8114

Из графика следует, что сжатые стержни можно разбить на три группы: 1). Стержни большой гибкости - l ³ lо .

Для определения критической силы и напряжения можно пользоваться формулами Эйлера. Потеря устойчивости будет сопровождаться развитием только упругих де-

формаций (упругий продольный изгиб). 2). Стержни средней гибкости - lт £ l < lо .

Критические напряжения определяются по формуле Тетмайера-Ясинского. В стержне развиваются упруго-пластические деформации (неупругий продольный изгиб).

3). Стержни малой гибкости - l < lт .

Короткие стержни рассчитываются не на устойчивость, а на прочность. Для них кри-

тическое напряжение считается постоянным: sкр = sт или sкр = sв.

5.5 Практический метод расчёта сжатых стержней на устойчивость (продольный изгиб).

Итак, несущая способность сжатого стержня может быть исчерпана по двум: причинам

1). вследствие потери прочности, если в стержне из пластичного материала не выполняется условие s £ sт , а в стержне из хрупкого материала – условие s £ sв .

2). вследствие потери устойчивости, если в стержне из любого материала не выполняется ус-

ловие s < sкр .

Если сечение не имеет местных ослаблений, то для сжатых стержней средней и большой гибкости основным становится расчёт не на прочность, а на устойчивость, поскольку для них всегда sкр < sт или sв .

Очевидно, что условие устойчивости должно иметь вид:

s = N < sкр .

Aбр

Здесь Абр – полная площадь поперечного сечения стержня, т.е. без учёта местных ос-

лаблений.

Учитывая приближённый характер расчёта и невозможность учесть все факторы,

влияющие на потерю устойчивости, необходимо ввести в расчёт коэффициент запаса устой-

чивости nуст > 1.

Значение коэффициента запаса устойчивости зависит в основном от назначения рас-

считываемого стержня и его материала. Коэффициент запаса устойчивости принимают более

высоким, чем коэффициент запаса прочности. Так, например, в строительных конструкциях для стальных стержней принимают nуст = 1,7 - 2,1.

Вводим допускаемое напряжение при расчёте на устойчивость:

[ σ ]уст = σкр / nуст.

Теперь условие устойчивости принимает вид:

Значение коэффициента продольного изгиба φ зависит от материала стержня и его

гибкости. Для строительных конструкций значения этих коэффициентов включены в строи-

тельные нормы и правила проектирования (СНиП). Значение коэффициента φ определяют либо по формулам, либо по таблице, часть которой приводится ниже.

Окончательно, условие устойчивости примет следующий вид:

Расчёт на устойчивость с применением коэффициента продольного изгиба φ является универсальным, поскольку он не связан с пределами применимости формулы Эйлера и мо-

жет быть использован при всех значениях гибкости. Коэффициент запаса устойчивости в этом расчёте в явном виде не фигурирует, он включён в величину коэффициента φ.

Таблица 5.1. Значения коэффициента продольного изгиба.

Для стержней, не имеющих ослабления поперечного сечения, достаточно производить только расчёт на устойчивость. Если стержень имеет местное ослабление поперечного сече-

ния, расчёт на устойчивость необходимо дополнить расчётом на прочность в ослабленном сечении по известной формуле:

В заключение следует отметить, что рациональными являются те поперечные се-

чения, у которых моменты инерции относительно главных центральных осей близки по значению или даже равны. Стойки, имеющие такое сечение, обладают равноустой-

чивостью во всех направлениях. Указанным требованиям удовлетворяет кольцевое сечение. Часто применяют также сечения, составленные из прокатных профилей, распо-

ложенных таким образом, что все главные моменты инерции полученного составного сечения одинаковы.

Задача 5.1.

Стержень, показанный на рис. а сжимается силой F = 600 кН. Сечение стержня, состоящее из двух равнобоких уголков, изображено на рис.5.5 б. Материал стержня – сталь

С235 с допускаемым напряжением Требуется подобрать размеры уголков так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют 15% площади сечения.

Рис. 5.5

Решение.

