9932

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

11.132. xy 1. 11.133.

y cos 3x .11.134. y

11.136. y e4 x .11.137.

y ln x .11.138.

11.140. 2xy y

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

	π		cos	2	xdy cos	2	ydx 0 ,	y 0	π
	π			2		2			π
y		1.11.60.								.11.61.	y sin xdx dy ,
y		1.11.60.								.11.61.	y sin xdx dy ,
	2								4
	π		cos x sin ydy cos y sin xdx , y π π .
y		1.11.62.
y		1.11.62.
	2

11.63.1 x2 dy ydx 0 , y 0 e .

11.64.1 x 2 dy 1 y 2 dx 0 , y 0 0 .

11.65.	e x dy 2 y dx 0 , y 0 0 .11.66. ln y x dy ydx ,			y 1 1 .
11.67.	e x dy 2x 1 dx 0 , y 0 0 .11.68.	yy	e y 0	, y 1	0 .

		x
11.69.	y xe x y , y 2 2 .11.70. x y 6 1 dx y 2 x 4 1 dy 0 ,				y 0 1.

11.71. Определить и построить кривую, проходящую через точку 2 ; 2 , если

отрезок любой касательной к кривой, заключённый между осями координат, делится точкой касания пополам.

11.72. Определить и построить кривую, проходящую через точку 1; 1 , для

которой отрезок, отсекаемый на оси Ox касательной к кривой в любой её точке, равен квадрату абсциссы точки касания.

11.73. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество N 0 бактерий. Из эксперимента известно, что скоростьразмножения

бактерий пропорциональна их количеству (коэффициент пропорциональности k>0). Найти зависимость роста числа бактерий N t с течением времени.

11.74. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдёт тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 метров, а за 3 секунды – 40 метров?

11.75. Тело массы mпадает вертикально вниз с некоторой высоты. Сила вязкого трения, действующая на тело, пропорциональна величине скорости

Fтр V , где 0 - коэффициент трения. Определить зависимость ско-рости от времени, если тело начинает движение с нулевой скоростью.

11.76.Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка

находилась на расстоянии 5м от начала отсчёта пути и имела скорость V0 20 м / c . Определить пройденный путь и скорость точки через 10 с. после

начала движения.

§3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

В задачах 11.77 11.94 найти общее решение (общий интеграл) данных дифференциальных уравнений.

11.77.

y 2

2 .11.78.

x y

.11.79.

x 2 y dx xdy 0 .

x 2

11.80. ydx x y dy 0 .11.81.

y 2 x 2 y xyy .11.82.

x y

11.83. y

xy y 2

.11.84. xy

2 yx 2 3y

x 2 2 y 2

2x 2 xy

y .11.86. y

x 2

2xy 5 y 2

11.85. xy 2

x 2

y 2

2x 2 6xy

11.87. xy y

y 2

.11.88.

xy y

.11.89. y

sin

11.90.

cos

.11.91. xy y xe

x .11.92. xy y x 2

x .

11.93. y

.11.94.

y 2 e

x 2

В задачах

11.95 11.102

найти

частное решение дифференциальных

уравнений (задача Коши).

11.95. y 1 e

, y 1 0 .

11.96. xy

y x

tg x ,

y 1 6 .

11.97. y

cos

y 1 0 . 11.98.

sin

, y

11.99. x2

y 2 dx 2xydy 0 ,

y 4 0 . 11.100.

x dy ydx , y 0 1.

11.101. y 2

3x2 dy 2xydx 0 , y 0 1. 11.102. 2xy 2 y 2 x 2 xy y ,

y 1 2 .

11.103.

Найти кривую, проходящуючерез точку

A 3; 0 , если известно, что

угловой коэффициент касательной равен

x y

11.104. Кривая проходит через точку 1;1 . Расстояние любой касательной к

этой кривой от начала координат равно абсциссе точки касания. Написать уравнение указанной кривой.

11.105. Найти кривую, проходящую через точку A 1;2 , для которой отрезок на

оси ординат, отсекаемый любой касательной к кривой, равен абсциссе точки касания.

§4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

задачах 11.106 11.117

найти

общее

решение

данных дифферен-

циальных уравнений.

e x

11.106.

y xy x e 2 .11.107. y xy x e 2 .11.108. y

xe3x .11.111. y

11.109.

x e x .11.110.

x 2

11.112.

y y tg x x 2 cos x .11.113.

y xy cos x e 2 .

