8114

множитель 104 здесь переводит квадратные, сантиметры в метры. Допускаемая на-

грузка

В точке D (3,864;-2) возникает максимальное напряжение растяжения

Из условия прочности при растяжении

Допускаемая нагрузка

Выбирая меньшую из двух нагрузок, окончательно принимаем

В ходе решения этой задачи можно также порекомендовать построение нейтральной оси в случаях, когда трудно сразу определить координаты опасных точек. Для определения положения опасных точек в сечении следует параллельно нейтральной оси провести линии,

касающиеся контура сечения. Таким образом, будут найдены точки сечения, расположенные по oбe стороны от нейтральной оси и наиболее удаленные от нeё, которые и являются опас-

ными.

6 6

Таким образом, прочность консоли не обеспечена.

5. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ.

5.1 Понятие об устойчивости первоначальной формы равновесия.

Несущая способность сжатого стержня может оказаться исчерпанной вследствие потери устойчивости, т.е. в результате выпучивания. Выпучивание происходит раньше, чем стер-

жень выйдет из строя непосредственно от сжатия.

Известно, что равновесие абсолютно твёрдого тела бывает устойчивым, безразличным и неустойчивым. Также обстоит дело и в механике деформируемых тел, однако, для тел де-

формируемых вид равновесия зависит от величины прикладываемой нагрузки.

Рассмотрим длинную стойку, на которую действует осевая сжимающая сила. В зависи-

мости от величины сжимающей силы можно выделить три случая поведения стойки.

1 случай

(рис.5.1а). Сжимающая сила F имеет значение меньше некоторой величины, которую назы-

вают критическая сила Fкр. Стойка находится в состоянии устойчивого равновесия, посколь-

ку, получив малое отклонение от вертикали после «возмущающего толчка», она возвращает-

ся в исходное, прямолинейное положение.

2 случай (рис.5.1б). Сжимающая сила равна критическому значению для данной стойки.

Стойка находится в состоянии безразличного (нейтрального) равновесия: при отклонении от вертикального положения стойка приобретает равновесие и в отклонённом положении. Про-

исходит разветвление, раздвоение (бифуркация) форм равновесия.

3 случай (рис.5.1в). Сжимающая сила превышает критическое значение. Прямолинейное со-

стояние стойки становится неустойчивым и, при «возмущающем» толчке, она перейдёт в но-

вое изогнутое состояние равновесия. Однако, такое состояние неприемлемо практически, по-

скольку стойка будет работать не на сжатие, а на сжатие с изгибом. В стойке возникнут большие нормальные напряжения, которые могут превысить предел прочности материала стойки и, следовательно, к её разрушению.

На основе рассмотренного примера можно сделать следующие выводы:

критическое состояние является предельным состоянием сжатого стержня; Оно опре-

деляется из условия устойчивости первоначального равновесного положения сжатого стержня.

изгиб, связанный с потерей устойчивости сжатого стержня, называется продольным изгибом, так как его вызывает продольная нагрузка;

наибольшая сжимающая сила, при которой сохраняется устойчивость прямолинейной формы равновесия стержня, т.е. невозможен продольный изгиб, называется критиче-

ской силой Fкр.

5.2 Упругий продольный изгиб. Формула Эйлера для критической силы.

Рассмотрим сжатие стержня с шарнирно закреплёнными кон-

цами критической силой Fкр (рис.5.2). Полагаем, что деформации стержня упругие, выполняется закон Гука, а нормальные напряжения не превышают предел пропорциональности σпц.

Стержень находится в состоянии нейтрального равновесия.

Пусть стержень находится в несколько изогнутом состоянии. Изогну-

тую ось стержня можно описать дифференциальным уравнением изо-

гнутой оси балки:

v′′(z) = − M(z) / EJ.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении M = Fкр·v.

Тогда дифференциальное уравнение примет следующий вид

Полученное уравнение однородное с постоянными коэффициентами. Как известно из ма-

тематики, его решение имеет вид

v = C1 sin kz + C2 coskz.

Постоянные интегрирования определяем из условий закрепления стержня:

Если C1 = 0, то получаем v = 0, что соответствует первоначальному, не искривлённому по-

ложению стержня. Остаётся положить, что sin kl = 0. Это равенство имеет бесчисленное множество корней, т.е. kl = nπ (n = 1, 2, 3, …..).

