6226

служат, как известно, коэффициенты при линейных членах разложения функ-

ции у(х) в ряд Тейлора по степеням xi (i = 1, 2, ..., n), то соответствующие ком-

поненты вектора градиента могут быть получены как коэффициенты b1, b2, ..., bn линейной аппроксимации поверхности отклика вблизи исходной точки х1:

Проведение эксперимента, вычисление коэффициентов линейной модели

и статистический анализ результатов проводят в соответствии с рекомендация-

ми, приведенными в п. 2.2;

2) вычисляются произведения bi xi, где xi – шаг варьирования параметра

xi – при проведении ПФЭ, и фактор, для которого это произведение максималь-

но, принимается за базовый, т. е.

хf (f ≠ 1). Поскольку при движении по градиенту варьируемые параметры долж-

ны изменяться пропорционально коэффициентам bf = у/Δхf [компонентам век-

тора grad у(х)], то соответствующие находятся но формуле

где λкв и хf всегда положительны, а коэффициент bf берется со своим знаком; 5) производятся так называемые мысленные опыты, которые заключают-

ся в вычислении «предсказанных» значений выхода yˆпрh(xh)в определенных точках хh факторного пространства (рис. 5, а). Для этого независимые перемен-

ные линейной модели объекта изменяются с учетом (26) таким образом, чтобы

21

изображающая точка х совершала шаговое движение в направлении вектора grad у(х), полученного выше, занимая последовательно положения

где умакс – максимально возможный выход, определяемый из физических сооб-

ражений.

Если условие (31) нарушается приk ≤ 3, то шаг λкв следует уменьшить, и,

наоборот, когда k слишком велико, шаг надо увеличить. Таким образом, мыс-

ленные опыты помогают подобрать подходящий шаг λкв; 7) некоторые из мысленных опытов (обычно через каждые два-три мыс-

ленных шага) реализуются на объекте для проверки соответствия аппроксима-

ции объекта гиперплоскостью. Наблюдаемые значения уэк сравниваются с предсказанными yˆпр (рис. 5, б);

22

Рис. 5. Метод крутого восхождения:

а– иллюстрация движения к экстремуму; б – сравнение предсказанных y(x)

инаблюденных значений yэк(x).

8)точка х, где в реальном опыте получено максимальное значение выхо-

да, принимается за новую начальную точку, в окрестности которой снова про-

водятся ПФЭ и ДФЭ, и цикл крутого восхождения, описанный выше, повторя-

ется;

9) поскольку каждый цикл крутого восхождения приближает нас к облас-

ти экстремума у (х), где крутизна поверхности отклика меньше, то для каждого последующего цикла выбирается равным или меньшим, чем для предыдущего; 10) поиск прекращается, когда все коэффициенты bi (i = 1, 2, ..., п) линей-

ной модели объекта получаются незначимыми. Это свидетельствует о выходе в область экстремума целевой функции.

2. Симплексный метод оптимизации.

Основной особенностью симплексного метода поиска является совмеще-

ние процессов изучения поверхности отклика и перемещения по ней. Это дос-

тигается тем, что эксперименты ставят только в точках факторного пространст-

ва, соответствующих вершинам симплексов; n-мерный симплекс – это выпук-

лая фигура, образованная п + 1 точками (вершинами). Так, на плоскости сим-

плексом является треугольник, в трехмерном пространстве – тетраэдр и т. д.

23

Симплекс называется регулярным, если все расстояния между его вершинами равны.

В основе использования симплекса для целей оптимизации лежит сле-

дующее его важное свойство: из любого симплекса можно, отбросив одну из вершин и использовав оставшуюся грань, получить новый симплекс, добавив всего лишь одну точку. Путем последовательного отбрасывания вершин можно осуществлять перемещение симплекса в факторном пространстве, причем это перемещение будет происходить с каждым экспериментом.

Если произвести эксперимент в вершинах симплекса, то очевидно, что направление максимального подъема поверхности отклика, определенное на основании сделанных измерений, будет проходить из центра симплекса через грань, противолежащую вершине с минимальным значением выхода y. Поэтому для продвижения к экстремуму естественно перейти от исходного симплекса к симплексу, находящемуся в области более высокого значения отклика, путем отбрасывания вершины с минимальным выходом y и построения регулярного симплекса с новой вершиной, являющейся в силу симметрии зеркальным ото-

бражением отброшенной. Затем процесс отбрасывания вершины с минималь-

ным откликом и построения нового симплекса повторяется, в результате чего формируется цепочка симплексов, перемещающихся в факторном пространстве к точке экстремума (рис. 6).

Симплексный метод оптимизации осуществляется в следующей последо-

вательности:

1) из априорных сведений о процессе задается шаг варьирования

хi (i = 1, 2, ..., п) по каждому фактору хi;

2)задается размер симплекса ρ, т. е. расстояние между двумя вершинами

вединицах (шагах) варьирования соответствующих факторов;

3)производится ориентация первоначального симплекса. Для этого одна

из вершин C10 помещается в исходную точку х1. Положение остальных вершин

начального симплекса определяется с помощью векторов

24

симплекса при ρ = 1 приведены в табл. 4. Положение начального симплекса в факторном пространстве для этого случая дано на рис 7;

4) реализуется эксперимент в вершинах симплекса, т. е при значениях

Рис. 6. Оптимизация симплексным методом.

25

Рис. 7. Определение координат вершин регулярного симплекса.

5) точка Clf, в которой наблюдается минимальный отклик, т. е. выполня-

ется условие ylf min yli , отбрасывается и находится вершина C(l +1) f следую-

i

щего симплекса – зеркальное отображение Clf относительно оставшейся грани.