11.114.

y tg x sin x . 11.115. y tg x ctg x .11.116. y

x y 2 .

11.117.

2 y ln y y x

11.118. Сила тока

Iв электрической цепи с сопротивлением R, коэффициентом

индуктивности

Lиэлектродвижущей

силой

удовлетворяет

дифференциальному уравнению

RI E .

Найти зависимость силы тока

I I t

от времени, если E Asin ωt (L ,

R , A

- постоянные).

В задачах 11.119 11.130 найти частное решение дифференциальных уравнений (задача Коши).

11.119.

11.121.

11.123.

11.125.

x 2 ,

y 1 0 .11.120.

y 0 0 .

x2 1

3x ,

y 1 2 .11.122.

y xy x3 , y 0 0 .

y y x3e x , y 0 6 .11.124. y

y e x x 1 ,

y 0 1.

x 1

y y e

y 0 1.11.126. y y ctg x 2x sin x , y

0 .

11.127. y y tg x

, y 0 1.11.128.

1 x 0 ,

y 0 0 . 11.129.

cos x

x 2

x y y e

y a b .11.130. y y sin x

sin x cos x ,

0 .

11.131. Сила тока	Iв	электрической цепи				с	сопротивлением		R, коэф-
фициентоминдуктивности		Lи	электродвижущей				силой	E удовлетворяет
дифференциальному уравнению			L	dI	RI E .	Найти зависимость силы тока

				dt
I I t от времени, если		E меняется по закону				E kt и		I 0 0	(L, R,k -

постоянные),k– коэффициент пропорциональности.

§5. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков, допускающие понижение порядка

В задачах 11.132 11.156 найти общее решение данных дифференциальных уравнений.


	1			.11.135. y		1	.
	sin 2		x			x5
y .11.139.					x2 y y 2 .
	y				y y x .
		.11.142.
		.11.142.
	x

11.143.

x .11.144.

x 2 y xy 1.11.145.

xy y 1 x .

10.146.

y 0 .11.147.

yy y 2 .11.148.

y3 y 1.

11.149. yy y 2 1 0.11.150.

1 y 2 2yy 0 . 11.151. 2 yy y 2 .

y y 1 ( y )

3y y 2 y

1 y

11.152.

.11.153.

.11.154.

11.155.

y y ln y .11.156.

0 .

1 y

задачах 11.157 11.173

найти

соответствующие частные решения

дифференциальных уравнений.

11.157.

x , y 0 0 ,

0 0 .11.158. y

x3 ,

y 1 2 ,

			1.11.159.				y		1

y 1 1, y		1							cos2 x
									cos2 x
			2 x		y 0	1				1

11.160.	y	e		,		8	, y	0		4	,

	π		ln 2		π
,	y			, y		0 .
,	y			, y		0 .
	4		2		4
		1					2
							2
y 0		2 .11.161. 1 x						y	2xy	0 ,
y 0		2 .11.161. 1 x						y	2xy	0 ,

y 0 0 ,										.11.162.						xy		y		x			3	, y 1 0 ,
y 0 0 ,		y		0 3						.11.162.						xy		y		x				, y 1 0 ,					y 1 0 .
11.163.		y		e			x	1 y						0,			y 0 3 ,					y													y		,
11.163.		y		e				1 y						0,			y 0 3 ,					y		0 2 .11.164.								y	x ln x		y		,
y e 2 ,																	xy y							1		, y 1 4 ,
																	xy y
			y			e 4 .11.165.																			x						y	1 0 .
11.166. tg x y										y					1		0	π									π				1
																		, y						0 ,			y					.11.167.					y y ctg x
													sin x

																		2									2				2
sin 2x			π							π					π													3
sin 2x																										y	18 y
	, y										,		y				0 .11.168.									y	18 y			,	y 1 1 , y					1 3.
			2							2					2
						3																								3			4
11.169.						3		9		0 ,				y 1			1 ,							.11.170. y						3	y		4	16,		y 0 2 2 ,
11.169.		y		y				9		0 ,				y 1			1 ,	y 1 3						.11.170. y				y			y			16,		y 0 2 2 ,
															2	y 1 y								y 0 2 ,
		2 .11.171.													2							,															y
y 0		2 .11.171.										2 y										,						y 0 1.11.172.
18sin y cos y								3	0 ,			y 0
18sin y cos y									0 ,			y 0					0 , y 0 3 .
														2	, y 0
11.173.		y			tg y					2 y					, y 0			2 ,	y		0 1.

