
x 2 y

	3u	от	u exyz.
	x y z

§4. Производные от функций нескольких переменных, заданных неявно

В задачах 10.53 - 10.58			найти производные			dy	от следующих функций:
В задачах 10.53 - 10.58			найти производные			dx	от следующих функций:
						dx
	3 3	4		y x yx
10.53. x y y x a. 10.54. xe ye e 0.
10.55.	x y lny a				3 2
10.55.		.10.56.	cosxy x y 1.
	3 3 3	2	y	x	.
10.57. x y y. 10.58. x				y	.

В задачах 10.59 - 10.66 найти

следующих функций:

2 2 2

x y z

10.59. 2 2 2 1. a b c

2 2 2

10.61. x y z 2xz1.

10.63. e x yz 0.

10.65. sinxyxzyzxyz.

z z

частные производные x , y от

2 2 2

10.60. x 2y 2z 4z0.

3 3

10.62. z 3xyz a.

10.64. e cosxcosy. 10.66. xz lnxyz.

§5. Дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

10.67. Найти частные дифференциалы первого порядка и полный дифференциал для функций:

	z	x			yx			z x sinxy
	z	y ;			yx			z x sinxy
1)		y ;	2)	z e		;	3)	;

2 2

;

xyz

4) z lnx y ;

5) u x

вычислить частный дифференциал d y z

10.68. Для функции z 3 x y

при

x2,y5, y0,01

10.69.Для функции z lnx y вычислить частный дифференциал d x z при x1,y2, x0,016.

10.70.Для функции z e yx найти значение полного дифференциала dz при

x1,y1,x0,15,y0,1

10.71. С помощью дифференциала найти приближенное значение приращения
						M x ;y
функции в точке 0							0		0 :
1)				2	2			M 11;1				x 0,11				y 0,02
		z x 11y 20xy							0 ,		если			,		;
							,		0 ,		если			,		;
				2 2								M 9;3					M9,0;2,96
2) z 2x 3y 5xyпри переходе от точки													0		к точке 1			.
10.72.				С помощью дифференциала найти приближенное значение числового
выражения:
				3,96							3,98

							2)							3)√cos20.05 + 8 0.015;
1) 1,08					;		2)			3,981,03 ;				3)√cos20.05 + 8 0.015;
									2
4)				1,99					2									2
4)		1,04			3,02;		5) 2 22,9492,941,07; 6)										3,02 3,98;
																2
																2,03
	3			2	2				3							2,03
	3			2	2				3
7)			4,971,061;				8) ln0,111,03;						9)			3		;
															2,031,057
												1
				5,01
10)		arcctg					11)		3		2	5
10)					;		11)		2,952,031				.
				4,98					2,952,031

10.73.Высота конуса H = 10 см, радиус основания R = 5 см. Как изменится объём конуса при увеличении высоты на 2 мм и уменьшении радиуса на 2 мм?

10.74.Одна сторона прямоугольника a = 6 дм, другая b = 8 дм. Как изменится диагональ прямоугольника, если a уменьшить на 4 см, а b укоротить на 1 см?

§6. Градиент и производная по направлению функции многих переменных.

10.75. Для функции

z x 2xy3y1найти проекции градиента в точке

1; 2 . Вектор

grad z

построить.

10.76. Для функции

z 4 x y построить линию уровня и градиент в точке

A 1; 2 .

10.77. Для функции

построить линию уровня, градиент функции

x y

в точке A 1; 2 и найти модуль градиента.

10.78. Для функции

2 2

gradu

u x y z найти grad u и

10.79. Найти производную функции u x y z в точке A 1;1;1 в

	0
	0
направлении l cos45;cos;cos6060.
10.80. Найти производную функции					3 2	2
10.80. Найти производную функции				zx3xy3xy1в точке
N 3;1 в направлении, идущим от этой точки к точке M 6;5 .
10.81. Для функции	z f x;y		в точке		M x ;y	найти градиент и
10.81. Для функции			в точке		0 0 0	найти градиент и
производную по направлению вектора				a :
2	M 1; 3				a 6;8
1) z 3x 2y,	0	,			;

2)	z ln3x 2y					M 1;2
				,		0		,
				y		M 1;1
	z arctg
3)				x ,		0		,
	z	x y				M 1; 2
4)
			2	2 ,		0		,
		x		y
5)				3 3		M	1;3
	z xy x y,					0		,
			2
6)
	z x cosy,					M0 1;		,
7)	z sinx y,							2
						0		,
						M	1;1
8)				2		M	3;4
	z lnx y ,					0		,
	z			x y		M 0;1
9)			2 2		,
						0		,
		x		y 1

a 3; 4 ; a 5;12;

a 1;2 ;

a 2; 1 ; a 5; 12;

a 1; 1 ; a 6; 8 ;

a 1; 1.