Возведя полученное равенство в квадрат: k2l2 = n2π2 и учитывая принятое обозначение для k2, получим формулу критической силы сжатого стержня

Формула подобного вида впервые выведена в 1744 г. Л. Эйлером и носит его имя.

Для инженерных расчётов необходимо знать наименьшее значение критической силы, по-

этому принимаем n = 1, а J = Jmin. Тогда окончательно получим

Изогнутая ось стержня при продольном изгибе описывается формулой

v(z) = C1 sin πz . l

Очевидно, что изогнутая ось стержня представляет собой половину волны синусоиды. Постоянная интегрирования С1 осталась неизвестной, поскольку стержень находится в состоянии нейтрального равновесия.

При других способах закрепления концов стержня значение критической силы может быть получено аналогично – путём решения соответствующего дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. В простейших случаях можно ограничиться сравнением формы изо-

гнутой оси с той, которая представляет собой одну полуволну синусоиды (рис.5.2). Такое сравнение позволяет записать формулы критического напряжения для случае в закрепления показанных на рис. 5.3.

Полученные формулы (рис.5.3) можно записать в виде одной формулы, используя по-

нятие приведённой длины: lприв = µ l, где µ – коэффициент приведения, зависящий от способа закрепления концов стержня:

µ= 1 - для шарнирно закреплённого по концам стержня;

µ= 0,7 - для стержня защемлённого на одном конце и шарнирно на другом;

µ = 0,5 - для стержня защемлённого по концам;

µ = 2 - для стержня защемлённого только на одном конце.

Итак, окончательно при любом способе закрепления концов стержня формулу для крити-

ческой силы можно представить в следующем виде:

5.3 Критическое напряжение. Неупругий продольный изгиб.

Значение нормального напряжения, вызванного в поперечном сечении стержня кри-

тической силой, также называется критическим напряжением σкр.

Определяем критическое напряжение:

Вводим безразмерную геометрическую характеристику стержня, которая называется гибко-

стью стержня:

λ= μl .

imin

Из полученной формулы следует, что гибкость стержня характеризуется способом закрепле-

ния концов стержня, его длиной, а также формой и размерами поперечного сечения.

Тогда выражение критического напряжения принимает следующий окончательный вид:

Полученная формула также называется формулой Эйлера для критического напряжения.

Формулы Эйлера для Fкр и σкр выведены для случая упругих деформаций стержня и когда материал следует закону Гука, т.е. когда критическое напряжение σкр не превышает предела пропорциональности σпц.

Приравняв критическое напряжение пределу пропорциональности (σкр = σпц), получим значение предельной гибкости λо, при котором формулы Эйлера справедливы:

λо = π Е/ σкр .

Предельное значение гибкости λо зависит исключительно от механических свойств материала и имеет постоянное значение:

для стали марки Ст3 при σпц = 200 МПа и Е = 2·105 МПа получим - λо ≈ 100.

для древесины сосны и ели при σпц = 20 МПа и Е = 104 МПа получим - λо ≈ 70.

Таким образом, формулы Эйлера применимы при λ ≥ λо, т.е. только для случая упругого про-

дольного изгиба.

При потере устойчивости за пределом упругости (неупругий продольный изгиб) критические напряжения определяют по более сложным формулам, учитывающим развитие пластических деформаций. Для практических расчётов удобно пользоваться эмпирической зависимостью,

одна из которых выражается формулой Тетмайера-Ясинского:

σкр = a − b λ .

Коэффициенты a и b, имеющие размерность напряжения, являются экспериментально уста-

новленными параметрами, зависящими от материалов:

Соответствующая критическая сила будет равна Fкр = σкр А.

Зависимость Тетмайера-Ясинского носит линейный характер. Полученные с её помо-

щью результаты представляют практический интерес до некоторого предела, характеризуе-

мого гибкостью λт, при которой критическое напряжение становится равным значению опас-

ных напряжений сжатия: пределу текучести σт – для пластичных материалов или временно-

му сопротивлению (пределу прочности) σв – для хрупких материалов. Для стали указанной марки, например, λт ≈ 40.

5.4 График зависимости критических напряжений от гибкости стержня.

Выполненный анализ позволяет представить полученные результаты в виде графика. Для ста-

ли Ст3 характер зависимости критического напряжения от гибкости представлен на рис.5.4.

σпц =