9429

Гипербола

Множество всех точек M плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, называется гиперболой. Указанная разность берётся по

Это уравнение, как и для эллипса, приводится для удобства к другому виду. Перенесём второй радикал в правую часть и возведём в квадрат обе части уравнения

x c 2 y2 4a2 4a x c 2 y2 x c 2 y2 ,

раскроем скобки и после сокращения получим xc a2 a x c 2 y2 .

50

Снова возводим в квадрат и сокращаем подобные слагаемые:

c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2 .

чётных степенях, то гипербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно начала координат. Оси симметрии гиперболы называются её осями, а точка пересечения осей – центром гиперболы.

Положив y 0 в уравнении (5.3), найдём две точки пересечения гиперболы с осью Ox : A1 a;0 , A2 a;0 , которые называются вершинами гиперболы. Если взять x 0 в уравнении (5.3), то получим y2 b2 . Следовательно, с осью Oy гипербола не пересекается.

Отрезок A1 A2 2a принято называть действительной осью гиперболы (а отрезок ОA1 a – действительной полуосью);

отрезок B1B2 2b , соединяющий точки B1 0; b и B2 0;b ,

называется мнимой осью ( ОB1 b – мнимой полуосью).

Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы (рис. 5.2).

Из уравнения (5.3) следует, что если x a , то y не имеет действительных значений, то есть, нет точек гиперболы с

абсциссами a x a . Должно выполняться условие x2 1 или a2

51

x a . Это означает, что гипербола состоит из двух частей: её точки расположены справа от прямой x a , образуя правую ветвь, и слева от прямой x a , образуя левую ветвь. Наконец,

из уравнения (5.3) видно, что с возрастанием x возрастает и y ,

самым приходим к заключению: если y 0 , то точка M x, y при возрастании x , начиная от x a , движется всё время «вправо» и «вверх»; если y 0 , то M x, y движется «вправо» и «вниз». Так образуется неограниченная правая ветвь. При x от значения x a получается левая неограниченная ветвь гиперболы (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Присмотримся внимательнее к тому, как точка M «уходит в бесконечность». В математическом анализе используется понятие асимптотического приближения какой-либо кривой Г к прямой l , называемой асимптотой этой кривой. Это понятие вводится, если возможно неограниченное удаление точки M по бесконечной ветви линии Г , при котором расстояние от точки

52

Итак, построение гиперболы по каноническому уравнению (5.3) следует начинать с изображения основного прямоугольника, продолжая диагонали которого мы получим асимптоты. Обе бесконечные ветви рисуем неограниченно приближающимися к

x2 y2 a2 . Основной прямоугольник равносторонней гиперболы

эксцентриситет гиперболы определяется отношением её осей. Он характеризует форму основного прямоугольника гиперболы. Чем

b

меньше эксцентриситет, тем меньше отношение a , то есть

основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Для равносторонней гиперболы 2 .

53

Парабола

Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F (фокуса) и данной прямой L (директрисы), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 5.3). Величину p называют

фокальным параметром параболы.

Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе, будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Координаты произвольной точки M параболы обозначим x

перпендикуляра, опущенного из M на директрису. Поскольку Q

54

является частным случаем уравнения второго порядка. Оно получается из (5.1) при A B D F 0.

Уравнение (5.4) содержит переменную y только в чётной степени, что доказывает симметрию параболы относительно оси Ox . Так как p 0 , то переменная x должна быть неотрицательной. Это означает, что парабола расположена справа

симметрично относительно оси Ox , получим геометрическое изображение параболы (рис. 5.3). Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат).

Кроме рассмотренных классических кривых, уравнение линии второго порядка может привести ещё к нескольким геометрическим случаям, называемым вырожденными.

уравнению соответствует на плоскости одна точка – начало

A 0,С 0, F 0, то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.

56

§6. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду

Мы рассмотрели все геометрические ситуации, к которым может привести общее уравнение линии второго порядка (5.1). В задачах аналитической геометрии обычно задаётся вид уравнения второго порядка с конкретными числовыми коэффициентами. В нём могут присутствовать произведение

системе координат уравнение не является каноническим. Нужно перейти к другой системе координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид. Это даст возможность определить, к какому из рассмотренных случаев относится заданное уравнение. После этого легко будет построить график заданной кривой.

Для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду используются только те преобразования системы координат, которые не изменяют расстояния между точками, то есть не деформируют кривую. К таким преобразованиям, в частности, относятся параллельный перенос и поворот осей координат. Разберём далее, что происходит с уравнениями при параллельном переносе координат.

Параллельный перенос осей координат

Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат xOy . Выберем начало вспомогательной системы координат в точке Oў(x0 ; y0 ). Оси Oўxў и Oўyў расположим

параллельно соответствующим осям Ox и Oy , одинаково с ними направив. Масштаб сохраняем. Такой переход от системы xOy к системе Oўxўyў называется параллельным переносом осей координат.

57

Формулы (6.1) позволяют находить исходные координаты (x; y)

по известным (xў; yў) при параллельном переносе. «Новые» координаты выражаются через исходные следующим образом:

Пример. Какой вид приобретёт уравнение прямой y = 3x - 1 в новой системе координат, если совершается параллельный перенос осей координат к новому началу Oў(1;2)?

58

Видим, что после параллельного переноса уравнение может упроститься (а может и усложниться). Важно правильно выбирать новое начало координат.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение

(x- 1)2 + (y + 3)2 = 4 . Построить кривую, заданную этим

уравнением.

Решение. Ясно, что полезен параллельный перенос

центром в начале координат Oў(1;- 3). На рисунке 6.2 отражено

построение, соответствующее такому преобразованию.

Ответ: xў2 + yў2 = 4.

y y

O

Рис. 6.2

59