6858
.pdf
|
|
|
70 |
|
уравнениями Лагранжа II-го рода: |
|
|
||
Wfg Wf |
, h , , … , 2 |
|
||
WI |
WI |
h |
. |
(13.6) |
h |
h |
|
|
|
|
|
|
||
ˆ ˆ ‰ , … , ‰ , ‰g, … , ‰g |
|
|
|
|
После подстановки в них выражения кинетической энергии |
|
|||
|
они приобретают вид обыкновенных дифференци- |
|||
альных8 уравненийŠ II-го родаŠ9 |
, в которых неизвестными являются обобщенные |
|||
координаты.
13.3. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Если все действующие на механическую систему силы являются потенциальными, то обобщенные силы определяются формулой
П W‹ , h , , … , 2
h Wfh .
Тогда уравнение Лагранжа II-го рода принимает вид
Wfg Wf |
Wf , |
h , , … , 2 |
|
WIh |
WIh |
W‹h |
. |
Если учесть, что потенциальная энергия системы не зависит от скоростей, то естьWfW‹h ,то полученные уравнения можно переписать так:
W8I•П9 , h , , … , 2
Wfh .
Ведем обозначение
` I ‹,
И вновь запишем уравнения: |
|
||
Wfg Wf |
, h , , … , 2 |
|
|
W`h |
W`h |
|
. |
(13.7)
(13.8)
Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода для консервативных систем.
Функция L = T − Π называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом.
71
Тема 14. Удар
14.1. УДАРНЫЙ ИМПУЛЬС
Явление, при котором скорости точек тела за малый промежуток времени ме-
няются на |
конечную |
величину, называется ударом. |
||||||
Ударный импульс |
|
удср |
|
|
||||
|
|
|
|
|
< |
|
||
|
уд = |
|
удdt = |
|
|
(14.1) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
отличается от импульса неударных сил тем, что время удара τ мало, ударные силы Fуд велики, а Sуд принимает конечное значение. Поэтому, изучая удар, будем пренебрегать:
неударными силами по сравнению с ударными, перемещениями точек тела во время удара.
Теорема об изменении количества движения в случае удара имеет вид: |
|||
|
|
|
|
|
|
∑ . |
(14.2) |
|
|
|
|
А теорема об изменении кинетического момента системы относительно неко-
торой точкиА имеет вид:
-3 = ∑ 3 5 6.
Тогда, для случая удара, с учетом (14.1) получим: |
|
|||||
3 |
3 |
∑ |
3 |
|
||
- |
- |
- |
= |
|
(14.3) |
|
|
|
|
|
|||
14.2. УДАР МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ О ПОВЕРХНОСТЬ |
|
|
||
Пусть точка массой mс некоторой высоты Н падает на поверхность и отскаки- |
, |
|||
|
Скорость точки при ударе о поверхность равна |
ѵ |
||
вает на высотуh(рис. 14.1, а). |
u (рис. 14.1, б). Очевидно, что u<ѵ. |
|
||
а при отскоке от поверхности |
|
|
||
Отношение k = |
‘ѵназывают коэффициентом восстановления при ударе. |
|
|
|
Его можно найти экспериментально. |
|
|
||
Согласно формуле Галилея, ѵ = |
.B’, u = .B, |
|
|
|
откуда |
k = ./’. |
(14.4) |
|
|
72
Коэффициент восстановления меняется в пределах 0 ≤ k ≤ 1.
Теорема об изменении количества движения в случае удара материальной точки массой m о поверхность запишется следующим образом
mu - mv = Sуд |
(14.5) |
H |
R |
α |
β |
v |
R |
|
|
|
|
u |
R |
|
|
|
|
|
h |
R |
u |
|
v |
|
Рис. 13.1 |
Рис. 13.2 |
14.3. КОСОЙ УДАР
ПРИМЕР
Материальная точка падает со скоростью ѵ на гладкую плоскость под угломα. Под каким углом β (рис. 14.2) отскочит точка от поверхности, если коэффициент восстановления равен k?
Решение
Запишем закон изменения количества движения точки в проекции на плоскость (ось х). Так как плоскость гладкая, горизонтальных сил и их импульсов нет. Закон изменения имеет форму закона сохранения:
mux - mѵx = 0 |
|
(14.6) |
Так какux= u2R1 ”, ѵx = ѵ |
2R1 A , то |
u2R1 ”=ѵ 2R1 A. |
Модули нормальных проекций скоростей связаны коэффициентом восстановления:
k = |
‘ /02 ” |
(14.7) |
|
ѵ /02 A |
|||
|
|
Из (14.6) и (14.7) следует, что tgβ = (1/k) tgA.При k = 0 получим, что β = π/2,
то есть точка покатится по поверхности (мяч, брошенный в песок).
73
ЛИТЕРАТУРА
1.Диевский, В.А. Теоретическая механика: Учебное пособие. 2-е изд., испр.
– СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 320 с.
2.Лойцянский, Л.Г. Курс теоретической механики /Л.Г.Лойцянский,
А.И.Лурье.В 2 т. Т.2 Динамика. – М.: ГИТТЛ, 1955. – 595 с.
3.Мещерский, И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.В. Мещерский. −М.: Наука, 1986. − 448 с.
4.Сб. заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное по-
собие / Под ред. А.А.Яблонского. − М. Высш. школа, 1985 − 367 с.
5.Аистов А.С. Теоретическая механика. Динамика. Учебное пособие /
А.С.Аистов, А.С.Баранова, Н.Ю. Трянина.- Н.Новгород: Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет.
6. Куликов, И.С. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие / И.С. Куликов, Н.Ю. Трянина. – Н. Новгород: Изд-во ННГАСУ, 2002. – 84с.
Самостоятельная работа по АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Аналитическая механика»
для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство
Профиль Строительство автомобильных дорог, аэродромов, объектов транспортной инфраструктуры.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.
http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru