8785

20

z

x

Рис. 3.3

Аналогично проецируется сила и на две другие плоскости.

Модуль этого вектора равен:

Fxy = A1B1 = AB = AC ×cosα = F ×cosα

Для определения проекции силы на ось удобно сначала спроецировать силу на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию спроецировать на ось.

Fx y = F ×cosα

Fx = Fxy ×cos β = F ×cosα ×cos β

Этот прием называют методом двойного проецирования.

Заметим, что

∙Проекции вектора на параллельные оси равны.

∙Проекции вектора на параллельные плоскости геометрически равны.

3.2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ СИЛЫ

R

Рассмотрим силу F , которая представлена вектором с началом в точке A и с концом в точке B (рис. 3.4).

Для указания точки приложения силы используем радиус-вектор

R R R R

r = xAi + yA j + zAk ,

соединяющий начало системы координат и точку приложения силы.

R

Проекции вектора r на координатные оси равны координатам точки A , в ко-

R

торой приложена сила F .

R

Информация о величине и направлении силы F может быть представлена двумя способами.

21

R r

Рис. 3.4

Первый способ

Представим вектор силы в виде произведения (рис. 3.4)

R

где Fx , Fy , Fz − проекции вектора F на координатные оси (рис. 3.4).

То есть, для аналитического задания вектора силы необходимо указать три его проекции: Fx , Fy , Fz .

Опишем переход от одного представления к другому.

Допустим, что вектор задан вторым способом, при котором известны три его проекции − Fx , Fy , Fz .

Тогда модуль вектора можно найти как диагональ параллелепипеда:

F= Fx2 + Fy2 + Fz2 ,

анаправляющие косинусы, для которых выполняется известное соотношение

nx2 + ny2 + nz2 =1,

22

определить с помощью деления:

nx = Fx F , ny = Fy F , nz = Fz F.

В случае, когда вектор лежит в одной координатной плоскости, например в плоскости Oxy , формулы упростятся и приобретут следующий вид:

3.3. СЛОЖЕНИЕ СИЛ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ СПОСОБОМ

Существует три способа сложения сил:

1)графический

2)геометрический (графоаналитический)

3)аналитический.

Учитывая, что противоположные стороны паралеллограмма равны, сумму двух векторов можно найти, построив вместо параллелограмма сил, треугольник сил (рис. 3.5).

Треугольник сил строится от произвольной точки плоскости путем присоеди-

нения начала второго вектора к концу первого вектора. Замыкающий вектор геомет-

R

рически будет равен искомому вектору R . Результат суммирования не зависит от порядка следования слагаемых.Следовательно, силовой треугольник может быть построен двумя способами (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Суммарный вектор будет являться равнодействующей двух сил, если приложен в точке, где пересекаются линии действия слагаемых сил.

23

Графический способ сложения сил заключается в построении треугольника сил с помощью карандаша и линейки в заданном масштабе.

В настоящее время этот способ практически не применяется.

Геометрический способ решения задач основан на том, что модуль и направление суммы двух сил можно определить, используя формулы тригонометрии для треугольников.

По теореме косинусов для треугольника имеем:

Отсюда можно определить направление равнодействующей.

Суммирование нескольких сил может выполняться путем последовательного построения силовых треугольников.

3.4. МНОГОУГОЛЬНИК СИЛ, ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР СИСТЕМЫ СИЛ

( R R R )

Пусть на твердое тело действует система сил F1, F2 , ..., Fn (рис.3.6).

Вектор, равный векторной (геометрической) сумме сил системы будем называть главным вектором системы сил:

i=1

1.Главный вектор может быть найден для любой системы сил.

2.Главный вектор, как геометрическая сумма всех сил системы, никак не связана

скакой-то определенной точкой пространства.

3.Если для некоторой системы сил существует равнодействующая, то она по модулю и направлению совпадает с главным вектором. Неизвестной является только точка ее приложения (линия действия).

Будем обозначать главный вектор R , не указывая при этом точку пространства, в которой он был определен.

24

R

F1

Рис.3.6

Графически главный вектор находится с помощью построения многоугольни-

ка сил.

