Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

9722

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
25.11.2023
Размер:
3.14 Mб
Скачать

[Введите текст]

После преобразований, аналогичных тем, которые были проделаны для уравнения эллипса, соотношение приобретает вид

xc a2 = ±a( x c )2 + y2 .

Возведя в квадрат и упростив, получим (c2 - a2 ) x2 - a2 y2 = a2 (c2 - a2 ) .

Учитывая, что, в отличие от эллипса, для гиперболы a < c , можно ввести

b2 = c2 a2 . Тогда уравнение примет вид

b2 x2 - a2 y2 = a2b2

или

 

x2

-

y2

=1.

(25.3)

 

a2

 

 

 

b2

 

 

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Так как уравнение (25.3) содержит x и y

только в чётных степенях, то ги-

пербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно начала координат. Оси симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы. Положив y = 0 в уравнении

(25.3), найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 (-a;0) ,

A2 (a;0), которые называются вершинами гиперболы. Если взять x = 0 в

уравнении (25.3), то получим y2 = -b2 . Следовательно, с осью Oy гипербола не пересекается. Отрезок A1 A2 = 2a принято называть действитель-

ной осью гиперболы ОA1 = a действительной полуосью); отрезок

B1B2 = 2b , соединяющий точки B1 (0; -b) и B2 (0;b) , называется мнимой осью ( ОB1 = b мнимой полуосью). Прямоугольник со сторонами 2a и

2b называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 25.3).

Из уравнения (25.3) следует, что если x < a , то y не имеет действи-

тельных значений, то есть, нет точек гиперболы с абсциссами −a < x < a .

Должно выполняться условие

x2

 

³1 или

 

x

 

³ a . Это означает,

что гипер-

 

 

 

 

бола состоит из двух частей:

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

её точки расположены справа

от прямой

x = a , образуя правую ветвь,

 

и слева от прямой x = −a , образуя левую

ветвь. Наконец, из уравнения (25.3) видно, что с возрастанием

 

x

 

возрас-

 

 

тает и

 

y

 

, так как разность

x2

 

-

y2

сохраняет постоянное значение. Тем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

самым приходим к заключению: если y > 0 , то точка M ( x, y ) при возрас-

тании x , начиная от x = a , движется всё время «вправо» и «вверх»; если y < 0 , то M ( x, y ) движется «вправо» и «вниз». Так образуется неограни-

180

[Введите текст]

ченная правая ветвь. При x → −∞ от значения x = −a получается левая неограниченная ветвь гиперболы (рис. 25.2).

Рис. 25.2

Присмотримся более внимательно к тому, как именно точка M «уходит в бесконечность». В лекциях по математическому анализу было введено понятие наклонной асимптоты графика функции. Из уравнения (25.3)

выразим переменную y = ± b x2 a2 . Далее для полученных двух функ- a

ций используем формулы нахождения коэффициентов уравнения y = kx + d наклонной асимптоты при x → +∞

=± b a

 

f ( x)

 

b

 

a 2

 

k = lim

 

= lim ±

 

1 −

 

 

=

 

a

 

x→+∞ x

x→+∞

 

x

 

d = lim f

( x) kx = lim

 

±

b

 

 

 

 

 

 

x2 a2

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

(

 

x)(

 

+ x)

 

 

 

 

 

 

lim

x2 a2

x2 a2

= ±

b

lim

 

 

(

 

+ x)

 

 

 

 

x→+∞

 

 

x2 a2

 

 

 

 

 

 

a x→+∞

±b ; a

Mb x = a

a2 = 0 . x2 a2 + x

181

[Введите текст]

Следовательно, прямые y = ± b x являются наклонными асимптотами пра- a

вой ветви гиперболы при x → +∞ . Для левой ветви из соображений симметрии при x → −∞ получаются те же асимптоты.

Итак, построение гиперболы по каноническому уравнению (25.3) следует начинать с изображения основного прямоугольника, продолжая диагонали которого мы получим асимптоты. Обе бесконечные ветви рисуем неограниченно приближающимися к ним (рис. 25.2). Фокусы находятся на

расстоянии c = a2 + b2 от начала координат.

Гипербола с равными полуосями (a = b) называется равносторонней,

её каноническое уравнение имеет вид x2 y2 = a2 . Основной прямоугольник равносторонней гиперболы становится квадратом; прямые y = x и y = − x являются асимптотами, перпендикулярными друг к другу.

Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается

буквой ε : ε = c . Для гиперболы ε > 1, так как c > a . Поскольку a

 

 

 

c2

a2 + b2

b 2

 

b 2

b

 

 

 

 

 

 

2

 

 

= ε

2

−1 .

ε

 

=

 

 

=

 

 

= 1 +

 

 

, то

ε =

1 +

 

 

,

 

 

 

a

2

a

2

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

Следовательно, как и для эллипса, эксцентриситет гиперболы определяется отношением её осей. Он характеризует форму основного прямоугольника гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение

b , то есть основной прямоугольник более вытянут в направлении действи- a

тельной оси. Для равносторонней гиперболы ε = 2 .

