Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6388

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

779.95 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Пример. 2. Привести к простейшему виду и построить кривую, заданную

уравнением: x 2 + 4x +3 y + 6 = 0 .

Решение. AC = 0 – задана парабола. Сгруппируем полный квадрат и пре-

образуем данное уравнение:

+ 4x + 4 − 4 + 3 y + 6 = 0 или

(x + 2) = −3 y +

x + 2 = x′

являются формулами параллельного переноса в т.

Положим, что

= y′

y +

− 2,−

. Получим уравнение: x′

= −3 y′

– парабола с вершиной в т. O1

− 2,−

и симметричная относительно оси oy′.

y′

-2

−

x′

-2

Рис. 3. Замечание. С помощью параллельного переноса координатных осей уда-

ется в общем уравнении избавиться от слагаемых, содержащих x и y в первой степени.

Задания для самостоятельной работы:

В задачах 1 - 31 построить кривые. Там, где необходимо, преобразовать уравнения кривых параллельным переносом осей координат. Построить новые и старые оси координат.

1. 4 x 2 + 3 y 2 = 24 .			17.	x 2 + y 2 − 6 y − 7 = 0 .
2.	4x 2	− 3 y 2 + 60 = 0 .	18.	x2 + 4x +8 y −12 = 0 .
3.	2x 2	+ y 2 + 4x + 8 = 0 .	19.	2x − 3 − xy + 4 y = 0 .

4.8x 2 − 9 y +11 = 0 .

5.x + 2 xy − 3 y = 4 .

6.x 2 + 3 y 2 + 2 x = 0 .

7.x 2 + 2x + 5 y −10 = 0 .

8.3x + xy − 3 y − 2 = 0 .

9.x 2 + 3 y 2 + 2 x = 0 .

10.y 2 − 2x − 2 y + 7 = 0 .

11.xy − 0,5 y = 2x − 3.

12.x −2 +3xy −3y = 0 .

13.x 2 − 4 y 2 = 0 .

14.x 2 − 8x − 2 y +16 = 0 .

15.x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 6 = 0 .

16.y 2 − 8x − 2 y +16 = 0 .

20.x 2 + y 2 + 2x +10 y + 26 = 0 .

21.x 2 + 2x + 3 y = 0 .

22.x 2 − 2 y 2 − 4 y − 2 = 0 .

23.3x 2 +10 y 2 + 2 = 0 .

24.x 2 − x − y + 2 = 0 .

25.y 2 − x 2 + 6 y + 5 = 0 .

26.3x 2 + 5 y 2 = 0 .

27.y 2 − 2 x + 4 y = 0 .

28.x 2 + 9 y + 4 = 0 .

29.16 x 2 + 9 y 2 + 90 y + 81 = 0 .

30.x 2 − y 2 + 2 x − 6 y − 8 = 0 .

31.36 x 2 + 4 y 2 − 72 x − 40 y = 41 .

Элементы аналитической геометрии в пространстве

Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как гео- метрическое место точек, удовлетворяющих какому либо условию.

Прямоугольная система координат вOxyz пространстве позволяет уста-

новить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и трой- ками чисел x, y и z – их координатами. Свойство, общее всем точкам поверх-

ности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат

Oxyz называется такое уравнение F(x, y, z) = 0 с тремя переменными x, y и z

, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве

Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует опре-

деленный вид ее уравнения.

§1. Плоскость в пространстве

1.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпенди- кулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость задана точкой M 0 (x0 , y0 , z0 ) и вектором

R{ }, перпендикулярным этой плоскости. n A, B, C

	R	{A, B , C }
	n	{A, B , C }
M		Рис.1
M	0	M
∙		M
∙	∙
	∙
Возьмем на плоскости произвольную точку M (x, y, z) и рассмотрим вектор

M 0 M = {x − x0 ; y − y0 ; z − z0 }. Так как векторы n и M 0 M перпендикулярны, то их

R	×M0M = 0, то есть
скалярное произведение равно нулю: n	×M0M = 0, то есть
A(x -x0 )+B(y - y0 )+C(z -z0 ) =0.		(1)

Уравнение (1) называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Отметим, что вектор перпендикулярный данной плоскости называется нор-

мальным вектором этой плоскости или вектором нормали.

