6038
.pdf7 вариант |
|
|
8 вариант |
|
|||
|
|
||||||
Найти методом Жордана-Гаусса |
Найти методом Жордана-Гаусса |
||||||
оптимальное решение |
задачи |
линейного |
оптимальное |
решение |
задачи |
линейного |
|
программирования, |
при |
которых |
программирования, |
при |
которых |
||
выполняются условия: |
|
|
выполняются условия: |
|
|
|
|
x ≥ 0 |
|
|
x ≥ 0 |
+ xH = 5 |
|||
2 ∙ x + 3 ∙ xD |
+ xE = 4 |
92 ∙ x + 3 ∙ xD + xE |
|||||
x 9 xD + 2 ∙ xE |
+ 3 ∙ xH |
= 4 |
33 ∙ x +x + xD + 6 ∙ xE |
+ 2 ∙ xH = 9 |
|||
*3 ∙ x + 2 ∙ x + 6 ∙ xD + 3 ∙ xE + |
9x +2 ∙ xD 9 xE+2 ∙ xH |
= 3 |
|||||
+6 ∙ xH = 15 |
|
1(x , x , xD, xE, xH) |
= 98 ∙ x 9 x |
||||
1(x , x , xD, xE, xH) = 9x + 3 ∙ x 9 |
|
9xD+xE → max |
|
||||
9xD9xE → max |
|
|
|
|
|
|
|
9 вариант |
|
|
10 вариант |
|
|||
|
|
||||||
Найти методом Жордана-Гаусса |
Найти методом Жордана-Гаусса |
||||||
оптимальное решение |
задачи |
линейного |
оптимальное |
решение |
задачи |
линейного |
|
программирования, |
при |
которых |
программирования, |
при |
которых |
||
выполняются условия: |
|
|
выполняются условия: |
|
|
|
|
x ≥ 0 |
|
|
x ≥ 0 |
|
|
||
92 ∙ x 9x + 2 ∙ xD = 2 |
6 ∙ x +x + xD + 2 ∙ xE + xH = 9 |
||||||
3x +x + 2 ∙ xD + xE + 3 ∙ xH = 8 |
3 9x 9 xD + 7 ∙ xE + 8 ∙ xH |
= 14 |
|||||
3 ∙ x +x 9 xDE+6 ∙ xH = 5 |
x +2 ∙ x + xE+xH = 3 |
||||||
1(x , x , xD, xE, xH) = x 9 |
1(x , x , xD, xE, xH) |
= x 9 |
|||||
93 ∙ xD 9 xE 9 xH → max |
96 ∙ xD + xE 9 3 ∙ xH → max |
||||||
20
3 Локальные максимумы и минимумы. Граничные максимумы и минимумы. Задачи линейного программирования.
Математический процессор MathCAD выполняет упрощения при решении задач линейного программирования.
Функции системы математических расчетов MathCAD, решающие проблемы
экстремумов: |
|
|
|
|
|
var1, var2, … которые |
|
Maximize (f, var1, var2) − позволяет возвратить значения |
|||||||
обеспечивают функции |
максимальный параметр Для использования этой функции сначала |
||||||
задается начальное приближениеf |
у каждой неизвестной. |
и, в том случае, когда ограничения |
|||||
заданы, необходимо вначале ввести ключевое слово Given. |
var1, var2, … которые |
||||||
Minimize (f, var1, var2) |
− позволяет возвратить значения |
||||||
обеспечивают функции |
минимальный параметр |
Для использования этой функции сначала |
|||||
задается начальное приближениеf |
у каждой неизвестной. |
и, в том случае, когда ограничения |
|||||
заданы, необходимо вначале ввести ключевое слово |
. |
|
|
||||
1(x) = 108 ∙ x + 112 ∙ x + 126 ∙ xD → max |
|
||||||
|
|
|
|
при поиске экстремума |
|||
Решается задача линейного программированияGiven |
|
: |
|||||
|
0,8 ∙ x +0,5 ∙ x |
+ 0,6 ∙ xD ≤ 800 |
|
|
|||
|
30,4 ∙ x +0,4 ∙ x |
+ 0,9 ∙ xD ≤ 600 |
|
|
|||
|
0,1 ∙ x + 0,1 ∙ xD ≤ 120 |
|
|
||||
Maximize (f, var1, var2): |
xP ≥ 0 |
|
|
|
|
||
При выполнении задания поиска |
экстремума при помощи функции |
||||||
−Записывается функция цели, которую необходимо максимизировать.
