6834

Подставим теперь в систему уравнений (12), (13) вместо всех величин с индексом " их значения, выраженные через постоянные подобия и величины с индексом ', используя уравнения (6) и (11), т.е. x"= сl x' , ω"= сω ωx' и т.д. Тогда эта система уравнений примет вид:

Так как cφ – это постоянные числа, правила преобразования производных имеют следующий вид:

В ней содержатся лишь величины с индексом '. Следовательно, она опи-

сывает теперь первый процесс, для которого имеется также система уравнений

(14) и (15). Так как для одного процесса не может существовать двух разных математических описаний, полученная система уравнений (16) и (17) должна быть тождественна системе уравнений (14) и (15). Отсюда вытекают условия связи между постоянными подобия.

В уравнении неразрывности (17) множитель cω сокращается, поэтому это cl

уравнение не накладывает никаких ограничений на выбор постоянных подобия.

Уравнение движения (16) станет тождественным уравнению (14), если все три

метим, что каждый из перечисленных множителей представляет собой посто-

янную подобия сил, действующих в потоке инерции, давления и вязкости соот-

ветственно. Поэтому соотношение

является условием динамического подобия. Оно означает, что у подобных гид-

ромеханических течений множители подобного преобразования сил инерции,

давления и вязкости численно одинаковы. Приравнивая их попарно друг другу,

получим из соотношения (18) два условия:

Эти соотношения динамического подобия и представляют собой искомые уравнения связи для постоянного подобия полей скорости, давления, плотности и вязкости. Их можно представить также в другом, более удобном виде, если вместо постоянных подобия подставить их значения из уравнений (5) и (11) и

сгруппировать затем все величины с индексами ' и " соответственно в левой и правой частях равенств. При этом постоянную сω удобно выразить через отно-

шение скоростей на входе в каналы:

Тогда вместо условий (19) и (20) получим эквивалентные соотношения:

12

Полученные числа Рейнольдса Re и Эйлера Eu для всех подобных гидро-

механических течений сохраняют одно и то же численное значение.

Таким образом, для рассматриваемого примера доказана первая теорема подобия: подобные процессы имеют одинаковые числа подобия.

Теперь рассмотрим случай, когда в канале, помеченном индексом ', на входе задана иная скорость ω01 , отличная от прежнего значенияω0 потоке ус-

тановится иное распределение скоростей (рис. 2). Вследствие изменения усло-

вий и полный перепад давлений p1 окажется отличным от прежнего p1 . Это новое движение уже не подобно прежнему. Ему будет соответствовать своя группа подобных течений. Для них весь ход предыдущих рассуждений может быть полностью повторен. В итоге окажется, что для новой группы течений ус-

ловия инвариантности чисел подобия (22) и (23) примут вид: Re1 = idem и Eu1 = idem.

Отличие состоит в том, что теперь оба числа подобия имеют иные чис-

ленные значения. Вновь изменяя скорость ω02 , получаем новый перепад p2 и

новые значения Re2 и Eu2 для этой новой группы подобных течений.

Отсюда следует, что частная зависимость между переменными ω0 и p:

φ(ω0 , p) 0,

может быть представлена в виде связи

f (Re, Eu) = 0. (24)

Такое уравнение называется уравнением подобия. Возможность представ-

ления зависимости между переменными в виде зависимости между числами подобия устанавливается второй теоремой подобия.

В рассмотренных выше случаях задавалась скорость течения жидкости на входе, тогда как перепад давлений определялся самим протеканием явления,

или, иначе говоря, оказывался функцией процесса. При задании скорости для реализации однозначного протекания процесса движений число Рейнольдса Re

оказывается составленным целиком из величин, входящих в условия однознач-

ности. Поэтому оно является определяющим числом подобия (критерием подо-

13

бия). Напротив, число Эйлера Eu, включающее в себя перепад давлений, оказы-

вается определяемым.

