9388

бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = ex0 . Такой ряд сходится только, если q < 1 . Т.к. неравенство ex0 > 0 выполняется при любом x , а неравенство ex0 <1 выполняется только при x0 <0,

то область сходимости рассматриваемого ряда совпадает с бесконечным интервалом (-∞,0). Причем в точке x0 его сумма равна

e x0

1 − e x0 .

Приведенные примеры показывают, что область сходимости функциональных рядов может быть самой разнообразной.

∞

Пусть имеется функциональный ряд ∑ f n ( x) с областью

n =1

определения D и областью сходимости D 0 . Через S(x) обозначим функцию, определенную в области D 0 , значение которой в точке x0 равно

∞

сумме числового ряда ∑ f n ( x0 ) . Функция S(x) называется суммой

n =1

функционального ряда. При этом говорят, что ряд сходится к функции

S(x) в области D 0 . Записывается это так:

∞

∑ f n ( x ) = S ( x)

n =1

143

Лекция 59. Степенные ряды.

В предыдущей лекции наряду с числовыми рядами были введены функциональные ряды. Особое место среди функциональных рядов занимают степенные ряды. Их рассмотрению будет посвящена настоящая лекция.

где a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n ,... известные числа, называемые коэффициентами

степенного ряда.

Область сходимости произвольного степенного ряда имеет достаточно простую структуру. Для выяснения ее строения сформулируем сначала следующую теорему, доказательство которой похоже на доказательство признака Даламбера.

Рис. 59.1

Из теоремы Абеля вытекает очень важное следствие о структуре области сходимости степенного ряда. А именно: область сходимости степенного ряда представляет собой открытый интервал, симметричный относительно центра степенного ряда x0 , к которому могут примыкать

один из концов или оба конца этого интервала. Иначе говоря, для всякого степенного ряда существует такое неотрицательное число R , называемое

Рис. 59.2

Как будет видно из нижеприводимых примеров, на концах данного интервала (т.е. при x = x0 − R и при x = x0 + R) м огут встречаться

различные ситуации, а именно: на обоих концах ряд может расходиться или на обоих концах ряд может сходиться, или на одном сходиться, а на другом расходиться. Причем и характер сходимости на концах интервала (условно или абсолютно) может быть различным.

145

Таким образом, ряд Маклорена для функции f ( x ) = ln (1 + x ) будет иметь вид:

Биномиальным рядом называется ряд Маклорена для функции f (x) = (1+ x)α

148

где f (n +1) (c) есть значение (n+1)-ой производной в некоторой точке с, находящейся на интервале ( x0 , x) .

Одно из достаточных условий сходимости ряда Тейлора для функции f (x) к значению этой функции в точке x приводится в

следующей теореме.

Теорема. Пусть модули всех производных функции f (x) в некоторой окрестности точки x0 ограничены одним и тем же числом С. Тогда для любой точки x из этой окрестности ряд Тейлора для функции f (x) сходится к значению этой функции в точке x.

Как правило, ряд Тейлора, составленный для функции f (x) ,

внутри области сходимости сходится к ее значениям в соответствующих точках. (Выделенные слова «как правило», подчеркивают тот факт, что следующее за ними предложение нельзя сформулировать в виде теоремы, ибо можно построить примеры, когда ряд Тейлора в области сходимости будет сходиться к значениям, отличным от значений функций, для которых он составлен.)

В частности, этот факт справедлив для функций, фигурирующих в соотношениях (59.3)-(59.5). Следовательно, в этих соотношениях в областях сходимости справа стоящих степенных рядов (и только в них) знак двоеточия может быть заменен на знак равенства.

Ранее было показано, что ряд в соотношении (59.3) сходится на всей числовой прямой и потому знак двоеточия может быть

В соотношении (59.3) знак двоеточия может быть также заменен на знак равенства при любых значениях x.

Ряд в правой части соотношения (59.5) сходится только в области (-1,1] и только в этой области знак двоеточия может быть заменен на знак равенства. В частности, если x =1, то получается равенство

150

Что касается соотношения (59.6), то если α не равно целому положительному числу, то радиус биномиального ряда равен 1 и двоеточие может быть заменено на знак равенства в области (-

1,1).

Итак, ряды Тейлора и Маклорена позволяют вычислять значения функций в области сходимости посредством выполнения бесконечного числа арифметических операций. Естественно, что при любых вычислениях можно выполнить только конечное число операций. Какова величина ошибки при остановке процедуры вычисления на n-ом шаге? В случае если ряд знакочередующийся, то, как уже указывалось выше, ошибка по абсолютной величине не превосходит модуля первого отбрасываемого члена. В общем случае оценка ошибки связана с определенными трудностями и сводится к оценке остаточного члена в формуле Тейлора (59.8).

Пример. Вычислить значение числа е с точностью до 0,0001. Из формулы Тейлора, ряда (59.10) и формулы (59.9) можно

записать, что