9744

§ 5. Линии второго порядка

До сих пор в аналитической геометрии мы изучали прямые и плоскости, в уравнения которых переменные x , y и z входят в первой степени. Сейчас переходим к рассмотрению кривых на плоскости, задаваемых более сложными алгебраическими уравнениями, включающими вторые степени текущих координат x и y или их взаимное произведение.

Уравнение вида

называется общим уравнением линии (кривой) второго

уравнений второго порядка и получается из общего вида (5.1) при конкретном значении коэффициентов.

Простейшим примером кривой, задаваемой уравнением (5.1),

является окружность. Окружность определяется как множество точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра).

Вводим на плоскости прямоугольную декартову систему координат, совместив её начало с центром окружности.

Координаты произвольной точки M , лежащей на окружности,

обозначим x и y . Эти координаты связаны между собой равенством x2 + y2 = R2 , которое и представляет собой уравнение окружности. Ему удовлетворяют координаты каждой точки окружности и не удовлетворяют координаты любой другой точки плоскости, не лежащей на ней. Видим, что это уравнение является уравнением второго порядка.

41

К другим линиям, задаваемым уравнением (5.1), относятся эллипс, гипербола и парабола. В некоторых случаях получаются пара пересекающихся или параллельных прямых, одна прямая или точка. Изучение этих классических линий мы, как и для окружности, будем начинать с их определения. Дальше будем ставить задачу вывести уравнение, которому удовлетворяют координаты точек в том и только том случае, когда точки лежат на рассматриваемой линии. Для получения уравнения будем вводить систему координат, располагая её по отношению к линии так, чтобы уравнение в этой системе имело простейший вид,

называемый каноническим уравнением линии.

Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек M плоскости,

сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек F1 и

F2 есть величина постоянная (её принято обозначать 2a ). В этих обозначениях можно коротко записать определение эллипса в виде равенства MF1 + MF2 = 2a . Точки F1 и F2 называются

фокусами эллипса. Расстояние F1F2 между фокусами обозначают 2c .

Из определения непосредственно вытекает способ построения: если концы нерастяжимой нити длины 2a закрепить в точках F1 и F2 , затем натянуть нить остриём карандаша, то при движении острия оно будет вычерчивать выпуклую замкнутую линию (овал).

Сумма расстояний от произвольной точки M до двух фиксированных точек F1 и F2 не может быть меньше расстояния между точками F1 и F2 : MF1 + MF2 ³ F1F2 . Будем предполагать,

что это неравенство строгое, т.е. 2a > 2c или a > c .

42

Выведем теперь уравнение эллипса. Для этого введём прямоугольную декартову систему координат. В качестве оси абсцисс мы возьмём прямую, проходящую через F1 и F2 , считая её направленной от F1 к F2 , начало системы координат поместим в середине отрезка F1F2 (рис. 5.1).

Рис. 5.1

В этой системе координат для произвольной точки M

координаты обозначим через x и y . Фокусы, оказавшись теперь

на оси Ox симметрично относительно начала, будут иметь координаты F1 (−c;0) и F2 (c;0) . Расстояния F1M и F2 M между

точками заменим их выражениями через координаты. Получим

( x + c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 = 2a .

По существу, это соотношение представляет собой уравнение эллипса. Ему удовлетворяют координаты точек в том и только том случае, когда точки лежат на эллипсе. Проведём алгебраические преобразования, упрощающие эту запись. Для этого сначала уединим в уравнении первый радикал

( x + c)2 + y2 = 2a − ( x − c)2 + y2 .

43

Возведём в квадрат обе части полученного равенства

( x + c)2 + y2 = 4a2 − 4a( x − c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 ,

раскроем скобки и после сокращения получим

a( x − c)2 + y2 = a2 − cx .

Возведя в квадрат обе части последнего равенства, найдём

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Особенностью уравнения является то, что оно содержит

координат. Оси симметрии эллипса называются его осями, а

точка пересечения осей – центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами.

Положив y = 0 в уравнении (5.2), найдём две вершины A1 (−a;0)

и A2 (a;0) на оси Ox . Положив x = 0 , найдём две точки пересечения эллипса с осью Oy : B1 (0;−b) и B2 (0;b) (рис. 5.1).