Согласно третьей теореме подобия условия, необходимые и достаточные для того, чтобы два процесса были подобными, заключаются в равенстве опре-

определяет подобие гидромеханических течений в системах, помеченных ин-

дексами ' и ''. Одинаковость определяемых чисел подобия Eu' = Eu'' получается как следствие установившегося подобия.

Уравнение подобия (24) целесообразно записывать в виде зависимости

Заметим, что условия однозначности в различных задачах могут форму-

лироваться разными способами. При перемене формулировки определяющими могут стать другие числа подобия. Следовательно, понятие «определяющее число подобия» не есть свойство, присущее определенному числу подобия. Так,

например, в рассматриваемом процессе течения жидкости однозначность дви-

жения может быть обеспечена также заданием полного перепада давлений на концах канала, тогда как скорость течения и расход окажутся функцией про-

цесса. При этом определяющим окажется иное число подобия [1]:

2. ПОДОБИЕ ПРОЦЕССОВ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА

Процессы теплообмена при вынужденном движении теплоносителя и при свободной конвекции протекают по-разному. Различными оказываются также числа подобия для этих процессов. Поэтому эти два случая теплообмена целе-

сообразно рассматривать вначале раздельно.

14

2.1 Условия подобия конвективного теплообмена при вынужденном

движении теплоносителя

На практике встречается большое число разнообразных задач, в которых теплообмен происходит в условиях вынужденного движения теплоносителя.

Они различаются по геометрической форме и конфигурации систем, в которых протекает процесс теплообмена, по кинематической картине и режиму течения потока. Различными могут быть также сами теплоносители – жидкости и газы.

Однако для всех таких процессов условия подобия имеют единообразный, уни-

версальный вид, определяемый теорией подобия.

Прежде всего подобными могут быть лишь процессы теплообмена, про-

текающие в геометрически подобных системах. Далее необходимой предпо-

сылкой подобия должно быть подобие полей скорости, температур и давлений во входном или начальном сечении таких систем. При выполнении этих усло-

вий стационарные процессы конвективного теплообмена при вынужденном движении будут подобны, если выполняется условие:

Re idem;

(28)

Pr idem.

Число Рейнольдса (22) определяет гидромеханическое подобие течений теплоносителей:

где ω0 – средняя скорость жидкости или газа в начальном сечении системы;

l – характерный геометрический размер системы (например, диаметр канала,

длина пластины и т.д.); ν – кинематический коэффициент вязкости теплоноси-

теля.

Число Прандтля является теплофизической характеристикой теплоноси-

теля. Оно составлено лишь из физических параметров:

λa

15

так как v μ и a λ , и его численные значения приводятся в таблицах.

ρcpρ

При равенстве чисел Re условие одинаковости чисел Рr обеспечивает те-

пловое подобие, т.е. подобие полей температурных напоров и тепловых пото-

ков во всем объеме рассматриваемых систем.

Согласно теории подобия, у подобных процессов должны быть одинако-

вы также и определяемые числа подобия. В процессах конвективного теплооб-

мена в качестве определяемого выступает число Нуссельта Nu, характеризую-

щее интенсивность процесса конвективного теплообмена:

где α – коэффициент теплоотдачи; l – характерный геометрический размер; λ – коэффициент теплопроводности теплоносителя.

Итак, условия (28) представляют собой условия инвариантности (одинако-

вости) определяющих чисел подобия. Этим обеспечивается подобие процессов.

Инвариантность определяемого числа подобия (числа Nu), т.е. соотношение:

является следствием установившегося подобия.

Уравнение подобия для процессов конвективного теплообмена при вы-

нужденном движении теплоносителя имеет вид:

Nu = f (Re, Рr). (33)

Приведенные выше условия подобия определяются путем анализа матема-

тического описания процессов конвективного теплообмена. При вынужденном движении теплоносителя гидромеханическая картина течения не зависит от теп-

лообмена, поэтому условия гидромеханического подобия являются необходимой предпосылкой теплового подобия. Эти условия сводятся к подобию полей ско-

рости и давления во входном сечении систем и к выполнению условия: Re = idem.

