Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

9722

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2023
Размер:
3.14 Mб
Скачать

[Введите текст]

Для каждой квадратной матрицы порядка n сумма произведений

элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения есть величина постоянная.

Вот это число и называется определителем, а способов его вычисления существует много и тот, который даётся введённым выше определением, просто один из них. Этот способ называется разложением по элемен-

там строки или столбца.

Если в любой из приведенных формул вычислить алгебраические дополнения и произвести указанные действия, то получится другая формула вычисления определителя третьего порядка

( A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a31a22a13 a21a12 a33 a32a23a11 .

Заметим, что определитель равен алгебраической сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными

a x + b y + c z = d

1 1 1 1

a2 x + b2 y + c2 z = d2a3 x + b3 y + c3 z = d3

выражается через определители третьего порядка по аналогичным формулам Крамера:

 

 

d1

b1

c1

 

 

 

 

 

 

a1

d1

c1

 

 

 

 

 

a1

b1

d1

 

 

 

 

 

 

 

d2

b2

c1

 

 

 

 

 

 

a2

d2

c2

 

 

 

 

 

a2

b2

d2

 

 

 

 

 

x =

 

d3

b3

c3

 

=

x

 

; y =

 

a3

d3

c3

 

=

y

; z =

 

 

a3

b3

d3

 

 

=

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

b1

c1

 

 

 

 

 

a1

b1

c1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

b1

c1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

b2

c1

 

 

 

 

 

 

 

a2

b2

c1

 

 

 

 

 

 

a

b c

 

 

 

 

 

 

a3

b3

c3

 

 

 

 

 

 

 

a3

b3

c3

 

 

 

 

 

 

 

2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

3

 

 

 

 

 

 

в предположении, что определитель матрицы системы

 

 

не равен нулю.

Отметим, что

x , y ,

z

определители матриц, получаемых из матрицы

системы путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной на столбец правых частей. Если = 0 и существует хотя бы один из определителей x , y , z , отличный от нуля, то система несовме-

стна. Рассмотрение оставшегося случая = x = y = z = 0 мы отложим до введения понятия ранга матрицы.

20

[Введите текст]

Лекция 3. Системы и определители матриц n-го порядка

При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила.

И. Ньютон

3.1. Матричная запись системы линейных уравнений. Систему n

линейных уравнений c n неизвестными

a x + a x +L+ a x = b

11 1

12 2

1n n

1

a21x1 + a22 x2 +L+ a2n xn = b2

 

 

 

 

LLLLLLLLLLLL

a x + a x +L+ a x = b

n1 1

n2 2

nn n

n

после введения матриц

a11

a12

a1n

 

 

b1

 

 

x1

 

a

 

a

 

a

 

 

,

b

 

,

x

 

A =

21

 

22

 

2n

B = 2

 

X = 2

 

L L L

 

M

 

 

M

 

 

 

an 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

ann

 

bn

 

 

xn

 

можно записать кратко

 

 

 

 

A × X = B .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.1)

Решить систему – значит найти матрицу неизвестных X .

Оставим пока вопросы о том, существуют ли решения системы (3.1) и сколько их, и вспомним, как решалось уравнение первой степени

a × x = b .

Решение x = b получается умножением обеих частей уравнения на число, a

обратное числу a , то есть на число 1 = a−1 a

a−1 × a × x = a−1 ×b 1× x = b . a

Эти соображения приводят к мысли найти такую матрицу (в дальнейшем будем её обозначать A−1 ), которая при умножении на данную матрицу A давала бы единичную матрицу. Тогда система (3.1) была бы решена следующим образом:

21

[Введите текст]

A−1 × A × X = A−1 × B E × X = A−1 × B X = A−1 × B .

Поэтому естественным будет следующее определение.

Обратной матрицей к данной квадратной матрице A называется матрица A−1 , которая при умножении как справа, так и слева на матрицу

A , даёт единичную матрицу

A−1 × A = A × A−1 = E .

С учетом этого определения решение системы (3.1) имеет вид

X = A−1 × B .

(3.2)

Заметим, что определение обратной матрицы ещё не гарантирует её существования и не дает способа ее отыскания. Для нахождения обратной матрицы нам потребуется понятие определителя матрицы порядка n .

3.2. Определители матриц порядка

n и их свойства. Теперь мы в

состоянии ввести понятие определителя матрицы n -го порядка

 

a11

a12 K a1 j

K a1n

 

 

 

 

 

a21

a22 K a2 j

K a2n

 

 

 

K K K K K K

 

.