10.82. Найти производную по направлению наибыстрейшего роста функции в

точке M x ,y :

0 0 0

	z	1		M 1;1			z ln5x 4y	M 2;1


1)		2	2 ,			2)
1)		2	2 ,	0	;	2)	,	0	;
		x	y

3)	z arctgx y,	M 1;1		4)	3

		0	;		z x 7y,
	x	M 1;2			x2 y2
5)	z arcsin			6)		,
	,	0	;		z e
	y

10.83. Найти наибольшую крутизну подъёма поверхности:

M 1;1 ;

M 2;1 .

2 2		6;4;ln100		y	в точке	2;2;4
1) z lnx 4y в точке			; 2) z x			.
10.84. Каково	направление		наибольшего		изменения функции

uxsinz ycoszв начале координат?

10.85. Найти точку, в которой градиент функции z lnx равен

i 169 j .

	u	1
10.86. Найти производную функции
10.86. Найти производную функции		2 2 2 в направлении её
		x y z
градиента.

§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

10.87.Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной

уравнением Fx,y,z 0(или z f x;y ) в точке M x,y,z :

	2	2		M 1;2;3		2)		2	2	2			M 2;2;3
1)	x y z 80			M 1;2;3			x y z 1						M 2;2;3
1)			,	0	;						,		0	;
3)		2	2	M 1;0;0		4)			2			M 1;y ;3
3)	z lnx y ,			0	;	4)	z 3x y 1,						0 0	;
		4	2					2	2				M 1;2;4
5)	z x 2xyxy M 1;0;2						6)	x y 5 0					M 1;2;4
5)				,	0	;	6)				,		0	;

2 2 2 M 1;2;2

7) xyz4x6y8z10, 0 .

10.88. Cоставить уравнение нормальной прямой к поверхности, заданной

уравнением Fx,y,z 0 (или z f x;y ) в точке M x,y,z :

	2		M 2;1;2						2		2		M 1;1;4
	y z 3 0							z 1 x 2y
1)				0	;	2)						,	0	;
		,
3)	2 2 2			M 1; 1;2				2 2					M 2;1; 1
	x 5y z 10,			0	;		4) z x		y	6,			0	;
			M 1; 1;1					4			3		M 1;2;9
							z 3x xyy
5)		,		0	;	6)							0	;
												,
	2 2 2							M 1;2;3
7)	x2y3zyxyz2xz160
						,		0 .

§8. Экстремумы функции многих переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

В задачах 10.89 - 10.102 найти экстремумы функции:

2 2

10.89. z x 4y 8y4.

2 2

10.91. z x 3y 2x1.

2 2

10.93. zx xy y2x.

2 2

10.95. z 4x y x y.

2 2

10.90.z e7x 12y .

2 2

10.92. zx 2y 4y4x2.

10.94. z yx y x6y.

10.96. 2 2 . z e y x

	2 2			2 2
10.97. zxyxy96y20. 10.98.				z1x y xy6x.
	2			3	3
10.99. z99x20y162xy.			10.100. z x 6xy8y 1.
	3	3		3	2 2 2
10.101.	z x 3xy y			z2x xy 5x y
10.101.		. 10.102.			.
		86

В задачах 10.103 – 10.111 найти наибольшее и наименьшее значения функции z f x, y в замкнутой области D :

10.103.

10.104.

10.105.

10.106.

10.107.

10.108.

10.109.

10.110.

10.111.

2 2 z6xy9 9y4x4y,

2 z xyx 2,

2 2 z4xy4x y 8y,

2 2 z2xy y 4x,

2 2 z 3xy5x y,

2 z xy0.5x,

z xy3x y,

z xy3x 2y,

2 z xyx 3x y,

	x 0
			2x .
D :	y

	y 2
		x 0
		y 0 .
D:
		0 x 1

D: .
	0 y 2

	y 0
D:			2 .

		y 4x 4

y x 2

1 x 1

D: .

1 y 1

y 8 D: 2.

y 2x

x 0 D : y 4 .

y x

0 x 4

D: .

0 y 4

0 x 2

D: .

