9388

x& = u(t),

y& = v(t),

z& = w(t),

u& = Fx (t, x, y, z,u,v, w),v& = Fy (t, x, y, z,u,v, w),w& = Fz (t, x, y, z,u,v, w)

Решив эту систему, можно получить не только траекторию движения точки, но и закон изменения её скорости.

Покажем, как можно найти интегральные кривые нормальной системы в простейшем случае двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида

где x = x(t) , y = y(t) – неизвестные функции времени. Из (48.1) следует, что

dy = cx + dy , dx ax + by

а это есть не что иное, как дифференциальное уравнение первого порядка относительно неизвестной функции y = y(x) , правая часть которого

является однородной функцией своих аргументов. Согласно методу решения таких уравнений полагаем y / x = u , где u – новая переменная, и

задача сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными u и x .

48.2. Математическая модель «хищник-жертва». К нормальной системе дифференциальных уравнений приводится математическая модель, описывающая борьбу двух видов в живой природе (более подробно см. Ю.И. Неймарк «Математические модели в естествознании и технике», издательство ННГУ, 2004 г.). Эта модель связана с именами биофизика Альфреда Лотки (1880-1949) и математика Вито Вольтерра

(1860-1940).

Рассмотрим пруд, в котором живут караси и щуки. Обозначим через x(t) и y(t) – функции, соответствующие числу карасей и щук в момент

времени t . Будем предполагать, что x и y достаточно велики, чтобы эти

функции можно было считать непрерывными и даже дифференцируемыми. Предполагается также, что в пище для карасей нет

53

недостатка, и в отсутствии щук караси размножаются экспоненциально со скоростью

dx = kx, k > 0, dt

которая пропорциональна их количеству. Что касается щук, то без карасей они вымирают экспоненциально со скоростью

dy = −l y, l > 0. dt

Предположим, что число «встреч» карасей со щуками пропорционально как числу карасей, так и числу щук, поэтому функция, определяющая количество карасей, удовлетворяет уравнению

dx = kx − axy, a > 0. dt

Щуки, съедая карасей, начинают размножаться со скоростью, пропорциональной числу этих «встреч», т.е. в результате получим уравнение

dy = −ly + bxy, b > 0. dt

Таким образом, приходим к системе уравнений Лотки – Вольтерра, представляющей собой простейшую модель экологической системы хищник— жертва

Коэффициенты этой системы «добываются» путём наблюдений, а ее решения находятся с помощью численного интегрирования. Ниже будут показаны графики решений для конкретной системы.

дифференциальному уравнению, связывающему между собой переменные x и y непосредственно, исключив из рассмотрения переменную t . А

именно, если в системе (48.2) разделить одно уравнение на другое, то приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными

54

k − ay dy = bx − l dx.

поэтому его интегральные кривые можно представлять как линии уровня функции

z(x, y) = bx + ay − l ln x − k ln y .

Рис. 48.1

На рис. 48.1 для конкретной системы (48.4) показаны сечения поверхности z(x, y) горизонтальными плоскостями. Из этого рисунка

видно, что ее линии уровня представляют собой замкнутые кривые и что эта функция, по-видимому, имеет минимум. Действительно, приравнивая к нулю частные производные

убеждаемся, что здесьь выполняется достаточное условие экстремума

55

Рис. 48.2

Дифференциальное уравнение (48.3) для этой системы имеет замкнутые интегральные кривые, подобные показанной кривой на рис. 48.2. Решения же x(t) и y(t) системы (48.4) определяют координаты точки,

«пробегаемой» с течением времени по этим интегральным кривым. Каждая замкнутая интегральная кривая соответствует периодическим колебаниям количеств щук и карасей, причем направление «движения» по кривой определяется исходной системой дифференциальных уравнений (48.4).

Пусть, например, сначала было 1300 карасей и 700 щук. Подставляя

Рис.48.4

48.3. Метод исключения. Выше мы показали, как дифференциальное уравнение высокого порядка сводится к нормальной системе дифференциальных уравнений. Иногда систему дифференциальных уравнений решают методом исключения – приведением системы к дифференциальному уравнению высокого порядка. Продемонстрируем этот метод на примере линейной системы второго порядка

y = cx + dy

Сведём ее решение к решению одного дифференциального уравнения

&&x = ax& + bcx + bdy .