 

ai1

ai 2 K aij

K ain

 

 

 

 

 

K K K K K K

 

 

 

an1

an 2 K anj

K ann

 

 

Если aij – выбранный элемент, то минор M ij – это определитель мат-

рицы порядка (n −1) , получаемой после вычеркивания в исходной матрице

строки i

и столбца j

, а A = (-1)i+ j

M

ij

– соответствующее алгебраическое

 

 

ij

 

 

дополнение.

Определителем n -го порядка (n >1) называется число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть:

= ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain ,

i = 1, ... , n

= a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj ,

.

j = 1, ... , n

Естественно, возникает вопрос о корректности такого определения. Для n = 2 легко проверяется

22

[Введите текст]

a11

a12

= a a

22

a a

21

= a A + a A =

a21

a22

11

12

11

11

12

12

 

 

 

 

 

 

 

 

(разложение по элементам первой строки), или

= a11a22 a21a12 = a11 A11 + a21 A21

(разложение по элементам первого столбца). Два оставшихся варианта проверьте самостоятельно.

Для краткости изложения доказывать или иллюстрировать формулируемые ниже свойства определителей мы будем на примере определителей второго порядка.

Свойство 1. При транспонировании матрицы величина определителя не меняется

( AT ) = ( A) .

Это свойство следует из определения.

Так как при транспонировании матрицы столбцы переходят в строки и наоборот, то все свойства определителя, формулируемые в терминах столбцов, остаются справедливыми и для строк. Поэтому далее мы будем говорить только о строках (или о столбцах).

Свойство 2. Определитель изменит знак, если поменять местами две строки матрицы.

Убедимся в справедливости этого свойства для n = 2

a1

b1

= −

a2

b2

.

a2

b2

 

a1

b1

 

Действительно, «раскрывая» определители, имеем:

a1b2 a2b1 = −(a2b1 a1b2 ) .

Свойство 3. При умножении элементов строки матрицы на число λ ее определитель умножается на λ.

 

λa1

λb1

 

= λ

 

a1

b1

 

 

 

 

a2

b2

 

 

 

a2

b2

Это свойство в данном случае ( n = 2 ) легко проверяется, а для любого n следует из разложения определителя по элементам строки, где λ будет общим множителем всех элементов строки и его можно вынести за знак суммы. Это свойство удобнее запомнить в «обратной» формулировке: если элементы строки матрицы имеют общий множитель, то его можно вынести

23

[Введите текст]

за знак определителя. Отметим, ходит по-другому

a11

λ

a21

что умножение матрицы на число проис-

a

 

 

λa

λa

 

12

 

=

11

12

.

a22

 

λa21

λa22

Свойство 4. Если все элементы какой-то строки матрицы равны нулю, то определитель равен нулю.

Чтобы убедится в этом, достаточно разложить определитель по элементам этой строки.

Свойство 5. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю.

Действительно, поменяем местами эти одинаковые строки. По свойству 2 определитель должен сменить знак, то есть = − , а с другой стороны, в нём ничего не изменилось, то есть = . Есть единственное число, для которого одновременно выполняются эти условия; это число равно нулю. Итак, = 0 .

Свойство 6. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Вынося общий множитель элементов строки (коэффициент пропорциональности) за знак определителя, мы получаем определитель матрицы с двумя одинаковыми строками.

Свойство 7. Если каждый элемент какого-то столбца матрицы представляет собой сумму двух слагаемых, то для определителя этой матрицы верно равенство

 

 

′′

b1

 

 

 

b1

 

 

 

′′

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

+ a1

=

 

a1

+

 

a1

 

.

 

 

 

 

′′

b2

 

b2

 

 

′′

b2

 

 

 

 

 

a2

+ a2

 

 

 

a2

 

 

a2

 

 

 

 

Проверяем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

′′

 

 

 

′′

′′

=

(a1

+ a1 )b2

− (a2

+ a2 )b1 = a1b2

+ a1b2

a2b1

a2b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

= a1b2

a2b1 + (a1b2

a2b1 ).

 

 

Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и то же число, то величина определителя при этом не изменится

a1 + λb1

b1

 

=

 

a1

b1

 

+ λ

 

b1

b1

 

=

 

a1

b1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

a2 + λb2

b2

 

 

 

a2

b2

 

 

 

b2

b2

 

 

 

a2

b2

 

 

Этим свойством удобно пользоваться для «получения нулей» в определителе (чем больше нулей в строке или столбце, тем легче вычисляется определитель). Например, определитель четвёртого порядка матрицы так называемого треугольного вида вычисляется следующим образом:

24

[Введите текст]

a11

a12

a13

a14

 

a22

a23

a24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

a22

a23

a24

= a ×

= a × a

a33

a34

= a a a a

0

a a

0

0

a

a

11

 

 

33

34

11 22

0

a

11 22 33 44

 

 

33

34

 

0

 

0

a44

 

 

44

 

0

0

0

a44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(разложили по элементам первых столбцов).

