8337

32

Система уравнений с трех диагональной матрицей для вектора ( i ) имеет вид:

а ее решение путем прямой и обратной прогонки будет следующим:

На прямой прогонке определяются вспомогательные коэффициенты i 1, i 1

а на обратной прогонке находятся искомые коэффициенты i

Прогонка надежно работает при любом шаге сетки, но при выполнении следующих условий

36

где Выражение в первых скобках в последнем равенстве равно нулю.

Поскольку выкладки проводились для произвольного узла ,то получаем (в предположении ограниченности вторых производных и ):

Если и h имеют одинаковый порядок, то

5. Устойчивость и сходимость разностной задаче к дифференциальной.

Будем называть разностную схему устойчивой если: существуют h0 , 0 0

zh uh U C2 h F .

Теорема о сходимости разностной схемы к решению дифференциальной задачи. Если разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу с порядком точности k, и устойчива, то при уменьшении шага четки к нулю решение разностной задачи сходится к тачному и при чем точность.

Таким образом, для построенной разностной задачи необходимо проверить ее устойчивость и то, что она аппроксимирует дифференциальную задачу.

Откуда возникают возмущения в разностной схеме по отношению к дифференциальной. Это ошибки замены функций и их производных разностными аналогами, это ошибки округления при вычислениях и ошибки задания параметров исходной задачи.

Проблема аппроксимации дифференциальной задачи разностной решается достаточно просто с использованием Тейлоровских разложений. Полное же исследование устойчивости разностной схемы достаточно сложная задача, но есть один достаточно простой Необходимый спектральный

признак устойчивости по начальным возмущениям. Он заключается в требовании не нарастании возмущения во времени.

Для рассмотренной выше однородной разностной задачи ищем решение в виде

37

Подставляя его в разностные уравнения, получим

или

В силу произвольности отсюда получаем, что не нарастание решения

Последнее неравенство, записанное в форме ha , носит название условие Куранта.

6. Наиболее употребительные разностные схемы для модельных уравнений переноса и диффузии.

Одной из проблем нахождения сеточного решения является решение сеточных уравнений, представляющих собой систему алгебраических (линейных или нелинейных) уравнений. Если схема позволяет явно записать решение на временном слое через решение на предыдущих слоях, то такие схемы называются явными. Обычно явные схемы не обладают хорошей устойчивостью. Неявные схемы обычно устойчивы, но приходится решать систему сеточных уравнений.

Явный левый уголок

рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p:

Порядок аппроксимации: О( + h).

Схема устойчива при

Явная четырехточечная схема

Разностная схема:

где q — коэффициент искусственной (схемной) вязкости;

m = 0, 1, …, M;

p = 1, 2, …, P.

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 при m = 1, 2, ..., M – 1 рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p

Порядок аппроксимации ( и ):

Схема (при ) устойчива при

Явная центральная трехточечная схема

Разностная схема:

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 находится по ее значениям на нижнем слое р (значения сеточной функции в граничных точках xm=0, M рассчитываются по схеме «явный левый/правый уголок»):

Порядок аппроксимации:

Схема устойчива при

Гибридная схема (схема Федоренко)

Разностная схема:

особенности разрывного характера (или большие градиенты искомых функций). Вблизи областей с большими градиентами искомого решения используется схема первого порядка аппроксимации, обладающая сглаживающими свойствами (см., например, поведение численного решения, полученного по схеме «явный левый уголок» при начальном условии третьего типа). В «гладких» областях расчет ведется по немонотонной схеме второго порядка аппроксимации (см., например, поведение численного решения,

полученного по явной четырехточечной схеме при том же начальном условии). Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1

рассчитывается по ее значениям на нижнем слое p:

Порядок аппроксимации: Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики O( h) .

Схема устойчива при

Схема «Чехарда»

Разностная схема:

p = 1, 2, …, P.

Алгоритм численного решения задачи: значения сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитываются по ее значениям на двух нижних слоях:

Порядок аппроксимации:

Схема устойчива при

Неявный левый уголок (Схема бегущего счета – на право)

Разностная схема:

40

1; m = 1, …, M;

m = 0, 1, …, M;

p = 1, 2, …, P.

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям в точках верхнего и нижнего p временных слоев:

Порядок аппроксимации: O( h) .

h.

Неявный правый уголок (Схема бегущего счета – на лево)

Разностная схема:

p = 0, …, P – 1; m = 0, …, M – 1; m = 0, 1, …, M;

p = 1, 2, …, P.

Значение сеточной функции на верхнем временном слое p + 1 рассчитывается по ее значениям в двух точках верхнего и нижнего p-слоев:

Порядок аппроксимации: O( h) . Схема устойчива при

Неявная четырехточечная схема

Разностная схема:

p = 1, 2, …, P.

Алгоритм численного решения полученной системы линейных уравнений с матрицей трехдиагональной структуры — метод прогонки.

Для предложенного метода рассматриваются пять типов условий на правой границе области интегрирования:

1)схема «явный левый уголок»;

2)схема «неявный левый уголок»;

3)схема «неявный правый уголок»;