9008

Задачи для раздела 4.

Задача 1. Геометрический способ решения ЗНЛП

F (x1 3)2 (x2 4)2 min,max

3x1 2x2 710x1 x2 8

18x1 4x2 12 x1, x2 0

(x1 3)2 (x2 4)2 h 2(x1 3) 2(x2 4)x2' 0

x1* 123101; x2* 101422

f (min) 324101 x**1 2, x**2 12, f (max) 65

Задача 2.

Задача 3. (метод штрафных функций)

x12 + x22 min x1 + x2 -1 = 0

Оптимум достигается в точке (12 , 12) и равен 12 .

Задача со штрафом при достаточно большом :

x1 и x2 - координаты вектора x .

При 0 целевая функция этой задачи выпуклая. Необходимым и доста-

точным условием оптимальности является равенство нулю градиента функции grad f ( X ) x12 + x22 + * (x1 + x2 -1)2

то есть частные производные x1 + * (x1 + x2 -1) = 0

x1 + * (x1 + x2 -1) = 0

Решая эту систему из двух уравнений, получаем:

x1 = x2 = 1 + 2 *

при x1 = x2 = 12 .

Задача 4.

Задача 5.

Задача 6.

Задача 7.

102

4. Методические указания по организации самостоятельной работы

4.1 Общие рекомендации для самостоятельной работы

Самостоятельная работа студентов является основным способом овладения учебным материалом в свободное от обязательных учебных занятий время.

Целями самостоятельной работы студентов являются:

- систематизация и закрепление полученных теоретических знаний и практиче-

ских умений студентов;

-углубление и расширение теоретических знаний;

-формирование умений использовать нормативную, правовую, справочную до-

кументацию и специальную литературу;

-развитие познавательных способностей и активности студентов:

-формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию,

самосовершенствованию и самореализации.

Запланированная в учебном плане самостоятельная работа студента рассматри-

вается как связанная либо с конкретной темой изучаемой дисциплины, либо с под-

готовкой к курсовой, дипломной работе, а также к защите ВКР. В данном разделе рассматривается только самостоятельная работа первого вида.

Самостоятельная работа выполняется в два этапа: планирование и реализация.

Планирование самостоятельной работы включает:

-уяснение задания на самостоятельную работу;

-подбор рекомендованной литературы;

-составление плана работы, в котором определяются основные пункты пред-

стоящей подготовки.

Составление плана дисциплинирует и повышает организованность в работе.

На втором этапе реализуется составленный план. Реализация включает в себя:

-изучение рекомендованной литературы;

-составление плана (конспекта) по изучаемому материалу (вопросу);

-взаимное обсуждение материала.

Необходимо помнить, что на лекции обычно рассматривается не весь материал.

103

Оставшийся восполняется в процессе самостоятельной работы. В связи с этим рабо-

та с рекомендованной литературой обязательна.

Работа с литературой и иными источниками информации включает в себя две группы приемов: техническую, имеющую библиографическую направленность, и

содержательную. Первая группа – уяснение потребностей в литературе; получение литературы; просмотр литературы на уровне общей, первичной оценки; анализ надежности публикаций как источника информации, их относимости и степени по-

лезности. Вторая – подробное изучение и извлечение необходимой информации.

Для поиска необходимой литературы можно использовать следующие способы:

-поиск через систематический каталог в библиотеке;

-просмотр специальных периодических изданий;

-использование материалов, размещенных в сети Интернет.

Для того, чтобы не возникало трудностей понимания текстов учебника, моно-

графий, научных статей, следует учитывать, что учебник и учебное пособие предна-

значены для студентов и магистрантов, а монографии и статьи ориентированы на исследователя. Монографии дают обширное описание проблемы, содержат в себе справочную информацию и отражают полемику по тем или иным дискуссионным вопросам. Статья в журнале кратко излагает позицию автора или его конкретные достижении в исследовании какой-либо научной проблемы.

В процессе взаимного обсуждения материала закрепляются знания, а также приобретается практика в изложении и разъяснении полученных знаний, развивает-

ся речь.

При необходимости студенту следует обращаться за консультацией к препода-

вателю.

Составление записей или конспектов позволяет составить сжатое представле-

ние по изучаемым вопросам. Записи имеют первостепенное значение для самостоя-

тельной работы студентов. Они помогают понять построение изучаемого материала,

выделить основные положения, проследить их логику.

Ведение записей способствует превращению чтения в активный процесс. У

104

студента, систематически ведущего записи, создается свой индивидуальный фонд подсобных материалов для быстрого повторения прочитанного. Особенно важны и полезны записи тогда, когда в них находят отражение мысли, возникшие при само-

стоятельной работе.

Можно рекомендовать следующие основные формы записи: план, конспект, те-

зисы, презентация.

План – это схема прочитанного материала, краткий (или подробный) перечень вопросов, отражающих структуру и последовательность материала. Подробно со-

ставленный план вполне заменяет конспект.

Конспект – это систематизированное, логичное изложение материала источни-

ка. Объем конспекта не должен превышать 10 страниц. Шрифт Times New Roman,

кегль 14, интервал 1,5. Список литературы должен состоять из 5-8 источников, по возможности следует использовать последние издания учебных пособий и исследо-

ваний.

Тезисы – это последовательность ключевых положений из некоторой темы без доказательств или с неполными доказательствами. По объему тезисы занимают одну страницу формата А4 или одну – две страницы в ученической тетради. В конце те-

зисов студент должен сделать собственные выводы.

Презентации по предложенной теме составляются в программе Power Point или

Impress. Количество слайдов должно быть не менее 15 и не превышать 20 слайдов.