Выберем произвольную точку О, которую будем называть центром или точ-

кой приведения. Еще раз отметим, чтовеличина и направление главного вектора системы не зависит от положения точки приведения.

Путем последовательного построения треугольника сил будем суммировать

Rn R

=∑ FiR

i=1

Полученная в результате построения геометрическая фигура называется силовым многоугольником.

Силовой многоугольник строится путем совмещения начала каждого следую-

R

щего вектора с концом предыдущего вектора. При этом промежуточные вектора P1 ,

R

P2 и т.д. показывать не обязательно.

вектором силового многоугольника.

Форма силового многоугольника зависит от порядка суммирования векторов, но сам главный вектор от этого не зависит.

25

Вслучае плоской системы сил возможно графическое построение многоугольника сил в принятом масштабе сил, на чем основан графический метод ре-

шения задач теоретической механики.

Впространственном случае графическое построение многоугольника сил невозможно.

3.5. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ СИЛ

При аналитическом способе суммирования векторов используется известная

из векторной алгебры теорема:

Проекция суммы векторов на ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Пусть необходимо найти главный вектор системы сил ( R1 R2 Rn ).Для этого

F

,

F

,

...

,

F

необходимо выполнить сложениеn сил:

Rn R

=∑FiR

i=1

Поскольку равны векторы, стоящие в левой и правой частях последнего равенства, должны быть равны и их проекции на ось. Спроецируем это равенство на оси х, у, z:

Далее определим модуль суммарного вектора:

и его направляющие косинусы:

Итак, мы установили, что проекции главного вектора системы сил на оси координат равны суммам проекций этих сил на соответствующие оси.

Рассмотрим частный случай, когда силовой многоугольник замкнут. В

этом случае модуль главного вектора будет равен нулю:

Последнее равенство возможно только если все слагаемые под корнем равны нулю, то есть если

27

Рис. 3.7

В общем случае, когда сила на участке (О, l ) распределена по произвольному закону q =q(x), ее равнодействующая Q должна быть вычислена как интеграл. Ли-

ния действия равнодействующий Q проходит через центр тяжести подграфика интенсивности, положение которого неизвестно.

Рассмотрим частные случаи.

Равномерно распределенная сила

Если интенсивность постояннаq = const (см. рис. 3.7, б), то ее равнодействующая равна и приложена посередине участка распределения.

Сила, интенсивность которой меняется по линейному закону

Рис. 3.8

В этом случае (рис. 3.8, а) соответствующий интеграл даетQ = 1 ql,

2

и равнодействующая будет проходить на расстоянии 2l/3 от вершины треугольника интенсивности и на расстоянии l/3 от его основания.

Аналогично определяется равнодействующая, если с ростом координаты х ин-

тенсивность убывает от qmax до нуля.

Сила, интенсивность которой меняется по

линейному закону отq1 доq2

В этом случае (рис. 3.8, б) силу удобно разбить на две распределенные силы, рассмотренные в пункте 2 (на рисунке разбиение показано штрихом).

Тогда исходная распределенная сила заменится двумя силами, линии действия которых делят участок (О, l ) на три равные части.

28

Силы, распределенные по поверхности

Рис. 3.9

Интенсивность такой силы называется давлением р и измеряется в паскалях:

1Па = 1 Н/м2.

Впростейшем случае равномерно распределенной силы (рис. 3.9) на некотором участке поверхности ее равнодействующая будет равна, как известно, произве-

дению давления на площадь этого участкаА: F = pA и будет проходить через центр тяжести этого участка поверхности.

В более сложном случае для определения равнодействующей требуется вычисление интеграла по площади.

29

Тема 4.

СХОДЯЩИЕСЯ СИСТЕМЫ СИЛ

4.1. ПРИВЕДЕНИЕ СХОДЯЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ СИЛ К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ Сходящейся системой сил называются совокупность сил, линии действия ко-

торых пересекаются в одной точке − точке схода системы.

Простейшая система сходящихся сил (две силы) была рассмотрена в аксиоме параллелограмма сил (см. рис. 4.1), где указывалось, что их равнодействующая изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

R

F2

Рис. 4.1

R

F3

Рис. 4.2.

По аксиоме 3 определим равнодействующую первых двух сил: