9429
.pdfСледовательно, площадь треугольника, построенного на
векторах a и b (рис. 2.8) равна половине модуля векторного произведения, построенного на векторах a и b :
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
Sпарал. |
|
|
|
a b |
. |
||||||
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b
a |
Рис. 2.8 |
Пример. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a 2i k и b j k .
Решение. a 2;0 1 и b 0;1; 1 . Тогда
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a b |
i |
j |
k |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 1 i 2 0 j 2 0 k i 2 j 2k ; a b 12 22 22 3 , следовательно
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 1,5(кв. ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: 1,5 кв. ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Смешанное произведение векторов |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Рассмотрим |
произведение трех векторов a , b и c , |
||||||||||||||||||||||
составленное следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
, то есть первые два |
||||||||||||||||
a |
b |
c |
вектора a и b умножаются векторно, а их результат - скалярно на третий вектор c . Такое произведение векторов называется смешанным и обозначается a b c , то есть a b c abc .
20
Смешанное произведение трех векторов a , b и c
представляет собой число, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2.9), взятое со знаком «плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.
c
b
a |
Рис. 2.9 |
Свойства смешанного произведения
1)a b c b c a c a b;
2)a b c a b c ;
3)a b c a c b ; a b c b a c , a b c c b a ;
4)Если a b c 0, то векторы a , b и c компланарны.
Смешанное произведение трех векторов a , b и c ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1;b2 ;b3 и |
||
заданных своими координатами |
a |
a1; a2 ; a3 , |
b |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
c |
c1;c2 ;c3 , вычисляется по формуле |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a2 |
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a b c |
b1 |
b2 |
b3 |
. |
(2.4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
c2 |
c3 |
|
|
|
Пример. Вычислить смешанное произведение векторов a 2i j , b j k , c i j k .
Решение. a 2; 1;0 , b 0;1; 1 , c 1;1;1 . Тогда
21
|
1 |
0 |
|
||||||
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b c |
0 |
1 |
1 |
2 0 1 0 2 0 5. |
|||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: a b c 5.
Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c (рис. 2.9) вычисляется по формуле
Vnap. abc .
Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a , b и c (рис. 2.10) вычисляется по формуле
Vnup. 16 a b c .
a c
b
Рис. 2.10
Пример. Найти объем пирамиды, построенной на векторах a 1; 2;3 , b 0;1; 1 и c 0; 1;0 .
Решение.
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b c |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
0 0 0 0 1 0 1. |
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тогда V |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
(куб. ед.). |
||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nup. |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ответ: |
V |
|
|
|
(куб. ед.). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nup . |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
§ 3. Прямая линия на плоскости
Переходим к изучению прямой линии на плоскости. В аналитической геометрии фигуры описывают формулами. Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства, связывающего координаты точек прямой.
Исследование уравнения прямой позволяет аналитически проводить изучение геометрических свойств прямой. Так, для того, чтобы установить, лежит ли точка на прямой F x, y 0, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим
построениям), удовлетворяют ли координаты |
точки |
M 0 |
||||||
уравнению |
F x, y 0 |
этой |
прямой, |
то |
есть, |
выполняется |
ли |
|
равенство F x0 , y0 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Лежит ли точка M 0 1; 2 на прямой l : 3x y 1 0? |
||||||||
Решение. Подставив в уравнение прямой |
3x y 1 0 |
|||||||
координаты |
точки |
M 0 |
вместо |
x |
и |
y |
получаем: |
3 1 2 1 3 1 2 0.
Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .
Общее уравнение прямой
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости xOy задана точка M 0 x0 ; y0 и вектор N A; B . Требуется составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 и перпендикулярной вектору N . (рис. 3.1)
23
y |
|
|
l |
N |
|
M 0 |
M |
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
Рис. 3.1 |
Выберем произвольную точку M x; y на прямой l . Тогда вектор M0 M x x0 ; y y0 лежит на прямой l . Так как прямая l
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикулярна вектору N по условию, то и вектор |
M0 M |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
перпендикулярен вектору N , а значит M0 M N 0, откуда |
|
|
|||||||
A x x0 B y y0 0. |
(3.1) |
Уравнение (3.1) является уравнением прямой на плоскости, проходящей через точку x0 ; y0 и перпендикулярной вектору
N A; B .
Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется вектором нормали прямой. Вектор N A; B является вектором нормали прямой l .
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через
точку M 0 1; 2 и перпендикулярной вектору |
|
|
|
|
||||||||
|
PQ |
, если P 0;1 и |
||||||||||
Q 1; 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектором нормали прямой l : N PQ 1;1 . |
|
|
|
|
|
|||||||
Подставляя в уравнение (3.1) координаты точки M 0 1; 2 и |
||||||||||||
|
|
|||||||||||
координаты вектора |
N |
1;1 , находим |
искомое уравнение |
прямой |
l : |
|
l : |
1 x 1 1 y 2 0 или |
x y 1 0 |
|
24 |
|
Ответ: x y 1 0 .
Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом:
Ax Ax0 By By0 0 |
или |
Ax By Ax0 By0 0 . |
|
Обозначив C Ax0 |
By0 , |
получаем общее |
уравнение |
прямой на плоскости вида |
|
|
|
Ax By C 0. |
(3.2) |
Исследуем уравнение (3.2):
1. При A 0, B 0, C 0 уравнение (3.2) примет вид
Ax By C .
Разделив обе части последнего уравнения на C
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
1, |
|
|
|
|
|
C |
|
|
C |
|
||||
|
|
|
|
A |
|
B |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
обозначив a C |
A |
, |
b C |
B |
|
получаем уравнение прямой на |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
плоскости в «отрезках» вида |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
y |
1, |
|
(3.3) |
||||
|
|
|
a |
b |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a и b - величины отрезков, которые прямая l отсекает от осей координат (рис. 3.2).
|
y |
l |
|
|
b |
a |
0 |
x |
|
|
Рис.3.2 |
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 1; 2 и отсекающей от осей координат равные отрезки
(рис. 3.3).
25
y
l
b
2 M 0
0 1 |
a |
x |
Рис. 3.3
Решение. Используем уравнение (3.3). |
Так |
как |
a b по |
|||||
условию, то его |
можно переписать в виде |
l : |
x |
|
y |
1 |
или |
|
a |
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
l : x y a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку точка M 0 1; 2 лежит на прямой l , то, подставляя |
||||||||
ее координаты |
в последнее уравнение, |
находим |
a 3. |
Следовательно, l : x y 3 – уравнение искомой прямой.
Ответ: x y 3 .
Пример. Построить прямую l : 2x 3y 6 0.
Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида
(3.3):
2x 3y 6 0 ; |
2x 3y 6 ; |
|
|||||||
|
2x |
|
3y |
1; |
x |
|
y |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
6 |
|
3 |
|
2 |
|
|||
Отметим на оси Ox точку x 3, а на оси Oy точку |
y 2 и |
через эти точки проведем прямую. Это и будет искомая прямая
(рис. 3.4).
26
y
0 |
3 |
x |
-2
Рис.3.4
Если B 0, то уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:
|
By Ax C |
или |
y |
A |
x |
C |
. |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
B |
|
Обозначив |
k |
A |
, b |
C |
, |
получим уравнение прямой с |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
B |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
угловым коэффициентом k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l : y kx b |
|
|
|
|
|
(3.4) |
Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой l к положительному направлению оси Ox (рис. 3.5), то есть k tg .
y
|
|
|
|
y |
M |
|
|
|
|
|
|
|
y b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
0 |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
Рис.3.5 |
|
|
Из рисунка 3.5 |
следует, что для любой точки M x; y l |
||||||
выполняется равенство |
|
y b |
tg k . |
|
|
||
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
27
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 1; 2 и образующей с положительным направлением оси Ox угол 45 .
Решение. Пусть искомое уравнение прямой l запишется в
виде (3.4) |
l : y kx b. По |
условию |
45 , |
значит |
||
k tg tg45 1, следовательно l : y x b . |
|
|
|
|||
Поскольку точка M 0 1; 2 лежит на прямой, то подставляя в |
||||||
последнее уравнение ее координаты, находим |
l : 2 1 b, откуда |
|||||
b 1. |
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
искомое уравнение прямой l имеет |
вид |
|||
y x 1. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: y x 1. |
|
|
|
|
|
|
Пусть |
прямая l |
проходит |
через точку |
M 0 x0 ; y0 |
и |
ее |
направление характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:
l : y kx b,
где b – пока неизвестная величина. |
|
|
|
|
|
||
Так как точка |
M 0 x0 ; y0 лежит |
на |
прямой |
l , |
то |
ее |
|
координаты удовлетворяют уравнению прямой l , то есть |
имеет |
||||||
место равенство: y0 k x0 b , откуда |
b y0 kx0 . |
Подставляя |
|||||
значение b в уравнение y kx b , получаем: |
y kx y0 kx0 |
или |
|||||
y y0 |
k x x0 |
|
|
|
(3.5) |
||
Уравнение (3.5) |
с |
различными значениями k |
называется |
также уравнением пучка прямых с центром в точке M 0 x0 ; y0 .
Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Oy , так как tg90 .
28
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку пересечения прямых l1 : x y 2 0 и l2 : 2x y 5 0 и образующей с положительным направлением оси Ox угол 135 .
Решение. Координаты точки M 0 пересечения прямых l1 и l2
находим из системы уравнений этих прямых
x y 2 02x y 5 0
Получаем координаты точки M 0 1;3 .
По условию 135 , значит k tg135 1. Подставляя в уравнение (3.5) k 1 и x0 1, y0 3 находим искомое уравнение прямой
l : y 3 1 x 1 или l : x y 4 0.
Ответ: x y 4 0 .
2. При A 0, |
B 0, |
C 0 уравнение (3.2) примет вид |
Ax By 0.
Это уравнение прямой l , проходящей через начало координат –
точку O 0; 0 и точку M |
|
|
|
A |
|
|
0 |
|
1; |
|
(рис. 3.6). |
||
|
||||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
A |
B |
|
M |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
Рис.3.6 |
29