Свойство 9. Если элементы какой-либо строки являются линейными комбинациями соответствующих элементов остальных строк, т.е. представимы в виде суммы их произведений на некоторые числа, то определитель равен нулю.

Например, определитель матрицы

 

a11

a12

a13

 

A =

a

a

a

 

 

21

22

23

 

aa11 + ba21

aa12 + ba22

aa13 + ba23

равен нулю. Это следует из того, что согласно свойству

7 этот определи-

тель равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D( A) =

 

a11

a12

a13

 

+

 

a11

a12

a13

 

 

 

 

 

 

 

a21

a22

a23

 

 

a21

a22

a23

 

 

 

 

aa11

aa12

aa13

 

 

 

ba21

ba22

ba23

 

 

Заметим, что верно и обратное утверждение: если определитель равен нулю, то любая строка является линейной комбинацией остальных строк (доказательство этого утверждения отложим до изучения векторов).

Свойство 10. Сумма произведений элементов i -й строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j -й (i ¹ j) строки равна нулю.

Например, для матрицы

a11

a12

A = a

a

21

22

a31

a32

a13 a23 a33

выполняется

a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = 0 .

(3.3)

Для доказательства этого факта рассмотрим матрицу с двумя одинаковыми строками

25

[Введите текст]

a11

a12

a

a

11

12

a31

a32

a13 a13 . a33

С одной стороны, ее определитель равен нулю, а с другой стороны, раскладывая ее определитель по элементам второй строки, получим равенство

(3.3).

Заметим, что для вычисления определителя порядка n необходимо

вычислить n определителей порядка (n −1) , каждый из которых,

в свою

очередь, вычисляется через (n −1) определитель порядка (n − 2)

и т.д.

Следовательно, определитель порядка n

есть алгебраическая сумма n!

слагаемых, каждое из которых есть произведение n сомножителей.

 

3.3. Обратная матрица. Напомним, что обратной матрицей к данной

квадратной матрице A называется матрица

A−1 , которая при умножении,

как справа, так и слева, на матрицу A даёт единичную матрицу

 

A−1 × A = A × A−1 = E .

 

Теорема. Если определитель матрицы

(A) отличен от нуля,

то мат-

рица имеет единственную обратную матрицу A−1 .

По ходу доказательства теоремы мы получим один из способов вычисления обратной матрицы. Действительно, по определению A−1

a11

a12

a21

a22

a31

a32

a13

d11

d12

d13

 

1 0 0

 

 

a

d

21

d

22

d

23

 

=

0

1

0

 

,

(3.4)

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d32

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

a33 d31

d33

 

 

 

 

где элементы обратной матрицы dij нужно отыскать. Найдём сначала эле-

менты первого столбца d11, d21 и d31 . По правилу умножения матриц имеем

 

 

 

 

a d + a d

21

+ a d

31

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

11

12

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a21d11 + a22d21 + a23d31 = 0 .

 

 

 

 

 

 

a d + a d

21

+ a d

31

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

11

32

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

По формулам Крамера получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d =

1

 

 

1

 

a12

a13

 

=

+1

 

 

a22

a23

 

=

A11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 a

a

 

 

 

,

D( A)

D( A)

a32

D( A)

11

 

 

0

a a

 

 

 

 

a33

 

 

 

 

 

 

 

 

22

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Введите текст]

 

 

 

=

 

1

 

a11

1

a13

=

 

−1

 

 

a21

a23

 

=

 

A12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

a 0 a

 

 

 

 

 

 

,

 

( A)

 

( A)

a31

a33

 

( A)

 

 

21

 

 

21

0

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

 

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

1

 

a11

a12

1

 

=

 

+1

 

a21

a22

 

=

 

A13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

a

a

0

 

 

 

 

,

 

 

 

( A)

 

( A)

a31

 

( A)

 

31

 

 

21

22

0

 

 

 

a32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Aij – соответствующие алгебраические дополнения. Аналогичным об-

разом получаем

di 2 =

A2i

 

 

, di3 =

A3i

 

, i = 1, 2,3 .

 

( A)

( A)

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, обратная матрица имеет вид

 

 

 

 

 

1

A11

A21

A31

 

 

A−1 =

 

 

A

A

A

.