2. Общее уравнение плоскости
Если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить C = −Ax 0	− By 0 − Cz 0 , то по-
лучим общее уравнение плоскости:
Ax+By+Cz+D =0.	(2)

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (1; 2;3) и перпендикулярной вектору PQ , если P(0;1;4) и Q(−1; 2;6).

Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали

плоскости R = ={− } n PQ 1;1;2 .

Подставляя в уравнение (1) координаты точки M 0 (1; 2;3) и координаты вектора

R ={−1;1;2}, находим искомое уравнение плоскости n

−1(x −1)+1(y −2)+ 2(z −3) = 0 или −x +1+ y −2 +2z −6 =0

или − x + y + 2z − 7 = 0 .

3. Уравнение плоскости в отрезках

Из (2) следует Ax +By +Сz = −D и далее, предполагая, что D ¹ 0 (т.е. плоскость

не проходит через начало координат) и, разделив обе части этого уравнения на - D , получим уравнение

x	+	y	+	z	=1	,	(3)

a b c

в котором a = − D , b = − D , c = − D

A B C

величины отрезков, которые плоскость

«отрезает» от осей координат (см. рис. 2).

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют един- ственную плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные

			74
точки M1 (x1 , y1 , z1 ),	M 2 (x2 , y2 , z2 ), M 3 ( x3 , y3 , z3 ),				имеет вид:
		x − x1	y − y1	z − z1
		x − x1	y − y1	z − z1
		x2 − x1	y2 − y1	z2 − z1		= 0
		x3 − x1	y3 − y1	z3	− z1	(4)
						(4)
Раскладывая	этот определитель по элементам первой строки, приведем
его к линейному уравнению относительно					x, y, z вида (2).

Взаимное расположение двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости П1 и П2 уравнениями (см. рис. 3).

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 , A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

		R				R
a)		n 2		b)		n1
			R	b)
			R
	П2	ϕ	n1			α
					ϕ	α


	α				α
	α				α
П	1			П1
	1
				R		П	2
				R		П	2
	α			n2	α
	α			n2

Рис. 3 Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются. Пере-

секаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов. Углом α

между плоскостями	П1	и П2		будем считать меньший из этих двугранных уг-
лов (см. рис. 3).
Выразим угол	α между плоскостями через угол ϕ между нормаль-
ными к ним векторами		R	{A	, B ,C } и		R	{A , B ,C }. Если угол ϕ острый, то
ными к ним векторами		n	{A	, B ,C } и		n	{A , B ,C }. Если угол ϕ острый, то
		1	1	1	1	2	2	2	2

α = ϕ (как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Если же угол

ϕ – тупой, то α = π −ϕ

(см. рис. 3 b) ), поэтому

cosα = −cosϕ . В итоге

для вычисления угла α между плоскостями имеем формулу

A1 A2 + B1B2 + C1C2

cosα =

+ B2

+ C 2

+ B2

+ C 2

(5)

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности

двух плоскостей имеют вид

П1 П2 A1 A2 + B1 B2

+ C1C2 = 0 ;

П1 || П2

A2 B2

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

B2 C2

то эти плоскости совпадают.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть заданы

плоскость

уравнением

Ax + By + Cz + D = 0

и точка

M 0 (x0, y0 , z0 ) . Требуется найти расстояние от точки M 0 до плоскости.

Расстояние d от точки M 0

до плоскости равно модулю проекции вектора M 1 M 0 ,

где M 0 -

произвольная точка плоскости, на направление нормального вектора

Следовательно,

n{A; B;C}.

_______

R ______

n×M 1M

| A( x0 - x1 ) + B( y0

- y1 ) + C ( z0 - z1 ) |

d =| прnR M 1M 0 |=

+ B 2

| n |

= | Ax0 + By0 +Cz0 − Ax1−By1 −Cz1 | A2 + B2

Так как точка M1 принадлежит плоскости, то Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0, т.е.

D = −Ax1 − By1 −Cz1. Поэтому

d =

| Ax0 + By0 + Cz0 + D |

(6)

+ B 2 + C 2

что и требовалось получить.

Пример 12. Найти расстояние от точки M 0 (2, −1, 4)

до плоскости

3x + 4 y − 2z +1 = 0.

Решение. По формуле (7) получаем

| 3 × 2 + 4 × (-1) - 2

× 4 + 1 |

d =

5 29

9 + 16 + 4

Задания для самостоятельной работы:

Найти

точки

пересечения

плоскости

2 x − 3 y − 4 z − 24 = 0

осями

координат. Плоскость построить.

Построить плоскости:

1) 2 x − 3 y + 5 z − 7 = 0 ; 2) 4 x + 3 y − z = 0 ; 3) 2 x + 3 z = 6 ;

4) 2 y − 3 z = 12 ; 5) 2 y − 3 x = 4 ; 6) 2x − 5z = 0 ; 7) 3 x + 2 y = 0 ;

y − z = 0 ;

9) 2 z − 7 = 0 ;

10) 3 y + 5 = 0 ;

11) 3 x + 6 = 0 ;

12) − 2 z = 0 ;

13) 3 y = 0 ;

14)

x = 0

Дано

уравнение плоскости

x + 2 y − 3 z − 6 = 0 . Написать

для нее

уравнение в отрезках. Плоскость построить.

Составить

уравнение

плоскости,

которая

проходит

через

точку

M ( 2 ; − 3 ; − 4 )

и отсекает на координатных осях отрезки одинаковой

величины. Плоскость построить.

Составить

уравнение

плоскости,

которая

проходит

через

точки

M 1 (− 1 ; 4 ; − 1 ),

M 2 ( − 13 ; 2 ; − 10 ) и отсекает на осях абсцисс и аппликат

отрезки одинаковой длины. Плоскость построить.

Плоскость проходит через точку M (6 ; − 10 ; 1)

и отсекает на оси абсцисс

отрезок a = −3 , а на оси аппликат

отрезок

c = 2 . Составить для этой

плоскости уравнение в отрезках. Плоскость построить.

7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; − 2 ; 3 ) и перпендикулярной вектору OM .

8.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (3 ; 4 ; − 5 )

параллельно плоскости		2 x − 3 y + 2 z − 10 = 0 .
9. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют
параллельные плоскости:
1)	2 x − 3 y + 5 z − 7 = 0	и 2 x − 3 y + 5 z + 3 = 0 ;
2)	4 x + 2 y − 4 z + 5 = 0	и 2 x + y + 2 z − 1 = 0 ;
3)	x − 3 z + 2 = 0	и 2 x − 6 z − 7 = 0

10.

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало

координат параллельно плоскости 5 x − 3 y + 2 z − 3 = 0 .

11.

Составить

уравнение

плоскости,

которая

проходит

через

точку

M (3; − 2 ; − 7 ) параллельно плоскости 2 x − 3 z + 5 = 0 .

12.

Даны две точки M (3 ; − 1 ; 2 )

N ( 4 ; − 2 ; − 1 ). Составить уравнение

плоскости, проходящей через точку

M перпендикулярно вектору

MN .

13.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M (3; 4 ; − 5 )

параллельно двум векторам

= {3; 1; −1 } и

= {1; − 2 ; 1 }.

14.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M (2 ;−1; 3 ) и

N (3; 1; 2 )

параллельно вектору

= {3; −1; 4 } .

15.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (0; 0; 2 ) и

перпендикулярной к плоскостям

x − y − z = 0

2 y = x .

16.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через три точки

M 1 (3 ; − 1 ; 2 ) , M 2 ( 4 ; − 1 ; − 1 ) и M 3 ( 2 ; 0 ; 2 ).

17. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

1) 3 x − y − 2 z − 5 = 0 ,	x + 9 y − 3 z + 2 = 0 ;
2) 2 x + 3 y − z − 3 = 0 ,	x − y − z + 5 = 0 ;

3) 2 x − 5 y + z = 0 ,	x + 2 z − 3 = 0 ;
4) x + y + z = 1 ,	2 x − 3 y + z − 7 = 0 .

18.

Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало

координат

перпендикулярно

двум

плоскостям:

2 x − y + 3 z − 1 = 0

x + 2 y + z = 0 .

19.

Составить

уравнение плоскости, которая проходит

через точку

M (2 ; − 1 ; 1 )

перпендикулярно плоскости 2 x − z + 1 = 0

параллельно

вектору

= {1; − 2 ; 1 } .

20.

Установить, что три плоскости

x − 2 y + z − 7 = 0 ,

2 x + y − z + 2 = 0

x − 3 y + 2 z − 11 = 0 имеют одну общую точку. Вычислить ее координаты.