0 y 3

Глава 11

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Основные понятия и определения

В задачах 11.1 11.11проверить, являются ли решением данных дифференциальных уравнений указанные функции (С – произвольная постоянная).

11.1. y 5x 2 для xy 2 y . 11.2.

для xy 2 dx dy 0 .

x 2

11.3. y ln cos x для y tg x .

11.4.

y Ce 4 x

для

y 4 y 0 .

11.5. y C x 3 для

3 y x y .11.6.

y x C e x для

y y e x .

11.7. y Ce3x

для

y 3 y 0 .

11.8.

для

y x 2

y 2 .

11.9. y

С 2 x 2

для x y dx xdy 0 .11.10.

x 2

xy y 2

для

x 2 y y 2x y 0 .11.11. y arctg x y C

для

x y 2

11.12. Функция y φ x задана параметрически:

x tet ,

y e t . Докажите,

что эта функция является решением уравнения

1 xy

y 2

0 .

В задачах

11.13 11.18 составить дифференциальные уравнения заданных

семейств кривых( С, С1 , С2 – произвольные постоянные).

11.13. y Cx3 .11.14. x 2 y 2 С 2 .11.15. x 2

y 2

Cx 0 .

11.16. y sin x C cos x . 11.17.

y C e x C

e x .11.18. y (C

x)e x .

11.19.Составить дифференциальные уравнение для семейства парабол, с вершиной в начале координат и осью, совпадающей: а) с осью абсцисс, б) с осью ординат.

11.20. Составить дифференциальное уравнение семейства эллипсов, имеющих постоянную большую ось, равную 2a .

11.21. Составить дифференциальное уравнение семейства линий, у которых отрезок касательной между точками касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.

В задачах 11.22 11.24 в семействе кривых найти ту, которая удовлетворяет заданным начальным условиям.

11.22. x

С ,

y 0 3 .

11.23. y (C1

C2 x)e

, y 0 1,

y 0 0 .

11.24.

y C1e

C2 e

C3e

, y 0 0

y 0 1

y 0 2 .

В задачах 11.25 11.27 для данного дифференциального уравнения построить поле направлений. Методом изоклин построить приближённо графики интегральных кривых.

11.25. y x 2 .11.26. y x y .11.27. y x 1.

В задачах 11.28 11.32 для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку

M .

11.28. y y x 2 ,

M 1; 2 .11.29.

y 2 y 2 ,

M 1; 2 .11.30.

y xy ,

M 0 ; 1 .11.31.

y x 2 y ,

M 3; 0 .11.32.

y y x , M 4 ; 2 .

§2. Уравнения с разделяющимися переменными

В задачах 11.33 11.55найти общее решение (общий интеграл) данных

дифференциальных уравнений.

11.33. y

.11.34.

.11.35. y

.11.36.

0 .

11.37.

y xy 2

0 .

11.38.

.11.39.

xy 2 y 1 .

2x 1

11.40.

x 2 y x 1 0 . 11.41.

xyy 1 x 2 .11.42. y 2 y 1 ctg x .

11.43. 1 y dx 1 x dy 0 .11.44.

y 2 1 dx xydy .11.45.

3 y 2 dx

ydy x2 ydy .

11.46.

(

x) y y 0 .11.47. y y ln y .

11.48. y ln y xy 0 .11.49. y 4 e x dy e x dx 0 .11.50. dy y 2 tg xdx 0.

11.51.

6xdx 6 ydy 2x

ydy

3xy

y xy sin x .

dx .11.52. y 1

e2x

2x 2xy

2 x

1 x

11.53.

0 .11.54. e

tg ydx

dy 0 .

x 1

11.55.y cos x y 1 sin x 0 .

Взадачах 11.56 11.70найти частное решение дифференциального уравнения (задача Коши) удовлетворяющее данным начальным условиям.

11.56. x	2	dy y	2	dx 0 ,		1	1	. 11.57. xdy 1 y		2	dx	0 , y 1	π
					y									.
					y	2	3						4	.
						2	3						4
11.58. x xy 2 dx x 2 y y dy 0 ,									y 0 1.11.59. ydx sin 2			xdy 0 ,
									89

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.51 Mб09928.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09929.pdf
#
21.11.2023168.26 Кб0993.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09930.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19931.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19932.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19933.pdf
#
25.11.20233.51 Mб29934.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19935.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19936.pdf
#
25.11.20233.51 Mб29937.pdf