182

[Введите текст]

Лекция 26. Парабола. Приведение кривых к каноническому виду

26.1. Парабола. Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 26.1). Величину p называют фокальным параметром параболы.

Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и ди-

ректрисой (рис. 26.1). Тогда координаты фокуса

F ( p / 2;0) , а уравнение

директрисы в этой системе координат имеет вид

x = −

p

.

 

 

2

 

 

 

 

 

Рис. 26.1

 

Координаты произвольной точки M параболы обозначим x и

y , за-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2

 

2

 

 

пишем расстояние

MF =

x

 

 

+ y

 

. Расстояние от точки M

до ди-

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

ректрисы равно MQ , где Q – основание перпендикуляра, опущенного из

M на директрису. Поскольку

Q

имеет

координаты

p

; y

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

MQ = x +

p

. Тогда для параболы получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p 2

 

2

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

+ y

 

= x +

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

183

[Введите текст]

Возведя обе части равенства в квадрат получим каноническое уравнение

параболы

y2 = 2 px .

(26.1)

Как для эллипса и гиперболы, уравнение параболы тоже является частным случаем уравнения второго порядка. Оно получается из (25.1) при

A = B = D = F = 0.

Уравнение (26.1) содержит переменную y только в чётной степени, что доказывает симметрию параболы относительно оси Ox . Так как p > 0 , то переменная x должна быть неотрицательной. Это означает, что парабола расположена справа от оси Oy . Если x = 0 , получаем y = 0 . При возрас-

тании x возрастает и y (причём,

если

x → +∞ , то y → +∞ ). Построив в

 

y =

 

 

и отразив его симметрично

первой четверти график функции

 

2 px

относительно оси Ox , получим

геометрическое изображение параболы

(рис. 26.1). Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат). Для описания геометрического смысла фокального параметра p можно взять какое-либо значение абсциссы, например, x = 1. Из

уравнения

(26.1) найдём соответствующие

ему

значения ординаты:

y = ±

 

 

 

M1 (1;

 

) и M 2 (1;−

 

),

2 p

 

.

Это даёт на параболе две точки

2 p

2 p

расстояние между которыми равно 22 p . Тем самым, чем больше p , тем больше расстояние M1M 2 . Следовательно, параметр p характеризует «ширину» области, ограниченной параболой.

Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещё к нескольким геометрическим случаям, называемым вырожденными.

26.2. Вырожденные случаи. Если в уравнении линии второго поряд-

ка

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(26.2)

коэффициенты B = D = E = F = 0 , то остаётся только два слагаемых, т.е. Ax2 + Cy2 = 0 . При одинаковых знаках A и C уравнению соответствует на

плоскости одна точка – начало координат. При разных знаках A и C

па-

 

 

 

 

 

 

ра пересекающихся прямых

y = ±

A

x .

 

 

 

 

 

 

C

 

Если в уравнении (26.2) остаются ненулевыми два других слагаемых,

например, оно имеет вид

Cy2 + F = 0 , то возможны две ситуации:

при

 

184

 

[Введите текст]

одинаковых знаках коэффициентов C и F решений нет, а при разных знаках C и F получаются две параллельные прямые.

Если из уравнения (26.2) остаётся одно слагаемое Cy2 = 0 или Ax2 = 0 , то на плоскости получается одна прямая. Если B = D = E = 0 и в уравнении Ax2 + Cy2 + F = 0 коэффициенты A > 0,С > 0, F > 0 , то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.

26.3. Приведение уравнения линии второго порядка к канониче-

скому виду. Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (п. 26.2). В задачах аналитической геометрии обычно задаётся вид уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нём могут присутствовать произведение координат x и y (т.е. B ¹ 0 ) или переменные x и y без квадратов ( D ¹ 0 или Е ¹ 0 ). Это будет означать, что в исходной системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение. После этого легко будет построить график заданной кривой.

Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования системы координат, которые не изменяют расстояния между точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Этих преобразований достаточно для решения поставленных в этой лекции задач. Разберём далее, что происходит с уравнениями при том или ином преобразовании координат.

26.4. Параллельный перенос осей координат. Рассмотрим на плос-

кости прямоугольную декартову систему координат xO y

Рис. 26.2

185

[Введите текст]

Выберем начало вспомогательной системы координат в точке

Oў(x0 ; y0 ).

осям O x

Оси Oўxў и Oўyўрасположим параллельно соответствующим

и O y , одинаково с ними направив. Масштаб сохраняем. Такой

переход от системы xO y к системе Oўxўyў называется параллельным пе-

реносом осей координат.