57

получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции

x = x(t)

&&x − (a + d )x& − (bс − ad )x = 0 .

Ясно, что метод симметричен. Дифференцируя второе уравнение системы и исключая переменную x , получим уравнение второго порядка относительно функции y = y(t)

&&y − (a + d ) y& − (bс − ad ) y = 0 .

58

Раздел 9. Кратные интегралы

Лекция 49. Двойной интеграл: определение, свойства

В этой лекции мы переходим к рассмотрению способов интегрирования функций многих переменных. Интегралы, которые будут введены, являются обобщением понятия определённого интеграла для функции одной переменной. Напомним, что соответствующая лекция начиналась с рассмотрения задачи вычисления площади криволинейной трапеции. Сохраняя прежнюю логику рассуждений, начнём с геометрической задачи – нахождения объёма цилиндрического тела.

49.1. Задача о вычислении объёма цилиндрического тела. Пусть на плоскости xOу задана область D , ограниченная линией L (где L - замкнутая кривая без самопересечений), и пусть в области D определена некоторая непрерывная функция z = f ( x, y) ³ 0 .

Цилиндрическим телом будем называть тело G , ограниченное

1)плоскостью xOу ,

2)поверхностью z = f ( x, y) ,

3)цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz и направляющей L (рис. 49.1).

Рис. 49.1

Заметим, что это название достаточно условное. Например, полушар и конус оказываются «цилиндрическими телами». Некоторые авторы употребляют термин «тело с двумя крышками».

59

Ставим задачу найти объём тела G . Отметим, прежде всего, два

объём V равен сумме объёмов всех частей, т.е. V = V1 + V2 +

2. Если цилиндрическое тело G представляет собой прямой цилиндр с высотой H и площадью основания S , то V = SH .

Теперь разобьём область D на подобласти D1, D2 , ..., Dn . Здесь и

далее под разбиением будем понимать представление D в виде объединения областей D1 , D2 , ..., Dn , которые пересекаются между собой

только по границе (т.е. не имеют общих внутренних точек). В соответствии с этим тело G разобьётся на цилиндрические тела G1 , G2 , ..., Gn ,

ограниченные сверху кусками поверхности z = f (x, y) (рис. 49.2).

Рис. 49.2

Выберем в каждой частичной подобласти Di произвольную точку и заменим цилиндрическое тело Gi прямым цилиндром с тем же основанием (площади Si ) и высотой hi = f ( xi , yi ) . По принципу 2

объёмы всех прямых цилиндров, получим объём «ступенчатого» тела, дающий приближённое значение объёма исходного цилиндрического тела

точнее объём «ступенчатого» тела будет соответствовать тому числу, которое следует считать объёмом тела G . За точное значение объёма естественно принять предел сумм (49.1) при неограниченном увеличении числа подобластей Di . Переходя к пределу при n → ∞ , потребуем, чтобы

все частичные области стягивались в точку. Для этого введём понятие диаметра области Di как наибольшего расстояния между её точками.

Диаметром разбиения называется наибольший из диаметров областей Di . Обозначим его dn .

Будем считать теперь по определению, что объём тела G есть предел, если он существует, к которому стремится сумма (49.1) при диаметре разбиения, стремящемся к нулю

математическое понятие двойного интеграла функции f ( x, y) по области

D , будем сохранять способ рассуждений, использовавшийся для определения объёма цилиндрического тела.

Рассмотрим в плоскости xOу область D , ограниченную замкнутой

линией L без самопересечений, причём точки, лежащие на границе, будем считать принадлежащими области. Такие области называются

Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных для функции f ( x, y) в области D при различных

способах разбиения её на части. Будем предполагать, что диаметр разбиения стремится к нулю при n → ∞ .

Если существует предел интегральных сумм In при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, и этот предел не зависит ни от способов разбиения области D на подобласти D1, D2 , ..., Dn , ни от выбора точек Pi в каждой подобласти Di , то этот предел называется двойным интегралом функции f ( x, y) по области D и обозначается

∫∫ f ( x, y)ds .

D

Функция f ( x, y) в этом случае называется интегрируемой в областиD ; область D называется областью интегрирования.

61