§6. Линейные дифференциальные уравнения второго

ивысших порядков с постоянными коэффициентами

Взадачах 11.174–11.186составить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, фундаментальная система решений которого имеет вид.

11.174. ex , e 2 x .11.175. e x , e x .11.176.1, x . 11.177. ex , x ex . 11.178. sin 3x , cos 3x . 11.179. sin x , cos x, ex .11.180. e x , xe2 x , e2 x . 11.181. e x , e3x , 1. 11.182. sin 2x, cos 2x,1.11.183.1, x , x 2 .11.184. e x , e x ,

sin 2x, cos 2x .11.185. e x , xe x , sin x , cos x . 11.186. sin 3x, cos 3x, 1, x .

В задачах 11.187– 11.206 решить однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

11.187.	y 5 y 6 y 0 . 11.188. y 6 y 5 y 0 . 11.189. y 6 y 9 y 0 .
11.190.	y 6 y 0.11.191.	y 9 y 0 .11.192. y 9 y 0 .
		94

11.193. y 6 y 10 y 0 . 11.194.

y y y 0 .11.195. 4 y y 0 .

11.196. y 2 y 3y 0 .11.197.

y 2 y y 0 .11.198. y 4 y

13y 0 .

11.199.

y y 0 .

11.200.

y y 0 .11.201. y y 0 .

11.202.

y y 2 y 0 .11.203. y y 0 .11.204. y y 0 .

11.205. y y 0 .

11.206. y y 0 .

В задачах

11.207 – 11.215 найти частные решения уравнений, удовлет-

воряющие указанным начальным условиям.

11.207.

5 y

6 y 0 ,

y 0 2 ,

4 y

4 y 0 ,

y 0 1.11.208.

y 0 0 ,

2 .11.209. y

2 y

5 y 0 ,

y 0 0 ,

y 0

0 1.

11.210.

0 ,

y 0 3 ,

9 y

0 ,

y 0 3 ,

y 0 2 .11.211.

25 y 0 ,

y 0 0 ,

7 y

y 0 3.11.212.

y 0 1.11.213.

12 y 0 , y 0

4 ,

8 y

16 y

0 ,

y 0 0 ,

y 0 3 .11.214.

2 y

4 y

0 ,

y 0

y 0 5 .11.215.

0 0.

В задачах 11.216 11.235 найти общее решение неоднородного линейного уравнения,находя частное решение методом неопределённых коэффициентов.

11.216. y 3y 2 y 10e x .11.217. y 2 y 2 y 2x .11.218. ′′ + 4 ′ −


−5 = −5.		11.219. y 4 y 4 y xe2x .11.220.				y 2 y y cos x .
11.221.	y 3y 2e 3x .11.222.				y 2 y 2 sin 3x .11.223.				y 4 y
2 cos 3x .		11.224.	y 3y 18x 9. 11.225.				y 4 y x 2 1.
11.226.	y y cos x .11.227.			y y sin 2x .11.228.				y 2 y 3y
e x cos x .		11.229.	y 5y 8y 4 y e2x .11.230.						y y 2x .
11.231.	y y 8e x .11.232.			y y e x .11.233.				y y 6x .
11.234.	y y 2xe x .11.235.				y y cos x .

В задачах 11.236–11.248 найти частное решение неоднородного линейного уравнения, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

11.236.

2 y 2x 1,

y 0

4 y

0 , y 0 1.11.237.

1 x , y 0 0 ,

y 0 2 .11.238. y 5y 6 y x 2 2 ,

y 0 0 ,

y 0 4 .

11.239.

6 y

x 2 ,

y 0 0 ,

x 3 ,

y 0 3.11.240. y

y 0 0 ,

2 y

y 0 0 ,

y 0 3 .11.241.

y 0 4 .

11.242.

y 4xe

y 0 2 ,

y 4 sin x ,

0 0 .11.243. y

y 0 1

sin 2x ,

y 1,

, y

0 2 .11.244. y

11.245.

9 y 6 cos 3x ,

y 0 1,

2 y

0 3.11.246.

= 48x 2 e x ,

y 0 1, y 0

.11.247.

y y 2x ,

y 0 0 ,

y 0 1,

y 0 2 .11.248.

y y 8e x ,

y 0 1,

y 0 0,

y 0 1,

y 0 0 .

В задачах 11.249–11.260найти общее решение методом вариации

произвольных постоянных.

11.249.

y 4 y

.11.250. y y tg x .11.251.

y y ctg 2

x 0 .

sin 2x

11.252.

y 9 y

.11.253.

y 4 y

.11.254. y 2 y y

cos 3x

sin 2

x 2

e x

11.255.

y y

.11.256.

2 y

.11.257. y 2 y y

1 e x

e x

ln x

. 11.258.

y y e x

.11.259.

6 y

9 y e3x .

11.260.

y y e2x

1 e2x .

В задачах 11.261–11.270 решить дифференциальные уравнения, применяя принцип суперпозиции решений.

11.261.	y 2 y y sin x e x .			11.262. y y 2e x x 2 .
11.263.	y 4 y 4 y sh x sin x .			11.264.	y 4 y 4 y sin x cos 2x .
11.265. y y 6x e x .11.266.				y y xe x cos x .
	y 25 y 3e x	4				e	2x
11.267.		4	.	11.268.	y 4 y 13y x 2			.

		cos 5x				cos 3x
		cos 5x				cos 3x
				96

11.269. y y cos2 x x 2 .11.270. y 4 y x sin 2 x .

В задачах 11.271 – 11.279найти общие (частные) решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

y 2

11.271.

11.273.

11.272.

x 3y,

x 5 y,

11.274.

11.275.

3x y.

x 3y.

4x y,

5 y,

11.276.

11.277.

x 0 2, y 0 5.

18x y.

8 y.

2x y sin t,

11.278.

11.279.

условии

при

x e

4x 2 y cos t

x π 1, y π 2 .

Глава 12

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§1. Расстановка пределов интегрирования

В задачах 12.1 12.17найти пределы двойных интегралов f x , y dxdy

		D
при данных (конечных) областях интегрирования D , представив интегралы в
виде одного из повторныхинтегралов.
12.1. D прямоугольник со сторонами		x 1, x 4 , y 0 , y 2 .
12.2. D прямоугольник: 0 x 2,	1 y 5 .
12.3. D треугольник со сторонами	x 0 , y 0 , x y 2 .
		97

12.4. D треугольник: x 3y 0 ,

y 2x 0

, x 3 .

12.5. D ограничена линиями

x y 2, 4x 4 y 2 .

x 2,

12.6. D :

0 y 1,

12.7. D : y x,

12.8. D : y 0,

x y

x 0,

12.9. D : y x 3, 12.10. D ограничена

линиями y x 3, y 2x 2 , x 0 .

2 y

12.11. D ограничена параболами

y x 2

x y 2 .12.12. D:

x 2

y 2

1.12.13.

D: x 2 2 y 3 2 4 .

x 0,

x 0,5,

12.14. D : 4 y 3x,

12.15. D : y x,

25.

xy 1.

12.16. D треугольник со сторонами y x , y 2x , x y 6 . 12.17. D параллелограмм: y x , y x 3, y 2x 1, y 2x 5 .

В задачах 12.18–12.25 представить двойные интегралы f x , y dxdy , где D

заданные ниже треугольники, в виде одного повторного интеграла, выбрав соответствующим образом порядок интегрирования.

12.18.				12.19.
y				y
		.		.
		.		.
		.		.
.	x	.	x	.

12.20.	12.21.
yy
.	.
.	.
x.x .
.	.
.	.
	98

12.22.		12.23.
	y	y
.	.	.
.
xx .
.
12.24.		12.25.
. yy
.		.
.		.
x .x .
	.	.
.		.

В задачах 12.26 – 12.35 представить двойные интегралы f x , y dxdy , где D-

заданные ниже области, границы которых составлены из отрезков прямых и дуги окружности, в виде одного повторного интеграла, выбрав со-ответствующим образом порядок интегрирования.

12.26.	y	12.27.	у
	.		.
	.		.
	. x .x .
	.		.

12.28.	y	12.29. у
	.	.
	.
x.x .	.	.
	.	.

	.	.
12.30.	y	12.31.y
	.	.
	.	.
x.x .
	.	.
		99

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20233.51 Mб09928.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09929.pdf
#
21.11.2023168.26 Кб0993.pdf
#
25.11.20233.51 Mб09930.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19931.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19932.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19933.pdf
#
25.11.20233.51 Mб29934.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19935.pdf
#
25.11.20233.51 Mб19936.pdf
#
25.11.20233.51 Mб29937.pdf