Кроме текста на слайдах можно создавать схемы и таблицы. Шрифт должен быть читаемым, например, шрифт черного цвета на светлом фоне или светлый шрифт на темном фоне. Также шрифт не должен быть слишком мелким. В слайдах указыва-

ются только основные тезисы, понятия и нормы.

4.2Темы для самостоятельного изучения

1.Методы прямого поиска. Методы случайного многомерного поиска.

2.Методы минимизации многомодальных функций. Метод ломаных.

105

3.Минимизация функций по правильному (регулярному) симплексу (метод Нелдера-Мида).

4.Метод параллельных касательных. Метод Пауэлла.

5.Метод сопряженных градиентов (Флетчера-Ривса).

6.Многомерный поиск. Метод вращающихся координат (Розенброка).

7.Метод Давидона-Флетчера-Пауэлла (DFP-формула).

8.Спуск с ограничениями. Метод возможных направлений Метод Зойтендейка.

9.Сравнение эффективности различных численных методов. (тест Розенброка,

Пауэлла и др.).

10.Многомерный поиск. Метод Хука-Дживса.

11.Метод внешних штрафных функций.

12.Внутренние штрафные функции. Метод Фиакко и Маккормика

13.Метод барьерных функций.

14.Внутренние штрафные функции. Метод Эрроу –Гурвица.

15.Метод Левенберга-Марквардта.

16.Метод обобщенного координатного спуска.

17.Метод Брента.

18.Метод Ньютона.

19.Модификация многомерных методов нулевого порядка для случая ограничений типа a<=x<=b.

20.Проблема овражности и её решение. Сравнительный анализ поведения некоторых методов.

21.Метод штрафной функции без параметров.

22.Метод точной штрафной функции (Пауэлл-Хестенс-Рокафеллар).

23.Обзор последних англоязычных работ по методам нелинейной оптимизации.

Анализ развития теории нелинейной оптимизации после классических работ

(Зангвилл, Зойтендейк, Гилл и проч.).

24. Реализация методов линейного поиска и их сравнительный анализ (золотое сечение, Брент и т.д.) на примере метода градиентов Коши.

106

25.Метод проекции градиента для линейных ограничений.

26.Метод проекции градиента с одним ограничением типа равенств.

4.3Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы

1.Кремер Н.Ш. Исследование операций для экономистов. – М.: ЮНИТИ,

2006.

2.Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Вильямс, 2007.

3.Гончаров В.А. Методы оптимизации: учеб. пособие для студентов вузов по спец. 010501(010200) "Приклад. математика и информатика", 230105(220400)

"Програм. обеспечение вычислит. техники и автоматизир. систем" / В. А. Гон-

чаров. – М. : Юрайт : Высш. образование, 2010.

4. Базара, Шетти. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. –М.:

Мир, 1982.

5. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы оптимизации. –

М.: Высш. шк., 1983.

6. Пантелеев А. В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах:

учебное пособие, 2-е издание – М.: Высш. шк. , 2005 – 544 с.

7. Аттетков А. В. , Зарубин В. С., Канатников А. Н. Введение в методы опти-

мизации : учебное пособие. – М. : Финансы и статистика, 2014.

8.Васильева О. А. , Ларионов Е. А., Лемин А. Ю., Макаров В. И. Методы оп-

тимизации : учебное пособие. – М. : Московский государственный строи-

тельный университет, ЭБС АСВ, 2014.

9.Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт: Практическая оптимизация .– М.: Мир, 1985.

10.Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах:

Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 2002. -544с.

11. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации: Учебное посо-

бие. – СПб.: Издательство «Лань», 2011. – 352 с.

107

12.Ларин Р.М., Плясунов А.В., Пяткин А.В. Методы оптимизации. Примеры и задачи: Учебное пособие. – Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2003. – 120 с.

13.Мудров А.Е. Название: Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик,

Фортран и Pascal. – Томск: Издательство «Раско», 1991.

4 Задания для самостоятельной работы

Раздел 1, 2.

1.Для заданной целевой функции f (x) x4 e x произвести графический анализ функции. Найти промежуток (X R), на котором функция унимодаль-

на. Построить графики первой и второй ее производных.

2.Найти методом золотого сечения точку минимума на этом отрезке с точно-

стью =0,001. Вычисление вести с одним запасным знаком.

3.Найти минимум функции методом средней точки для заданной точности

ε=0,02 на интервале [0,1].

4.Найти минимум функции методом хорд для точности ε=0,05.

5.Найти минимум функции методом Ньютона.

6.Для каждого метода изучить зависимость скорости работы (числа вычислений функции) от значения точности.

7.Проверить результаты вычислений с использованием надстроек Excel “Подбор параметра” и “Поиск решения”.

8.Сделать выводы об эффективности работы методов.

9.Выполнить задания для функций по вариантам и оформить отчет. Отчет дол-

жен включать следующие пункты:

1)Постановка задачи

2)Проверка унимодальности аналитическим методом и по графику (Если функция не является унимодальной, то измените интервал так, чтобы условие унимодальности было выполнено)

3)Точный метод поиска экстремума

4)Приближенные методы поиска экстремума:

108

Для каждого метода описание алгоритма

Блок-схема

расчеты

5)Сравнение методов по количеству обращений к функции и по точности

6)Вывод: какой метод более эффективен

3. на отрезке

4. на отрезке

5. на отрезке

Раздел 3. «Методы безусловной оптимизации функций многих пере-

менных»

1.Построить график поверхности заданной функции в трехмерной системе ко-

ординат. Графически отобразить линии уровня функции.

2.Найти точку минимума аналитически.

3.Методом покоординатного спуска с точностью 10 3 и 10 5 .

110