−Происходит присвоение первоначальных значений x = x = xD = 1.
−Далее записывается система уравнений ограничений с условием неотрицательности.
−Вводится ключевое слово Given (Дано).
−С использованием функции Maximize (f, var1, var2) находится максимум целевой функции.
−Выполняется нахождение точек экстремума целевой функции.
−Определяется численное значение в точки экстремума целевой функции.
21
3.1 Пример выполнения задания
Применяется функция системы |
|
|
математических расчетов |
|||
MathCAD, вычисляется |
экстремум |
|
возвращаются значения |
|
которые |
|
Maximize (f, var1, var2) |
|
var1, var2, … |
||||
обеспечивают функции f |
|
− |
|
|
|
|
максимальный параметр. |
|
|
|
|||
1(x) = 108 ∙ x + 112 ∙ x + 126 ∙ xD → max
В системе MathCAD записывается функция цели, которую необходимо максимизировать:
Заполняются начальные0,8значения∙ x +0,5заданные∙ x + 0,6примером∙ x ≤ 800.
30,4 ∙ x +0,4 ∙ x + 0,9 ∙ xD ≤ 600 0,1 ∙ x + 0,1 ∙ xD ≤ 120D
xP ≥ 0
В системе MathCAD вводятся начальные значения, система ограничений и набирается ключевое слово Given.
Затем осуществляется нахождение максимального значения функции цели:
Ответ при решении нахождения оптимального значения выводится в виде матрицы результатов:
22
Подставив полученные численные значения в уравнение функции можно увидеть результат, при котором обозначается оптимальное решение функции цели.
Общий вид документа решения задачи представлен ниже.
23
3.2 Задания для самостоятельной работы
|
|
1 вариант |
|
|
2 вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти, |
используя |
встроенные |
Найти, |
используя |
встроенные |
|
функции |
|
процессора |
MathCAD, |
функции |
процессора |
MathCAD, |
экстремумы |
|
уравнений |
линейного |
экстремумы |
уравнений |
линейного |
программирования: |
|
программирования: |
|
|||
|
|
x + 2 ∙ x ≤ 14 |
|
2 ∙ x + x ≤ 6 |
|
|
395 ∙ x + 3 ∙ x ≤ 15 |
3 x + 3 ∙ x ≤ 9 |
|
||||
|
|
x ≥ 0, x ≥ 0 |
|
x ≥ 0, x ≥ 0 |
|
|
1(x) = x + x → max(min) |
1(x) = x + 4 ∙ x → max(min) |
|||||
|
|
3 вариант |
|
|
4 вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти, |
используя |
встроенные |
Найти, |
используя |
встроенные |
|
функции |
|
процессора |
MathCAD, |
функции |
процессора |
MathCAD, |
экстремумы |
|
уравнений |
линейного |
экстремумы |
уравнений |
линейного |
программирования: |
|
программирования: |
|
|||
3 |
94 ∙ x + 2 ∙ x |
≤ 4 |
3 |
x + 2 ∙ x ≤ 8 |
|
|
|
x + x ≤ 6 |
6 ∙ x 9 x ≤ 3 |
|
|||
|
|
x ≥ 0, x ≥ 0 |
|
x ≥ 0, x ≥ 0 |
|
|
1(x) = 2 ∙ x + 3 ∙ x → max(min) |
1(x) = x + x → max(min) |
|||||
|
|
5 вариант |
|
|
6 вариант |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти, |
используя |
встроенные |
Найти, |
используя |
встроенные |
|
функции |
|
процессора |
MathCAD, |
функции |
процессора |
MathCAD, |
экстремумы |
|
уравнений |
линейного |
экстремумы |
уравнений |
линейного |
программирования: |
|
программирования: |
|
|||
|
|
