9744

AB = {x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1} .

Пример. Найти координаты вектора AB , если A(1;2;3) ,

B(−1;0;1) .

Решение:

AB = {-1-1;0 - 2;1- 3} = {-2;- 2;- 2} .

Ответ: AB = {−2;− 2;− 2}.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением a ×b двух ненулевых векторов

a и b называется число, равное произведению длин этих

векторов на косинус угла между ними: a ×b = a × b × cos (a b) .

Свойства скалярного произведения

1)a ×b = b × a ;

2)(λ a)×b = λ(a ×b), λ R ;

3)a × (b + c)= a ×b + a × c ;

b =1, a b = 60O .

11

Решение. По формуле (2.1), находим

c = c × c = (a + 2b)× (a + 2b) = a 2 + 4a b + 4 b 2 =

= 22 + 4 a × b × cos a b+ 4 ×12 = 4 + 4 × 2 ×1× cos 60O + 4 =

=8 + 8 × 1 = 12 = 23 .

2

Ответ: c = 23 .

(- 3b), если a = {1; 2;3} и b = {0;-1;1}.

Решение. Координаты векторов 2a и (- 3b)

2a = 2{1; 2;3} = {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3} = {2; 4; 6};

(- 3b)= -3{0;-1;1} = {- 3 × 0;-3 ×(-1);-3 ×1} = {0;3;-3}.

По формуле (2.2) искомое скалярное произведение равно

2a × (- 3b)= 2 × 0 + 4 ×3 + 6 × (- 3) = 0 +12 -18 = -6.

Ответ: − 6 .

Некоторые приложения скалярного произведения

1. Угол между двумя ненулевыми векторами a = {a1; a2 ; a3 } и b = {b1 ; b2 ; b3 } из определения скалярного произведения вычисляется по формуле

12

b = - j + k .

Решение. Координаты векторов a и b : a = {1; 2; 2} и b = {0;-1;1}.

Тогда по формуле (2.3), угол между векторами a и b равен:

Тогда

13

Векторное произведение векторов

Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости)

вектора a , b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов, если из конца третьего вектора c кратчайший

поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден происходящим против хода часовой стрелки (и левую, если по часовой) (рис. 2.6)

Векторным произведением a ´ b = c вектора a на вектор b

называется такой вектор c , что

Из определения векторного произведения непосредственно

вытекают следующие соотношения между ортами i , j , и k :

14

Свойства векторного произведения

1)a × b = −(b × a);

2)c × (a + b)= c × a + c × b ;

3)λ(a ´ b)= (λ a)´ b = a ´ (λb), λ R ;

4)a ´ b = 0 a || b .

a = {1; 2;3} и b = {0;1;-1}.

= (- 2 - 3)×i - (-1 - 0)× j + (1 - 0)× k = - 5i + j + k .

Ответ: a ´ b = - 5i + j + k .

Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что площадь параллелограмма, построенного на векторах

a и b (рис. 2.7) равна модулю векторного произведения векторов a и b , так как

a ´b = a × b ×sin α = Sпарал. .

b

α

a Рис. 2.7

15

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (рис. 2.8) равна половине модуля векторного

произведения, построенного на векторах a и b :

b

Пример. Найти площадь треугольника, построенного на

= (0 - (-1))×i - (- 2 - 0)× j + (2 - 0)× k = i + 2 j + 2k ;

Ответ: 1,5 кв. ед.

Смешанное произведение векторов

составленное следующим образом: (a ´ b)× c , то есть первые два

вектора a и b умножаются векторно, а их результат - скалярно на

третий вектор c . Такое произведение векторов называется

смешанным и обозначается a b c , то есть (a ´ b)× c = abc .

16

Смешанное произведение трех векторов a , b и c

представляет собой число, равное объему параллелепипеда,

построенного на этих векторах (рис. 2.9), взятое со знаком

«плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.

c

b

Свойства смешанного произведения

1)(a ´b)× c = (b ´ c)× a = (c ´ a)×b ;

2)(a ´b)× c = a × (b ´ c);

3) a b c = −a c b ; a b c = −b a c , a b c = −c b a ;

4) Если a b c = 0 , то векторы a , b и c компланарны.

Смешанное произведение трех векторов a , b и c , заданных своими координатами a = {a1; a2 ; a3 }, b = {b1 ; b2 ; b3 } и c = {c1; c2 ; c3 }, вычисляется по формуле

a = 2i - j , b = j - k , c = i + j + k .

Решение. a = {2;−1; 0}, b = {0;1;−1}, c = {1;1;1}. Тогда

17

Ответ: a b c = 5.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c (рис. 2.9) вычисляется по формуле

Vnap. = a bc .

Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a , b и c (рис. 2.10) вычисляется по формуле

Vnup. = 1 a b c .

6

b

Рис. 2.10

Пример. Найти объем пирамиды, построенной на векторах a = {1; 2;3}, b = {0;1;−1} и c = {0;−1; 0}.

Решение.

§ 3. Прямая линия на плоскости

Переходим к изучению прямой линии на плоскости. В

аналитической геометрии фигуры описывают формулами.

Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости

заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на

плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства,

связывающего координаты точек прямой.

Исследование уравнения прямой позволяет аналитически проводить изучение геометрических свойств прямой. Так, для

того, чтобы установить, лежит ли точка на прямой

F (x, y) = 0, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки M 0

3 ×1 - 2 +1 = 3 -1 = 2 ¹ 0 .

Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .

Общее уравнение прямой

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости xOy задана точка M 0 (x0 ; y0 ) и вектор N{A; B}.

Требуется составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 и перпендикулярной вектору N . (рис. 3.1)

19