21.

Составить уравнение плоскости, которая проходит через:

точки

M 1 (0 ; 1; 3)

M 2 (2 ; 4 ; 5 )

параллельно оси

OX ;

точки

M 1 (3; 1; 0)

M 2 (1; 3; 0 )

параллельно оси

OZ ;

точки

M 1 (3; 0 ; 3)

M 2 (5; 0 ; 0 ) параллельно оси OY .

22.

Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку

M (2 ; − 4 ; 3) и через :

ось OX

;

ось OY ;

3) ось OZ .

23.

Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точку

M (2 ; − 3; 3 )

параллельно плоскости

XOY

;

2) через точку

N (1; − 2 ; 4 )

параллельно плоскости

XOZ

;

3) через точку

P (− 5; 2 ; −1 )

параллельно плоскости

YOZ .

24.

Вычислить расстояние d точки M от плоскости в каждом из следующих

случаев:

1) M (− 2 ; − 4 ; 3),

2 x − y + 2 z + 3 = 0 ;

2) M (2 ; −1; −1 ), 16 x − 12 y + 15 z = 0

;

3) M (1; 2 ; − 3 ) ,

5 y + 4 = 0 ;

4) M (3 ; − 6 ; 7 ) ,

4 x − 3 z − 1 = 0 .

25.	Вычислить	расстояние	d	от точки	P ( − 1 ; 1 ; − 2 )	до плоскости,
	проходящей	через	три	точки:	M 1 (1 ; − 1 ; 1 ),	M 2 ( − 2 ; 1 ; 3 ),
	M 3 (4 ; − 5 ; − 2 ) .
26.	В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между двумя
	параллельными плоскостями:
	1) x − 2 y − 2 z − 12 = 0		и x − 2 y − 2 z − 6 = 0 ;
	2) 2 x − 3 y + 6 z − 14 = 0 и 4 x − 6 y + 12 z + 21 = 0 .
27.	На оси OY	найти точку, отстоящую от плоскости x + 2 y − 2 z − 2 = 0 на
	расстоянии	d = 4 .
28.	На оси OZ	найти точку, равноудаленную от точки M (1; − 2 ; 0 ) и от
	плоскости 3x − 2 y + 6 z − 9 = 0 .
29.	На оси OX	найти точку,		равноудаленную от двух		плоскостей:
	12 x −16 y + 15 z + 1 = 0 ,		2 x + 2 y − z − 1 = 0 .

§2. Прямая в пространстве

1.Каноническое уравнение прямой

Положение прямой l в пространстве однозначно определено, если задана некоторая точка M0 (x0; y0;z0 ) на этой прямой и так называемый направляю-

щий вектор R{ } параллельный данной прямой p m, n, p , .

Возьмем на прямой произвольную точку M (x, y, z) и рассмотрим вектор

M 0 M = {x − x0 ; y − y0 ; z − z0 }.

∙ M 0

Рис. 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023779.05 Кб06383.pdf
#
21.11.2023779.07 Кб06384.pdf
#
21.11.2023779.25 Кб06385.pdf
#
21.11.2023779.26 Кб06386.pdf
#
21.11.2023779.36 Кб06387.pdf
#
21.11.2023779.95 Кб16388.pdf
#
21.11.2023780.03 Кб06389.pdf
#
21.11.2023138.34 Кб0639.pdf
#
21.11.2023780.17 Кб06390.pdf
#
21.11.2023781.09 Кб06391.pdf
#
21.11.2023781.21 Кб06392.pdf

		R				R
a)		n 2		b)		n1
			R	b)
			R
	П2	ϕ	n1			α
					ϕ	α


	α				α
	α				α
П	1			П1
	1
				R		П	2
				R		П	2
	α			n2	α
	α			n2

		R				R
a)		n 2		b)		n1
			R	b)
			R
	П2	ϕ	n1			α
					ϕ	α


	α				α
	α				α
П	1			П1
	1
				R		П	2
				R		П	2
	α			n2	α
	α			n2

		R				R
a)		n 2		b)		n1
			R	b)
			R
	П2	ϕ	n1			α
					ϕ	α


	α				α
	α				α
П	1			П1
	1
				R		П	2
				R		П	2
	α			n2	α
	α			n2