2 ∙ x + x ≤ 8 |
x + 2 ∙ x ≤ 14 |
|
||
|
|
3 x + 3 ∙ x ≤ 6 |
32 ∙ x + x ≤ 10 |
|
||
|
|
x ≥ 0, x ≥ 0 |
|
x ≥ 0, x ≥ 0 |
|
|
1(x) = 3 ∙ x + 2 ∙ x → max(min) |
1(x) = x + x → max(min) |
|||||
24
|
7 вариант |
|
|
8 вариант |
|
|
|
|
|
|
|
Найти, |
используя |
встроенные |
Найти, |
используя |
встроенные |
функции |
процессора |
MathCAD, |
функции |
процессора |
MathCAD, |
экстремумы |
уравнений |
линейного |
экстремумы |
уравнений |
линейного |
программирования: |
|
программирования: |
|
||
|
x 9 3 ∙ x ≤ 6 |
|
|
2 ∙ x 9 x ≤ 6 |
|
|
x + x ≤ 9 |
|
* |
9x + 3 ∙ x ≤ 6 |
|
* 9x + x ≤ 4 |
|
x + x ≤ 4 |
|
||
|
x ≥ 0, x ≥ 0 |
|
|
x ≥ 0, x ≥ 0 |
|
1(x) = x + 4 ∙ x → max(min) |
1(x) = x + 2 ∙ x → max(min) |
||||
|
9 вариант |
|
|
10 вариант |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти, |
|
используя |
встроенные |
Найти, |
|
используя |
встроенные |
функции |
процессора |
MathCAD, |
функции |
процессора |
MathCAD, |
||
экстремумы |
уравнений |
линейного |
экстремумы |
уравнений |
линейного |
||
программирования: |
|
программирования: |
|
||||
|
x + x ≤ 10 |
|
|
x + x ≤ 20 |
|
||
|
92 ∙ x + x ≤ 2 |
|
|
9x + x ≤ 15 |
|
||
* x |
9 2 ∙ x ≤ 8 |
|
* x |
9 3 ∙ x ≤ 9 |
|
||
|
x |
≥ 0, x ≥ 0 |
|
|
x |
≥ 0, x ≥ 0 |
|
1(x) = 2 ∙ x + x → max(min) |
1(x) = 6 ∙ x + x → max(min) |
||||||
25
4 Матричный вид решения задач линейного программирования
Матричное решение задач линейного программирования хорошо представляется в системе математического процессора MathCAD. Автоматизированный редактор алгебраических вычислений позволяет быстро упрощать решение задач линейного
Maximize (f, var1,. |
var2) |
|
Minimize (f,var1, var2) |
|
|
|
|||
программирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
- основные функции поиска |
||
Maximize (f, var1, var2) – |
используется при поиске |
максимального значения |
f |
||||||
экстремальных значений |
|
|
|
|
|
Given, |
|||
требует указания |
|
var1, var2 |
|
|
|
|
|||
возвращая значения |
|
|
. Использование данной функции и ключевого слова |
|
|
||||
|
начального приближения для каждой неизвестной системы уравнений |
и |
|||||||
Minimize (f, var1, var2) – |
используется при поиске |
максимального значения |
f |
||||||
указания ограничений. |
|
|
|
|
|
Given, |
|||
требует указания |
|
var1, var2 |
|
|
|
|
|||
возвращая значения |
|
|
. Использование данной функции и ключевого слова |
|
|
||||
|
начального приближения для каждой неизвестной системы уравнений |
и |
|||||||
указания ограничений.
Нахождение экстремального значения функции в задаче линейного
программирования: |
1( ) = 108 ∙ + 112 ∙ + 126 |
∙ D → ( |
|||
|
|||||
|
0.8 |
∙ + |
0.5 ∙ + |
0.6 |
∙ D ≤ 800 |
|
0.4 |
∙ + |
0.4 ∙ + |
0.9 |
∙ D ≤ 600 |
|
Q0.1 |
∙ + |
0.1 ∙ D ≤ 120 |
|
|
|
|
|
≥ 0 |
|
|
Осуществляется в следующем порядке: Maximize (f, var1, var2) Нахождение экстремума с помощью функции
−Указывается функция цели, подлежащая максимизации.