44

Итак, эллипс имеет четыре вершины A1, A2 , B1, B2 , которые ограничивают на осях отрезки A1 A2 = 2a и B1B2 = 2b (эти отрезки тоже принято называть осями эллипса), отрезки ОA1 = a

и ОB1 = b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Исследовав форму эллипса путём анализа его канонического

уравнения, можно теперь непосредственно построить в первой

симметрично относительно осей координат, получить овальную замкнутую кривую, изображённую на рисунке 5.1. Отметим, что при этом все точки эллипса лежат внутри прямоугольника,

образованного прямыми x = a , x = −a , y = b , y = −b .

Введём ещё одну величину, характеризующую форму

эллипса. Отношение ε расстояния между фокусами эллипса к

длине его большой оси называется эксцентриситетом эллипса:

b = 1 − ε 2 . a

Видим, что эксцентриситет определяется соотношением осей

больше эллипс вытянут.

45

Гипербола

Множество всех точек M плоскости, разность расстояний

которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная,

называется гиперболой. Указанная разность берётся по абсолютному значению и обозначается 2a . Точки F1 и F2

чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2 (рис. 5.2). В этой системе координаты произвольной точки M обозначим x и y , а

координаты фокусов будут соответственно: F1 (−c;0) , F2 (c;0) .

Заменив расстояние F1M и F2 M между точками их выражениями через координаты, получим

( x + c)2 + y2 − ( x − c)2 + y2 = ±2a .

Это уравнение, как и для эллипса, приводится для удобства к другому виду. Перенесём второй радикал в правую часть и возведём в квадрат обе части уравнения

( x + c)2 + y2 = 4a2 ± 4a( x − c)2 + y2 + ( x − c)2 + y2 ,

раскроем скобки и после сокращения получим

xc − a2 = ±a( x − c)2 + y2 .

46

Снова возводим в квадрат и сокращаем подобные слагаемые:

чётных степенях, то гипербола симметрична относительно осей

Ox и Oy , а также относительно начала координат. Оси

симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы.

Положив y = 0 в уравнении (5.3), найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 (-a;0) , A2 (a;0), которые называются вершинами гиперболы. Если взять x = 0 в уравнении

Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 5.2).

Из уравнения (5.3) следует, что если x < a , то y не имеет

действительных значений, то есть, нет точек гиперболы с

2

абсциссами −a < x < a . Должно выполняться условие x2 ³1 или a

47

x ³ a . Это означает, что гипербола состоит из двух частей: её точки расположены справа от прямой x = a , образуя правую ветвь, и слева от прямой x = −a , образуя левую ветвь. Наконец,

x → −∞ от значения x = −a получается левая неограниченная ветвь гиперболы (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Присмотримся внимательнее к тому, как точка M «уходит в бесконечность». В математическом анализе используется понятие асимптотического приближения какой-либо кривой Г к

прямой l , называемой асимптотой этой кривой. Это понятие вводится, если возможно неограниченное удаление точки M по бесконечной ветви линии Г , при котором расстояние от точки

48

данной кривой до этой прямой стремится к нулю. Для обеих ветвей гиперболы при x → +∞ и x → −∞ наклонными

асимптотами являются прямые y = ± b x . a

Итак, построение гиперболы по каноническому уравнению

(5.3) следует начинать с изображения основного прямоугольника,

продолжая диагонали которого мы получим асимптоты. Обе бесконечные ветви рисуем неограниченно приближающимися к

x2 − y2 = a2 . Основной прямоугольник равносторонней гиперболы

становится квадратом; прямые y = x и y = −x являются

асимптотами, перпендикулярными друг к другу.

Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами гиперболы называется эксцентриситетом

гиперболы и обозначается буквой ε : ε = c . Для гиперболы ε > 1,

эксцентриситет гиперболы определяется отношением её осей. Он характеризует форму основного прямоугольника гиперболы. Чем

b

меньше эксцентриситет, тем меньше отношение a , то есть

основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Для равносторонней гиперболы ε = 2 .

49