Для произвольной точки M координаты относительно исходных осей обозначим через (x; y), а координаты по отношению к «новым» осям обо-

значим

(

)

Поскольку

имеет место векторное равенство

 

xў; yў .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

OM = OOў+ OўM (рис. 26.2), то можно записать в координатах

 

 

 

 

 

 

 

 

м

x

ў

x

 

 

 

 

 

 

 

 

пx =

+

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

0

(26.3)

 

 

 

 

 

 

 

н

y

ў

y0

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

опy =

+

 

Формулы (26.3) позволяют находить исходные координаты (x; y) по из-

(

)

 

 

 

 

 

вестным xў; yў

при параллельном переносе. «Новые» координаты выра-

жаются через исходные следующим образом:

 

 

 

м

ў

x -

x

 

 

 

 

пx

=

 

 

 

 

п

 

 

0

,

(26.4)

 

 

н

ў

y -

y0

 

 

п

 

 

 

 

опy

=

 

 

Пусть, например, исходное уравнение имеет вид

x2 + 2x + 4 y2 - 16 y = 8

или

x + 1 2

+ 4 y -

2

2

= 25 .

 

 

(

)

(

 

)

 

После выполнения параллельного переноса, задаваемого формулами

 

м

 

ў

x + 1

 

пx

 

=

 

п

 

 

 

 

 

 

,

 

н

 

ў

 

 

 

п

 

y - 2

 

опy

 

=

оно приобретёт вид

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

y

2

 

 

x

+

 

 

 

= 1.

25

25 / 4

 

 

 

Видим, что в новых координатах получилось каноническое уравнение эллипса с полуосями a = 5 и b = 5 / 2 с центром в начале координат Oў.

186

[Введите текст]

Рис. 26.3

Из формул (26.4) ясно, что точка Oў в исходной системе имеет координаты (- 1;2). На рисунке 26.3 отражено построение, соответствующее тако-

му преобразованию.

26.5. Преобразование поворота системы координат. Повернём ис-

ходную систему координат xO y вокруг начала координат на угол j (положительным считается поворот против часовой стрелки) в положение

O xўyў (рис. 26.4).

Рис. 26.4

Пусть точка M имеет в исходной системе координаты (x; y) и коор-

динаты (xў; yў) в «новой» системе координат O xўyў. Чтобы установить

связь между исходными и новыми координатами точки M , выполним дополнительные построения. Через A и B обозначим проекции точки M на координатные оси O x и O y , а через D и C — проекции её на оси O xў и

O yў (рис. 26.4). Из точки D опустим перпендикуляры на отрезок AM (основание перпендикуляра — точка F ) и ось O x (основание перпендикуля-

ра – точка Dў). Тогда из геометрических соображений получаем, что

187

[Введите текст]

 

x =

OA

=

ODў-

 

 

 

ADў=

ODў-

FD

=

 

 

 

 

 

=

 

OD

 

cos j

-

 

 

MD

 

 

sin j

= xўcos j -

yўsin j ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

AM

=

 

AF

+

 

 

 

FM

=

DDў+

MF

=

 

 

 

 

 

=

 

OD

 

sin j

+

 

 

MD

 

cos j

= xўsin j +

yўcos j .

 

(

)

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, формулы, выражающие исходные координаты

x; y

 

произвольной точки M через её новые координаты при повороте осей на

угол j , имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

x

ў

 

 

 

 

 

 

-

 

ў

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пx =

 

 

 

cos j

y sin j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(26.5)

 

 

 

 

 

 

н

 

x

ў

 

 

 

 

 

 

+

 

ў

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

опy =

 

 

 

sin j

y cos j

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходная система xO y получается поворотом новой системы O xўyў

(

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на угол - j

. Поэтому, если в равенствах (26.5) поменять местами исход-

ные и новые координаты, заменяя

 

 

 

 

 

 

одновременно j на

(

)

 

 

 

 

 

 

 

 

- j

, то можно

выразить новые координаты точки

M через её исходные координаты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

ў

x cos j

+

y sin j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

x

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н

 

ў

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

x sin j

+

 

y cos j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

опy = -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим, например, уравнение

 

эллипса

 

x2

+

 

y2

= 1.

Оно не яв-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

 

 

 

ляется каноническим, поскольку в нём a < b . Чтобы поменять оси местами, выполним поворот на угол j = 900 и перейдём к системе координат Оxўyў

(рис. 26.5). В формулы (26.5) подставим

cos ϕ = 0 и sin ϕ = 1:

м

 

y

ў

пx = -

 

п

 

 

.

н

y =

 

п

xў

оп

 

 

 

Теперь, действительно, получилось каноническое уравнение

xў2 + yў2 = 1. 4 2

188

[Введите текст]

 

 

 

 

Рис. 26.5

 

 

 

 

 

 

Аналогично рассмотренному примеру для приведения

уравнения

 

y2

x2

= 1 к каноническому виду тоже выполним поворот на угол j = 900

 

b2

 

 

 

a2

x2

 

y2

 

В новой системе координат уравнение приобретёт вид

=1. Оно

 

 

 

 

 

 

 

b2

a2

определяет гиперболу, вершины и фокусы которой лежат на оси Oy . Эта гипербола называется сопряжённой по отношению к гиперболе (25.3). Они имеют одинаковые асимптоты (рис. 26.6).

Рис. 26.6

189

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]