−Присваивается начальное значение переменным = = D = 1.
−Обозначается системаGivenограничений и заносятся условия неотрицательности.
−Ключевое слово запускает решение задачи.
−ДляMaximizeпоиска (f,максимумаvar1, var2)целевой. функции – используется функция
−Находятся точки экстремума функции.
−По точкам рассчитывается значение функции.
26
4.1 Пример выполнения задания
Система математических расчетов MathCAD великолепно справляется с нахождением
экстремума при использовании матричной формы записи
1(x) = 108 ∙ x + 112 ∙ x + 126.∙ xD → max
0,8 ∙ x +0,5 ∙ x + 0,6 ∙ xD ≤ 800 30,4 ∙ x +0,4 ∙ x + 0,9 ∙ xD ≤ 600 0,1 ∙ x + 0,1 ∙ xD ≤ 120
xP ≥ 0 = 1, 2, 3
В системе MathCAD вводятся начальные значения числа ограничений и числа неизвестных переменных, задается исходная переменная.
Затем набирается столбец коэффициентов функции цели в виде вектора размерностью n ∙ 1 и матрица размерностью m ∙ n системы ограничений задачи:
Вектор представляет собой столбец размерностью m ∙ 1 правой части системы ограничений. Вводится целевая функция 1(x), элементы которой представляются в матричной форме И происходит обозначение первоначального значения задаваемых переменных. Появляется. вектор первых значений x.
27
В конце концов поиск экстремума в матричной форме приводит так же к заданию системы ограничений матричными элементами, введению условия неотрицательности, поиску максимума функции цели и определению самой точки экстремума и значению функции цели в этой точке.
Общий вид документа решения задачи представлен ниже.
28
4.2 Задания для самостоятельной работы
|
1 вариант |
|
|
|
2 вариант |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Найти |
экстремум, |
используя |
Найти |
экстремум, |
используя |
||||
матричные формы записи процессора матричные формы записи процессора |
|||||||||
MathCAD: |
56 |
|
13 |
|
MathCAD: |
114 |
|
600 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
с = S34T |
= S09T |
|
с = S165T |
= S300T |
|||||
|
87 |
0.4 |
56 |
|
|
98 |
0 |
240 |
|
|
0.7 |
0.1 |
|
|
0.7 |
0.3 |
|
||
a = S0.6 |
0.1 |
0.3T |
|
a = S0.9 |
0.5 |
0.8T |
|
||
|
0.3 |
0 |
0.4 |
|
|
0 |
0.9 |
0.2 |
|
|
3 вариант |
|
|
4 вариант |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Найти |
экстремум, |
используя |
Найти |
экстремум, |
используя |
||||
матричные формы записи процессора матричные формы записи процессора |
|||||||||
MathCAD: |
6 |
|
1 |
|
MathCAD: |
14 |
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
с = S4T = S9T |
|
с = S16T = S30T |
|
||||||
|
8 |
0.4 |
5 |
|
|
18 |
0.2 |
24 |
|
|
0.1 |
0.11 |
|
|
0.4 |
0 |
|
||
a = S0.2 |
0.1 |
0.13T |
|
a = S0.7 |
0.4 |
0.1T |
|
||
|
0.3 |
0 |
0.14 |
|
|
0 |
0.9 |
0.9 |
|
|
5 вариант |
|
|
|
6 вариант |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Найти |
экстремум, |
используя |
Найти |
экстремум, |
используя |
||||
матричные формы записи процессора матричные формы записи процессора |
|||||||||
MathCAD: |
16 |
|
323 |
|
MathCAD: |
24 |
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
с = S14T |
= S229T |
с = S15T |
= S30T |
||||||
|
17 |
0 |
176 |
|
|
38 |
0.1 |
40 |
|
|
0.6 |
0.1 |
|
|
0 |
0.13 |
T |
||
a = S0.63 |
0.5 |
0.3T |
|
a = S0.2 |
0.4 |
0.4 |
|||
|
0.9 |
0.2 |
0.4 |
|
|
0.8 |
0.2 |
0.8 |
|
29