Сечение стержня состоит из уголков (прокатного профиля), поэтому используем для

подбора сечения метод последовательных попыток. Поскольку в условии устойчивости име-

ем сразу две неизвестные величины ( и ), то одной из них задаемся произвольно. Удобно

Площадь одного уголка Ауг ≥ 37,5 см2. Из сортамента прокатной стали выбираем уголок, удовлетворяющий этому условию. Отметим, что в сортаменте может быть несколько уголков с примерно одинаковой площадью: уголки с длинной полкой и тонкой стенкой и уголки с короткой, но более толстой стенкой. Выбирать следует самые тонкие уголки, т.к.

при одинаковой площади радиус инерции у тонких уголков больше и, следовательно, гиб-

кость стержня с сечением из тонкого уголка меньше, а чем меньше гибкость, тем более ус-

тойчив стержень. В рассматриваемом примере выберем уголок 180х11, площадь которого Ауг = 38,8 см2. Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осей y и z, кото-

рыми являются оси симметрии сечения (см. рис. 5.5б). Следует ожидать, что радиус инерции относительно оси y будет минимальным, так как материал ближе расположен к оси y, чем к оси z. Убедимся в этом.

Таким образом, очевидно, что

и

Теперь найдем гибкость стержня (заметим, что, если в сортаменте выбрать уголок с более толстой полкой, но с примерно такой же площадью, например, уголок 160×12 (Ауг =

37,4 см2), минимальный радиус инерции сечения из двух таких уголков будет imin = 6,23 см и гибкость стержня будет на 13% больше, чем для уголка 180×11).

и из таблицы 5.1, интерполируя, найдем . Проверим условие устойчивости

Условие устойчивости выполняется, но сечение не является экономичным. Поэтому сделаем еще попытку. Уменьшим размеры сечения и примем самый тонкий уголок их тех, у

которых длина полки 160 мм, а именно, уголок 160×10. , и гибкость стержня

По таблице 5.1 находим и условие устойчивости выполняется с небольшим запасом:

Сечение из двух уголков 160×10 можно считать экономичным. Условие прочности для подобранного сечения тоже выполняется, поскольку согласно условию

.

В заключение найдем действительный коэффициент запаса устойчивости. Поскольку

в пределах между и , то определяем критическую силу по формуле Ясинского

Действительный коэффициент запаса устойчивости

Задача 5.2.

Стальной стержень длиной сжимается силой .

Требуется:

1.Найти размеры поперечного сечения при с помощью метода последовательных приближений;

2.Найти значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

Рис. 5.6

Решение.

1) В условии устойчивости σ = F/A ≤ φ [σ]

неизвестны величины и А.

В первом приближении

С другой стороны

. Следовательно,

Определим минимальный радиус инерции

Коэффициент приведения длины , согласно для данного типа закрепления равен 0,5.

Гибкость стержня

По таблице 5.1 находим при при при

Интерполяцией определяем

Сравниваем

Проверка:

Считаем напряжения

61% > 5%

Во втором приближении принимаем

при

при

Сравниваем

Проверка:

8% > 5%

В третьем приближении

при

при

Сравниваем

Проверка:

0,3% < 5%

Полученное значение близко к принятому, поэтому окончательно

2) Найдем значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.

,

значит применима формула Эйлера.

Коэффициент запаса устойчивости

6. Оценка прочности при ударной нагрузке.

Вид формул, полученных для динамического коэффициента, показывает, какие большие

качественные различия ведет за собой количественное изменение периода действия силы на тело.

Рассмотрим некоторые случаи удара при простейших деформациях. При этом для нахо-

ждения коэффициента динамичности применим основные полученные формулы для дина-

В случае продольного растягивающего или сжимающего удара (Рис 6.1)

Рис. 6.1 Модель продольного удара.

Для вычисления динамического коэффициента может быть выбрано одно из сле-

дующих выражений:

После этого без затруднений вычисляются , и .

Приближенная формула для вычисления напряжений в данном частном случае получает такой вид:

и

Замечаем, что как при статической, так и при динамической нагрузке напряжение в сжа-

том стержне зависит от величины сжимающей силы и от площади поперечного сечения стержня.