16

Равенство чисел Re вытекает из уравнения связи между постоянными по-

добия (19):

cpcωcl 1. cμ

Поэтому остается рассмотреть те дополнительные уравнения связи между постоянными подобия, которые определяются уравнением теплопроводности:

и уравнение теплоотдачи

В эти уравнения температура входит лишь под знаком производной или в виде разности. Это означает, что для процессов конвективного теплообмена существенны лишь разности температур, а не абсолютные значения. Поэтому следует рассматривать подобие температурных напоров v, отсчитывая темпера-

туру от фиксированного ее значения в условиях однозначности. Для двух по-

добных процессов теплообмена на основе общего определения подобия имеем:

При условии, что изменение физических свойств теплоносителя в преде-

лах тех температурных перепадов, которые имеются в потоке, количественно невелико и этот эффект может не учитываться во всех сходственных точках систем, определяемых условием:

Теперь видно, что для величин с индексом ' имеются две пары уравнений: (40), (41) и (42), (43), которые связывают одни и те же переменные. Поэтому эти уравнения должны быть тождественны друг другу. Уравнение теплопро-

водности (42) станет тождественным уравнению (40), если множители

ссрсρсωс и cλc будут равны друг другу. Отметим, что каждый из этих множи-

сl cl2

телей представляет собой постоянную подобия для теплового потока в сходст-

венных точках теплоносителей. Множитель ссрсρсωс есть постоянная подобия

сl

для теплового потока, переносимого конвекцией, а множитель cλc – то же для cl2

теплового потока, передаваемого теплопроводностью. Поэтому равенство:

18

является условием теплового подобия. Оно показывает, что у подобных тепло-

вых процессов множители подобного преобразования тепловых потоков чис-

ленно одинаковы. Это равенство можно переписать также в виде:

если сократить одинаковые величины и постояннуюcω выразить из уравнения (19).

Тождественность уравнений (41) и (43) выполняется при условии:

cλ

Соотношения (46) и (47) можно представить также в ином, более удобном виде, если вместо постоянных подобия представить их значения из условий (36)

и (37) и затем величины с индексами ' и " сгруппировать соответственно в ле-

вой и правой частях равенств. При этом постоянная сα может быть представле-

на через отношение средних коэффициентов теплоотдачи:

Число Прандтля Рr составлено из физических параметров, задаваемых в условиях однозначности, это – определяющее число подобия. Число Нуссельта

Nu содержит коэффициент теплоотдачи, являющийся функцией процесса, это – определяемое число подобия. Таким образом, на основе третьей теоремы подо-

бия равенство чисел Re и Рr обеспечивает подобие процессов конвективного теплообмена при вынужденном движении. Одинаковость чисел Nu является следствием установившегося подобия.

19

2.2Условия подобия процессов теплообмена при свободной конвекции

Процесс свободной конвекции возникает из-за различия плотностей на-

гретых и холодных частиц теплоносителя. Для большинства теплоносителей в том интервале температур, который обычно встречается на практике, зависи-

мость плотности от температуры с достаточным приближением может рассмат-

риваться как линейная. Так, если вдали от нагретого тела температура теплоно-

сителя составляет tж, а в некоторой точке около поверхности равна t, то соот-

ветствующие значения плотности ρж и ρ связаны уравнением:

Эта сила и вызывает конвективное движение среды.

Из уравнения (51) следует, что подъемная сила будет тем больше, чем выше значение следующих величин: напряженности гравитационного поля g,

температурного коэффициента объемного расширения β и температурного на-

пора t. Процессы свободной конвекции широко распространены в различных областях современной техники. Однако несмотря на разнообразие практиче-

ских схем их осуществления, для всех таких процессов условия подобия имеют универсальный вид, определяемый теорией подобия.

Прежде всего подобными могут быть процессы, протекающие в геомет-

рически подобных системах. Далее необходимой предпосылкой подобия про-

цессов теплообмена при свободной конвекции должно быть подобие темпера-

турных полей на поверхностях нагрева или охлаждения. При выполнении этих требований стационарные процессы свободной конвекции будут подобны, если выполняются условия: