8779

ная производной по времени от радиус-вектора этой точки:

!

#

(1.5)

"

В дальнейшем точкой сверху будем обозначать производную по времени.

Система координат при этом считается неподвижной, а орты

– постоянны-

ми, как по величине, так и по направлению.

, ,

По

)

*

+ ,

(*)

Выразим вектор скорости через его проекции на координатные оси:

определению

#

!

"

!

(**)

Возьмем производную от радиус-вектора

по времени:

# # #

(1.6)

)

#

Сравнивая формулы"

(*) и" (**) получим, что

* #

), *, + –

+

,#

где

проекции вектора скорости на координатные оси.

и его

,

Обычным образом находятся модуль вектора скорости:

-)

)

*

+

./ , )⁄

направляющие косинусы:

-*

./ , *⁄.

-+

./ , +⁄

движения;

<

2.

Скорость по модулю равна

;

ско-

3.

Знак проекции

показывает направление скорости: при

|

| |#|

координаты<

, а

рость направлена в положительном?

направлении

дуговой

при

>

@ 0

< A 0 − в отрицательном направлении.

ная производной по времени от вектора скорости точки:

B "

"D

B # E

C

D!

или

(1.8)

Система координат при этом считается неподвижной.

Ускорение характеризует изменение вектора скорости.

Размерность модуля ускорения

$B%

м⁄сF.

) *

+

(*)

B B B

B

лой:

)

* +

.

По определению

"D

B "

C

D!

Дифференцируя вектор скорости по времени, получим формулу для ускорения:

)

*

+

.

(**)

B # # #

E E E

II

I

Касательная, нормаль и бинормаль вместе образуют естественные оси.

Естественные оси являются подвижными, они перемещаются по траектории

С естественными осями связана правая тройка единичных векторов (ортов):

? N

единичный вектор касательной,

O N единичный вектор нормали,

единичный вектор бинормали.

P N

ДВИЖЕНИЯ

<;

Получим выражение для ускорения, учитывая, что по формуле (1.7)

B

"

"

;

"

;

"

C

<

CQ

<

<

.

(*)

Преобразуем вектор

<

,

учитывая, что

0

<

"

"

<

<

∙

0

<

<

.

"

0

"

0

Подставляя это выражение в (*) получим:

B

C"Q

; <

<

.

(**)

<

0

Рассмотрим вектор

.

0

86

<

R -,

(***)

0

Подставляя (***) в (**) и учитывая, что

, получим, что ускорение

равно векторной сумме:

<

B

C"Q

; CRD -.

(1.10)

Первое слагаемое называется касательным ускорением:

B<

CQ

;.

Оно направлено по"

касательной к траектории. Его проекция на касательную к

траектории равнаB<

CQ

E

(1.11)

Проекцию

называют"

алгебраическим значением касательного ускорения.

Её знак

показывает<в какую сторону дуговой координаты s направлено касательное

B

|B<|

уравнение.

Модуль касательного ускорения

можно вычислить через производную

от модуля скорости:

| <|

6

C

6

|

|.

"

B

#

Второе слагаемое называется нормальным ускорением:

B

CRD

-.

Оно направлено по главной номали и его проекция на главную нормаль

B

CRD

(1.12)

Проекция

B B

<

B

B ; B

-

.

мального ускорений:

<

.

(1.13)

вектора ускорения на бинормаль всегда равна нулю:

BS 0

Модуль полного ускорения равен

B ,

B< B

.

(1.14)

Радиус кривизны прямой линии бесконечен

L

. Из (1.12) следует, что нор-

мальное ускорение в этом случае равно нулю

∞.

Следовательно, при прямолинейном

движении

полное ускорение совпадает с ка-

B 0

сательным: B B< и B 6

C

6.

В этом случае скорость всегда"

направлена по одной линии −

траектории, откуда

вытекает вывод о физическом смысле касательного ускорения:

касательное уско-

рение характеризует изменение модуля скорости.

Равномерным называется такое движение точки, при котором модуль скорости

все время остается постоянным:

./- . Тогда

|B<| 6

C

6 0

и полное уско-

"

рение совпадает с нормальным:

B B .

При равномерном движении

движения<:

. Интегрируя это равенство,

получим уравнение равномерногоU⁄U ./-

.

(1.15)

определяет<

величину дуговой координаты в любой момент вре-

Это уравнение

V

мени.

Пройденный точкой путь

определяется путем интегрирования модуля ско-

рости:

"

.

движении

V

При

VравномерномU

.

W

Равномерное прямолинейное движение

<

B 0

, а скорость точки как вектор будет постоянна:

B

B

./-.

В этом случае равны нулю и касательное, и нормальное, и полное ускорения:

ную к траектории будет положительным (

), а при замедленном – отрица-

тельным ( <B< A 0).

<B< @ 0

заключается в определении знака проекции вектора ускорения на направление век-

тора скорости

BC B ./ X.

Если вектора скорости и ускорения заданы аналитически выражениями

)

*

+

)

*

+

, B B B B ,

C можно найти с по-

то проекцию скорости ускорения на направление скорости

YC

.

направляющий единичный

мощью скалярного умножения вектора ускорения

B

на

B

вектор скорости

, который равен

Тогда

YC

CZ[\C]^\C_`

C

aZCZ\a]C]\a_C_

BC B ∙ YC

aZ[\a]^\a_` CZ[\C]^\C_`

C

C

При BC @ 0 движение является ускоренным, а при BC A 0

−

замедленным.

Из рис. 1.6

видно, что |B<| |BC|.

По этой причине для определения модуля касательного ускорения можно ис-

пользовать формулу

| <|

6

aZCZ\a]C]\a_C_

6

(1.16)

B

C

Оно бывает равноускоренным или равнозамедленным.

Дважды интегрируя равенство

CQ

B<

./- ,

получим выражения для ско-

рости и дуговой координаты, то есть уравнения"

равнопеременного движения:

<

B< ;

B< "D ,

(1.17)

где

и

− начальные значения величин

< и

.

ПРИМЕР

Найти траекторию точки М, радиус кривизны траектории, а также скорость и

5 ./ 2 м, 3 8-2 м.

ускорение в

омент времени

0, если движение точки задано уравнениями

Решение

./ X 1

.

Уравнение траектории. Используем тригонометрическое тождество

Из этого

⁄5

⁄3

1

8- X

и исключим время из уравнений движения:

уравнения следует, что траекторией точки является эллипс с полуосями

5 м и 3 м, центр которого находится в начале координат.

|

"e

определим через ее координаты:

5 м,

Положение точки при

0, откуда следует,

что точка М –

крайняя точка эллипса (рис. 1.8).

0

|

) # 10 8-2 , # 6 ./ 2 .

"eСкорость

точки найдем по ее проекциям с помощью формул (1.6):

При 0 )|"e 0,

*

6

м⁄с, откуда видно, что вектор скорости

*g

Модуль скоростиравен

, ) * 6 м⁄с.

направлен по оси y.

"e

B

# N12 8-2 .

B

# N20 ./ 2 ,

Ускорение точки тоже определяем по проекциям по формулам (1.9):

)

)

)

|"e

*

*

*

При

имеем:

,B)

⁄ F,

,

откуда видно, ускоре-

Модуль ускорения равенB

Bh 20 м⁄с .

ние направлено0 против осиB

y.

N20

м с

B g"e

0