6388

10

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противо- положно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

ра параллельно самому себе, получим равный ему вектор. Равные векторы назы-

вают также свободными.

Три вектора (или более трех) называются компланарными, если они ле- жат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланар- ны.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложе- ния и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c , начало кото-

рого совпадает с началом вектора a , а конец – с концом вектора b ,

причем конец вектора a и начало вектора b совмещаются и обозначается:

c = a +b .

Пусть даны вектора a и b (см. рис. 3).

Рис.3

12

Противоположным вектору a называется такой вектор (− a), который при сложении с вектором a дает нулевой вектор, то есть (− a)+ a = 0 .

Под разностью векторов a и b понимается вектор c = a −b такой, что a = c +b (см. рис.7).

Рис. 7

Можно вычитать векторы по правилу: a −b = a +(−b), то есть вычита-

ние векторов заменить сложением вектора a с вектором, противоположным вектору b .

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах a и b , одна направленная диагональ является суммой векторов a и b , а другая – разностью

(см. рис. 8).

Рис. 8

Произведением вектора a на число λ называется такой вектор λa ,

направление которого совпадает с вектором a , если λ > 0 и противоположно направлению вектора a , если λ < 0 ; длина же вектора λa в λ раз «больше»

длины вектора a , то есть

λ a = λ × a .

Если λ = 0 , то λa = 0 .

13

Пусть дан вектор a (см. рис. 9), тогда векторы b = 2a , c = -3a изоб- ражены на рисунке 9.

b

a

c

Рис. 9

Свойства линейных операций над векторами:

1.(a + b)+ c = a + (b + c)

2.a + b = b + a

3.a + 0 = a

4.a + (- a)= 0

5.α × (β a)= (α β)a

6.λ(a + b)= λ a + λb

7.(λ + μ)a = λa + μa

8.1× a = a , где α , β , λ , μ – действительные числа.

Теорема 1 (критерий коллинеарности) Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется единственное число λ такое,

что b = λa .

Теорема 2 (о разложении вектора по двум неколлинеарным) Любой век-

тор c на плоскости может единственным образом быть разложен по двум не-

коллинеарным векторам a и b , то есть

14

( c) ( ! α, β R) c = α × a + β × b .

Теорема 3 (критерий компланарности) Три вектора a , b и c компла- нарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно разложить по двум остальным, то есть ( α, β R) c = α × a + β × b .

Теорема 4 (о разложении вектора по трем некомпланарным) Любой век-

тор d пространства может единственным образом быть разложен по трем не-

компланарным векторам a , b и c , то есть

точке О. Разложите векторы CD и D1O по векторам AA1 , AB и AD .

Решение.

1)Так как CD = −AB , то искомое раз- ложение будет иметь вид:

CD = 0 × AA1 -1× AB + 0 × AD .

Решение. Поскольку векторы a и b ненулевые, то можно на них постро-

ить параллелограмм (см. рис. 8). Векторы a + b и a −b - направленные диа-

гонали параллелограмма, а a −b и a +b их длины. Из школьного курса гео-

15

метрии известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон параллелограмма. Поэтому:

Задания для самостоятельной работы:

1) АВСДЕК – правильный шестиугольник, причем АВ = х, ВС = у . Выра-

зить через х, у и векторы СД, ДЕ, ЕК, КА, АС, АД, АЕ.

2) Даны неколлинеарные векторы a и b . Коллинеарны ли векторы

c= а − 23b и d = −3а + 6b ?

3)Точки K и L служат серединами сторон BC и CD параллелограмма

5) Какими должны быть векторы a и b , чтобы выполнялось неравенство

6)Три силы F1 , F 2 , F 3 , приложенные к одной точке, имеют взаимно пер- пендикулярные направления. Найти величину равнодействующей силы

F , если известны величины этих сил: F1 = 2, F2 = 10, F3 = 11.

16

§ 2. Проекция вектора на ось

проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис.1).

Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось l совпадает с

Проекция AB на ось l обозначается так: Пp l AB . Если AB = 0 или АВ l,

то Пp l AB = 0 .

17

Под углом ϕ между осью l и векто-

ром AB будем понимать меньший из углов, который отсчитывается от направления оси до

направления вектора (см. рис. 3). Очевидно,

Рис.3

что 0 ≤ ϕ ≤ π .

Свойства проекции

1) Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла ϕ между вектором и осью, т.е.

Пp l a = a ×cosϕ .

Доказательство.

а) Если 0 ≤ ϕ < π , то Пp l a = + a1 = a ×cosϕ (см. рис. 3)

2

б) Если ϕ > π , то Пp l a = - a1 =

2

= - a ×cos(π -ϕ) = a ×cosϕ (см. рис. 4)

Рис. 4

в) Если ϕ = π , то Пp l AB = 0 = a ×cosϕ .

2

2)Проекция суммы векторов на одну и ту же ось равна сумме их проек- ций на эту ось, т.е.

Пp l (a + b) = Пp l a + Пp l b .

3)При умножении вектора a на число λ его проекция на ось также умножается на это число, т.е.

Пp l (λ × a) = λ × Пp l a .

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответ- ствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

18

§ 3. Координаты вектора и их свойства

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k простран-

ства, через которые условились выражать все векторы пространства, называют-

ся базисными векторами или базисом.

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве назы-

вается совокупность точки O и базиса (i, j, k ).

Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz , проходящие

через начало координат – точку O в направлении базисных векторов i , j и k

называются осями координат. Плоскости xOy , xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат называются координатными плоскостями.

Рис.1

ным плоскостям.

Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно

через M 1 , M 2 , M 3 . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диа-

гоналей которого является вектор OM . По определению суммы векторов полу-

чае2м a = OM = OM 1 + M 1 N + NM . А так как M 1 N = OM 2 , NM = OM 3 , то a = OM1 +OM 2 +OM 3 .

Заметим, что OM1 = ( Пp x a) ×i , OM 2 = (Пp y a) × j , OM 3 = (Пp z a) × k .

19

Обозначим через ax = Пp x a , a y = Пp y a , az = Пp z a . Тогда a = ax × i + ay × j + az × k .

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется

разложением вектора по ортам координатных осей. Числа a x , a y , az

называются координатами вектора a , то есть его координаты это проекции вектора на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство a = ax × i + ay × j + az × k более кратко записывается

a = {a x , a y , a z }.

Зная координаты вектора, можно легко найти его длину. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно записать

a = ax2 + a y2 + az2 .

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, то есть сам вектор.