Координаты хi (i = 1, 2, ..., п) точки Clf обозначим xlfi, тогда для C(l +1) f будем иметь

Если в результате эксперимента в двух вершинах симплекса окажется одинаковое минимальное значение выхода, т. е.

то решение о дальнейшем движении симплекса принимается случайным обра-

зом (например, бросанием монеты);

6) производится эксперимент в вершине C(l + 1)f нового симплекса C(l + 1)1

C(l + 1)2, C(l + 1)3, …, C(l + 1)(n +1) и его результаты y(l +1)i сопоставляются со значе-

ниями выхода в остальных вершинах. Затем повторяется процедура отбрасыва-

ния вершины с минимальным выходом.

Если значение выхода y(l +1)f во вновь определенной вершине снова ока-

жется минимальным, то осуществляют возврат к исходному симплексу и от-

брасывание вершины со следующим по порядку минимальности значением вы-

хода;

7) критерием выхода в район оптимума служит прекращение поступа-

тельного движения симплекса. Он начинает вращение вокруг одной из вершин

26

(т. е. одна и та же точка встречается более чем в п + 1 последовательных сим-

плексах). Подобная ситуация может возникнуть в двух случаях:

а) более высокий отклик в указанной точке получился в результате влияния ошибок эксперимента. В этом случае повторный эксперимент проясня-

ет картину, и поиск точки экстремума продолжается в прежней последователь-

ности;

б) если повторный эксперимент в сомнительной точке вновь даст самое большое значение отклика, то, очевидно, данная вершина находится в непо-

средственной близости от точки экстремума и поиск прекращается.

Для n = 3 и п = 7 эксперименты в вершинах регулярного симплекса обра-

зуют при соответствующей ориентации план, совпадающий с ДФЭ типов 23 1 и

27 - 4; отсюда следует, что по данным этих экспериментов легко могут быть вы-

числены коэффициенты линейной модели.

Симплексный метод оптимизации целесообразно применять в ситуациях,

когда дисперсия помехи велика и нет априорной информации о характере по-

верхности отклика.

2.4 Планирование эксперимента второго порядка

Планированием эксперимента второго порядка называется такое плани-

рование, которое позволяет получить математическую модель исследуемого объекта в виде полного полинома второго порядка

i f

и аппроксимация ее плоскостью не обеспечивает требуемую точность.

Планы второго порядка отличаются от линейных тем, что факторы варьи-

руются на нескольких уровнях, как минимум на трех.

Экспериментальные планы второго порядка являются, как правило, ком-

позиционными, т. е. состоящими из нескольких блоков, реализуемых последо-

вательно: а) ПФЭ или ДФЭ; б) центральные точки, расположенные в начале ко-

27

ординат факторного пространства безразмерных переменных; в) так называе-

мые звездные точки, координаты которых соответственно равны нулю, за ис-

ключением одной, которая принимает значения +α и –α, где α – звездное плечо.

Экспериментальные планы второго порядка могут быть классифицирова-

ны с точки зрения заложенных в них критериев оптимальности. Выбор соответ-

ствующего плана решается исследователем до проведения эксперимента

Ортогональное центральное композиционное планирование (ОЦКП).

В ОЦКП критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу ортогональности планирования все коэффициенты модели определяются независимо друг от друга.

Преимущество такого планирования заключается в простоте вычисления коэффициентов модели методом наименьших квадратов

В табл. 5 приведены параметры ортогонального плана, где α – звездное плечо; NФ – число точек ПФЭ (ДФЭ); N0, Nα – числа центральных и звездных точек соответственно; N – общее число точек.

Звездные точки определяются значением α, характеризующим уровень варьирования одной из переменных при нулевых значениях других перемен-

ных. Значение α рассчитывается из условия ортогональности столбцов матрицы планирования.

Таблица 5

Параметры ортогонального плана

Матрица планирования для п = 3 приведена в табл. 6. Ортогонализация

столбцов х0 и xi2 проводится путем преобразования

28

Таблица 6

Ортогональный центральный композиционный план для n = 3

Проведение эксперимента.

Точно так же как и при проведении ПФЭ, из-за случайного характера из-

менения выходной величины y в каждой точке xg приходится проделывать т параллельных опытов и результаты наблюдений усреднять

Рандомизация порядка проведения опытов в каждой серии испытаний проводится по специальной методике.

Вычисление коэффициентов уравнения регрессии.

Оценки коэффициентов уравнения регрессии определяются по формуле

g 1

Свободный член уравнения регрессии после преобразования переменных

(перехода от xi1 к xi2 ) должен быть скорректирован по формуле

i 1

29

Статистический анализ полученных результатов.

Проверка значимости коэффициентов регрессии проводится по t-крите-

рию Стьюдента, как описано в п. 2.2. Дисперсия коэффициентов вычисляется по формулам

i 1

Проверка адекватности уравнения регрессии производится так же, как описано в п. 2.2.

Ротатабельное центральное композиционное планирование (РЦКП).

Критерием оптимальности в РЦКП является условие

где R – радиус-вектор в факторном пространстве.

Дисперсия (точность) предсказания выхода по найденному уравнению регрессии постоянна в различных направлениях факторного пространства в точках, расположенных на одинаковых расстояниях от центра планирования.

Кроме того, при РЦКП обеспечивается равная точность предсказания вы-

хода внутри области планирования. В табл. 7 даны характеристики РЦКП для каждого n = 2, 3, 4. Звездные точки для каждого значения п вычислены при ус-

ловии выполнения критерия ротатабельности.

Таблица 7

Параметры РЦКП

В табл. 8 приведена матрица РЦКП для трехфазной задачи.