6226

10

Рис. 4. Структурное представление объекта исследования.

На рис 4, б дана преобразованная схема объекта исследования с одной целевой функцией уi = ηi + εi, где ηi – истинное значение выхода при i-ом экспе-

рименте; εi – аддитивная помеха, соответствующая i-му эксперименту, образо-

ванная за счет суммарного действия неуправляемых переменных Предполагается, что зависимость η = φ (х) «гладкая», т. е. дифференци-

руема и может быть представлена разложением в ряд Тейлора. Помехи εi – это независимые случайные числа, подчиняющиеся нормальному распределению с параметрами М (ε) = 0 и σ2ε const для каждой фиксированной комбинации уровней составляющих вектора х. Этим условиям удовлетворяет широкий класс объектов: промышленные агрегаты, полупромышленные и лабораторные уста-

новки.

Планирование эксперимента применяется при решении следующих типо-

вых исследовательских задач:

1)определение (отсеивание) наиболее значимых факторов;

2)количественная оценка эффектов влияния отдельных факторов и их взаимодействие на целевую функцию;

3)поиск оптимальных условий;

4)построение математической модели исследуемого объекта;

5)уточнение коэффициентов, констант, теоретических моделей, описы-

вающих механизм явлений, и выбор наилучшей модели из ряда конкурирую-

щих.

11

2.2 Полный и дробный факторные эксперименты

Целью полного и дробного факторного эксперимента является получение линейной и неполной квадратичной статической модели исследуемого объекта

– так называемого уравнения регрессии.

Так, для трехфакторной задачи вид модели (теоретического уравнения регрессии) будет иметь вид

где β1, β2, β3 – коэффициенты, характеризующие эффекты влияния управляемых переменных на целевую функцию; βij, β1,2,3 – коэффициенты, характеризующие эффекты влияния парных взаимодействий переменных и тройного взаимодей-

ствия соответственно.

Из-за действия помехи ε результат измерения у при фиксированных зна-

чениях управляемых переменных является случайной величиной, следователь-

но, по результатам эксперимента мы можем вычислить лишь оценки bi – истин-

ных генеральных значений коэффициентов βi. Введя фиктивную переменную

х0 = 1 и перейдя к переменным z, запишем уравнение (9) в виде

Нахождение математической модели вида (10) состоит из ряда последо-

вательных этапов

1. Планирование эксперимента.

На этом этапе выбирается экспериментальный план, позволяющий ре-

шить поставленную задачу – вычислить наилучшие оценки коэффициентов уравнения (10). Экспериментальный план – это некоторая совокупность экспе-

риментов, каждый из которых характеризуется набором фиксированных значе-

ний управляемых переменных. В данном случае наилучшим планом является

полный факторный эксперимент (ПФЭ), реализующий все возможные непо-

вторяющиеся комбинации уровней п независимых переменных, каждая из ко-

торых принудительно варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций

12

N = 2n. При планировании эксперимента проводят преобразование независимых переменных хi в безразмерные переменные

где xi* – значение управляемой переменной, соответствующее начальному ба-

зовому режиму; хi – шаг варьирования.

Переход к безразмерным переменным значительно облегчает дальнейшие расчеты, так как в этом случае верхние и нижние уровни варьирования xвi и xнi в

относительных единицах будут равны соответственно xвi = +1, xнi = –1.ПФЭ для

п = 3 представлен в табл. 1.

Три столбца управляемых переменных образуют план эксперимента, а

остальные столбцы матрицы получаются перемножением соответствующих значений управляемых переменных. Матрицу планирования для п = 4 можно построить на базе планирования 23, повторив этот способ дважды: первый раз при значениях х4, находящихся на нижнем уровне, а второй раз – на верхнем.

Аналогично могут быть получены планы для сколь угодно большого числа п независимых переменных. Матрица планирования для ПФЭ является ортого-

нальной с линейно независимыми вектор-столбцами.

где k + 1 – число независимо оцениваемых коэффициентов (в случае п = 3 k + 1 = 8).

2. Проведение эксперимента.

С целью усреднения выходной величины y каждая строка эксперимен-

тального плана дублируется несколько раз. В случае т параллельных опытов

Если т = 3, эксперимент делится на три серии опытов, в каждой из кото-

рых полностью реализуется ПФЭ. Для исключения систематических ошибок при вычислении оценок коэффициентов регрессии необходимо рандомизиро-

13

вать варианты варьирования в каждой из трех серий, т. е. с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел определить последовательность реализации вариантов варьирования переменных в каждой серии опытов. Ран-

домизация проводится следующим образом. Из таблицы равномерно распреде-

ленных чисел (табл. 2) выбираются числа от 1 до 8 (каждое число берется толь-

ко 1 раз). Числа эти выбираются в том порядку, в котором они встречаются при последовательном обходе столбцов таблицы, начиная с первого.

При рандомизации второй серии экспериментов запервый столбец табли-

цы принимается столбец, следующий за последним столбцом, использованным в предыдущей серии. Аналогичным образом осуществляется рандомизация третьей серии экспериментов.

Так, последовательность реализации первой серии ПФЭ будет 8,4; 1,6; 5,7; 2,3.

3. Вычисление коэффициентов уравнения регрессии.

Для вычисления оценок bi используется метод наименьших квадратов

(МНК), минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюденных унабл и

предсказанных по модели yˆ значений выхода:

i 1

15

Ортогональность экспериментального плана приводит к ортогональности матрицы коэффициентов системы нормальных уравнений, что в свою очередь обеспечивает взаимную независимость оценок коэффициентов уравнения рег-

рессии bi и их вычисление по простым формулам:

Таким образом, для вычисления bi необходимо определить среднее ариф-

метическое усредненных значений выхода с учетом знаков соответствующего

столбца матрицы планирования.

4. Статистический анализ полученных результатов.

Статистический анализ включает проверку гипотезы о значимости коэф-

фициентов bi (проверка нуль-гипотезы: βi = 0). Проверка гипотезы проводится с помощью критерия Стьюдента, который в данном случае выражается в виде

где s2(bi) – дисперсия ошибки определения коэффициента bi:

здесь s2(у) – так называемая дисперсия воспроизводимости:

Если найденное значение параметра ti превышает значение tqv для числа степеней свободы

при заданном уровне значимости q (обычно 5 %), т. е.

sign(ti tкр) 1,

то нуль-гипотеза отвергается и коэффициент bi признается значимым. В про-

тивном случае [т. е. при sign(ti – tкр) = –1] нуль-гипотеза принимается, коэффи-

циент bi считают статистически незначимым (т. е. βi = 0) и соответствующий член bizi может быть исключен из математической модели.

16

Статистическая незначимость коэффициента bi может быть обусловлена следующими причинами:

1) уровень базового режима х* близок к точке частного экстремума по переменной хi:

bi y(x*) 0.

xi

2) шаг варьирования xi выбран малым;

3) данная переменная (произведение переменных) не имеет функцио-

нальной связи с выходным параметром у, т. е. βi = 0;

4) велика погрешность воспроизводимости эксперимента вследствие на-

личия неуправляемых и неконтролируемых переменных.

Если какой-либо из коэффициентов bi окажется незначимым, он может быть отброшен без пересчета всех остальных

Чтобы проверить гипотезу об адекватности представления результатов

эксперимента найденным уравнениям регрессии, достаточно оценить отклоне-

ние предсказанной уравнением регрессии выходной функции yˆg от результатов эксперимента yg в тех же точках zg факторного пространства. Рассеяние резуль-

татов эксперимента вблизи уравнения регрессии, аппроксимирующего искомую функциональную зависимость, можно охарактеризовать с помощью дисперсии неадекватности σ2ад,оценка которой находится по формуле

(21)

Проверка гипотезы об адекватности проводится с использованием

F-критерия Фишера, который позволяет проверить нуль-гипотезу о равенстве двух генеральных дисперсий σад2 и σ2(y). Если выборочные дисперсии

sад2 > s2(у), то F-критерий формируется как отношение

17

Если вычисленное значение критерия меньше Fкp, найденного по табли-

цам для соответствующих степеней свободы vад = N – d; v = N (m – 1) при за-

данном уровне значимости qад, то нуль-гипотеза принимается. В противном случае [при sign (F – Fкр) = ±1] гипотеза отвергается, и описание признается не-

адекватным объекту. Проверка адекватности возможна при vад > 0. Если гипо-

теза адекватности отвергается, необходимо переходить к более сложной форме уравнения регрессии, либо, если это возможно, проводить эксперимент с мень-

шим шагом варьирования хi.

Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших по-

рядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах ис-

следования часто нужно получить в первом приближении лишь линейную ап-

проксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном количестве экспе-

риментов. Поэтому использовать ПФЭ для определения коэффициентов лишь при линейных членах неэффективно из-за реализации большого числа вариан-

тов варьирования 2n, особенно при большом числе факторов п.

Дробным факторным экспериментом (ДФЭ) называется эксперимент,

реализующий часть (дробную реплику) ПФЭ. ДФЭ позволяет получить линей-

ное приближение искомой функциональной зависимости в некоторой неболь-

шой окрестности точки базового режима при минимуме опытов.

Первый этап «планирования эксперимента» в случае ДФЭ для трехфак-

торной задачи приведен в табл. 3. Здесь произведение х1х2 выбирается таким же, как и третья независимая переменная. Такое планирование позволяет оце-

нить свободный член b0 и три коэффициента рeгрессии при линейных членах b1, b2, b3 (при четырех опытах нельзя получить более четырех коэффициентов).

Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т. е. с совместной оценкой нескольких теоретических коэффициентов уравнения регрессии. В

нашем примере, если коэффициенты регрессии при парных произведениях от-

личны от нуля, то каждый из найденных коэффициентов bi будет совместной смешанной оценкой двух теоретических коэффициентов:

18

b0 β0 β1,2,3;

b1 β1 β2,3;

b2 β2 β1,3;

b3 β3 β1,2.

Действительно, указанные коэффициенты в таком планировании не могут быть оценены раздельно, поскольку столбцы матрицы для линейных членов и соответствующих парных произведений совпадают. Рассмотренный план ДФЭ представляет половину плана ПФЭ типа 22 и называется «полурепликой» от ПФЭ типа 23, или планированием тина N = 23 – 1.

При большом числе переменных для получения линейного приближения можно построить дробные реплики высокой степени дробности. Так, при п = 7

можно составить дробную реплику на основе ПФЭ типа 23 (см. табл. 1), при-

равняв четыре линейные переменные к взаимодействиям первого и второго по-

рядков. В этом случае мы получим ДФЭ, представляющий 1/16 от ПФЭ типа 27,

или планирование типа N = 27 4. В случае если число факторов 3 < п < 7, при построении ДФЭ для оценки лишь линейных факторов следует руководство-

ваться следующими соображениями:

1)число строк матрицы планирования должно быть равно N = 8;

2)в качестве переменных х1, х2, х3 должны быть выбраны те эффекты,

взаимодействия которых (β1,2, β1,3, β2,3, β1,2,3) из физических соображений равны нулю или малы;

3) изменение остальных переменных производится таким образом, чтобы соответствующие им столбцы матрицы планирования совпадали со столбцами

19

произведений переменных х1, х2, х3, эффекты взаимодействия которых отсутст-

вуют или наименьшие.

Последующие этапы, связанные с проведением эксперимента, вычисле-

нием коэффициентов уравнения регрессии, статистическим анализом получен-

ных результатов для ДФЭ, ничем не отличаются от этапов ПФЭ [3].

2.3 Планирование экстремальных экспериментов

Планирование экстремальных экспериментов позволяет решать задачу оптимизации объекта исследования, которая сводится к отысканию таких зна-

чений управляемых переменных x10, x20,..., xn0, при которых целевая функция достигает экстремума. При экспериментальном поиске стационарной точки х0 в

факторном пространстве переменных X осуществляется локальное изучение поверхности отклика по результатам ряда экспериментов, специально сплани-

рованных вблизи текущей точки. Экстремальное значение отклика достигается с помощью многократной последовательности процедуры изучения поверхно-

сти и продвижения в факторном пространстве.

Ниже рассмотрены два типовых метода планирования экстремальных экспериментов, отличающихся способом определения направления движения к экстремуму и организацией самого движения.

1. Метод крутого восхождения (метод Бокси-Уилсони).

Планирование эксперимента в соответствии с этим методом, состоящее из двух взаимосвязанных частей – пробных движений, предназначенных для выяснения направления и скорости движения, и рабочих, осуществляющих продвижение или «крутое восхождение» к экстремуму, производится в сле-

дующей последовательности:

1) проводится ПФЭ или ДФЭ с центром в начальной точке х1 с целью оценки градиента функции grad у(х1). Поскольку координатами вектора гради-

ента