(3.5)

 

 

 

 

( A)

12

22

32

 

 

 

 

 

 

A13

A23

A33

 

 

Следует обратить внимание на то, что матрица в правой части (3.5) получена путем транспонирования матрицы алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы A . Из формулы (3.5) видно, что для существования обратной матрицы необходимо, чтобы её определитель не обращался в нуль. Матрицы с определителем равным нулю называются вырож-

денными.

Итак, правило нахождения обратной матрицы (обращение матри-

цы):

∙ вычисляем определитель ( A) . Если ( A) = 0 , то A−1 не сущест-

вует.

∙ вычисляем матрицу алгебраических дополнений (обозначим % ).

A

∙ транспонируем матрицу % .

A

 

%T

 

1

и получаем обратную матрицу.

умножаем матрицу

A

на

 

 

 

 

 

( A)

Приведем другое обоснование формулы (3.5), определяющей обратную матрицу. Действительно, по определению обратной матрицы с учетом свойства 10 для определителей получим

27

[Введите текст]

 

 

1

 

a11

a12

 

a13

 

A11

A21

 

A31

 

 

AA−1 =

 

a

 

a

 

a

 

 

A A A

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A

21

 

22

 

 

23

 

12

22

 

32

 

 

 

 

 

 

 

a31

a32

a33

 

A13

A23

 

A33

 

 

 

1

 

det A

0

 

 

 

0

 

 

1

0

0

 

 

=

 

 

0

 

det A

 

 

 

0

=

0

1

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A

0

 

0

 

 

 

 

 

 

0

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

det A

 

 

 

что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

0

 

 

 

 

 

 

Пример. Обратим матрицу

A =

 

1

1

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляем определитель матрицы D( A) = 3 . Составляем матрицу алгеб-

раических дополнений

 

 

1

1

-2

 

%

 

-2

 

 

 

A =

 

1

4

.

 

 

2

-1

-1

 

Транспонируем её

 

 

 

1

−2

2

%T

=

 

 

 

 

A

 

1

1

-1

 

 

 

-2

4

-1

и получаем обратную матрицу

 

 

1 %T

 

1

 

1

-2

2

−1

 

 

 

 

 

 

A

=

 

A

=

 

 

1

1

-1 .

D

3

 

 

 

 

 

 

 

-2

4

-1

Таким образом, решение системы

n

уравнений с

n неизвестными в слу-

чае невырожденной матрицы имеет вид

X = A−1 × B .

(3.6)

Алгоритм получения решения сводится к нахождению обратной матрицы A−1 и умножению её слева на матрицу-столбец правых частей B . Заметим, что матрица B начинает «работать» лишь на этапе умножения.

Установим связь на примере системы третьего порядка между правилом Крамера и нахождением решения с помощью обратной матрицы.

28

[Введите текст]

Для этого заметим, что из (3.3) и (3.4) с учетом формулы разложения определителя по столбцу и использованных выше обозначений следует

 

 

A11

A21

A31

 

b1

 

 

b1 A11 + b2 A21 + b3 A31

 

 

Dx

X =

1

A A

A

× b

=

1

b A + b A + b A

=

1

D

 

 

 

 

D( A)

22

 

 

 

 

D( A)

 

D( A)

 

 

 

12

32

2

 

 

1 12 2 22 3 32

 

 

 

y

 

 

A13

A23

A33

b3

 

b1 A13 + b2 A23 + b3 A33

 

Dz

что совпадает с формулами Крамера.

Пример. Основываясь на формуле (3.6), решим систему уравнений

x + 2 y = b

1

x + y + z = b22x + z = b3

1

2

0

 

x

 

b1

 

A =

1

1

1

 

,

X = y

,

B = b

.

 

2

0

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

z

 

b3

 

1

 

1

-2

2

Обратная матрица была найдена ранее A−1 =

 

1

-1

-1 .

 

3

 

-2

4

 

 

 

 

-1

Не следует «торопиться» делить каждый элемент матрицы на определитель D( A) . Вычисляем матрицу-столбец неизвестных

 

1

 

1

-2

X =

 

 

1

-1

3

 

-2

4

 

 

 

2

b1

 

 

1

b1 - 2b2 + 2b3

 

-1

× b

 

=

 

b - b - b

.

 

 

2

 

3

 

1 2 3

 

-1

b3

 

 

 

-2b1 + 4b2 - b3

 

 

x

 

1

 

Пусть, например, b = 1,

b = 2 ,

b = 3 , тогда X = y

=

0

.

1

2

z

 

1

 

3

 

 

 

29

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]