5545

§ 2. Векторная алгебра

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Вектором называется направленный отрезок. Чтобы отрезок стал направленным, один из его концов объявляется началом вектора, а другой – концом вектора. На чертеже вектор изображается стрелкой (см. рис. 1), идущей от начала к концу. В записи вектор обозначается маленькой буквой латинского алфавита с чертой a или стрелкой a сверху или парой заглавных букв латинского алфавита с

чертой AB или стрелкой AB сверху, из которых первая буква – начало вектора, а вторая буква – конец вектора.

B

a

Длиной вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор и обозначается: a или AB .

Назовем вектор ортом, если его длина в некотором масштабе равна единице.

Для обозначения единичных векторов, или ортов, чаще используют буквы: e, i , j ,

k ( e = i = j = 1).

Задание вектора с помощью орта и длины не фиксирует его начала. Такие векторы называются свободными. Свободный вектор можно переносить параллельно самому себе и его началом можно считать любую точку пространства. В векторной алгебре всегда имеем дело со свободными векторами и будем их переносить параллельно самим себе, меняя точку их приложения, то есть начало вектора.

Нуль-вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Он имеет нулевую длину, то есть 0 = 0 .

10

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножение вектора на число.

Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c , начало которого

Рис.2

Чтобы их сложить, то есть найти сумму a + b этих векторов, необходимо нарисовать a и b в одном и том же масштабе таким образом, чтобы начало вектора b – второго слагаемого, совпало с концом вектора a – первого слагаемого (см. рис. 3). Тогда отрезок, соединяющий начало вектора a с концом вектора b будет суммой a + b в том же масштабе, в котором представлены a и b.

b

a

a + b

Рис. 3

Противоположным вектору a называется такой вектор (− a), который при сложении с вектором a дает нуль-вектор, то есть (− a)+ a = 0 .

Заметим, что разностью векторов a и b является сумма вектора a и вектора

(− b), противоположного вектору b, то есть a − b = a + (− b).

11

Произведением вектора a на число λ называется такой вектор λa ,

направление которого совпадает с вектором a , если λ > 0 и противоположно направлению вектора a , если λ < 0 ; длина же вектора λa в λ раз «больше»

длины вектора a , то есть

λ a = λ × a .

Пусть дан вектор a (см. рис. 4), тогда векторы b = 2a , c = -3a изображены на рисунке 5.

b

a

c

Свойства линейных операций над векторами:

1.(a + b)+ c = a + (b + c)

2.a + b = b + a

3.a + 0 = a

4.a + (- a)= 0

5.α ×(β a)= (α β )a

6.λ(a + b)= λ a + λ b

7.(λ + μ )a = λa + μa

8.1× a = a , где α , β , λ , μ – действительные числа.

12

Действия над векторами в координатной форме.

Три единичных взаимно перпендикулярных вектора i , j , k пространства,

через которые условились выражать все векторы пространства, называются

базисными векторами или базисом.

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки O и базиса (i, j, k ). (См. рис. 6)

z

a3

Точка O называется началом координат, оси Ox , Oy и Oz , проходящие через начало координат – точку O в направлении базисных векторов i , j и k

называются осями координат. Плоскости xOy , xOz и yOz , проходящие через каждую пару осей координат называются координатными плоскостями.

Если выбрана прямоугольная декартова система координат, то любой вектор a пространства может быть единственным образом разложен по векторам i , j , k

базисным как:

a = a1 ×i + a2 × j + a3 × k ,

то есть для каждого вектора a пространства в выбранной прямоугольной декартовой системе координат найдется единственная тройка чисел – координат

{a1 , a2 , a3 }, что позволяет написать равенство: a = {a1 , a2 , a3 } (см. рис. 6).

13

Если два вектора a и b в прямоугольной декартовой системе координат заданы своими координатами, то есть a = {a1 , a2 , a3 }, b = {b1 , b2 , b3 }, то

1)λ a = {λ a1 , λ a2 , λ a3 };

2)a + b = {a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 }.

Пример. Найти координаты вектора c = 2a + b , если a = {1; 2;3},

b = {-1;0;1}.

Решение:

2a = {2 ×1; 2 × 2; 2 ×3}= {2; 4;6}.

c = 2a + b = {2; 4;6}+{-1;0;1}= {2 + (-1); 4 + 0;6 +1}= {1; 4;7}.

Ответ: c = {1; 4;7}.

Для произвольной точки M (x; y; z) в прямоугольной декартовой системе координат координатами вектора OM являются проекции вектора на оси Ox , Oy ,

Oz соответственно, то есть OM = {x; y; z}. (См. рис. 7)

Длина вектора OM находится из двух прямоугольных треугольников OBA

и OAM :

OA2 = OB2 + AB2 = x2 + y2 ;

OM = OA2 + AM 2 = x2 + y2 + z2 .

14

Пример. Найти a , если a = i - 2 j + 2k .

Решение. Координаты вектора a : a = {1;-2; 2}. Длина вектора a : a = 12 + (- 2)2 + 22 = 3.

Ответ: a = 3.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними и обозначается: a ×b , то есть

a ×b = a × b × cos (a b) .

Свойства скалярного произведения:

1)a ×b = b × a ;

2)(λa)×b = λ(a ×b), λ R ;

3)a ×(b + c)= a ×b + a ×c;

4)a × a = a 2 или

c = c × c = (a + 2b)× (a + 2b) = a 2 + 4a b + 4 b 2 =

= 22 + 4 a × b × cos a b+ 4 ×12 = 4 + 4 × 2 ×1× cos 60 + 4 =

=8 + 8 × 1 = 12 = 23 .

2

Ответ: c = 23 .

15

следовательно, (a b) = 90 , то есть a ^ b.

Ответ: 90 .

2. Проекция вектора a на вектор b вычисляется по формуле:

Векторное произведение векторов

Три некомпланарных (непараллельных одной плоскости) вектора a , b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов, если из конца

третьего вектора c поворот от первого вектора a ко второму вектору b по кротчайшему пути виден против хода часовой стрелки, и левую, если по часовой. (См. рис. 8)

17

Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой

вектор c , что:

Из определения векторного произведения непосредственно вытекают

следующие соотношения между ортами i , j , и k :

i × j = k , j × k = i , k × i = j .

Поскольку тройки векторов (j,i , k ), (k, j,i) и (i, k, j) левые, то

j × i = −k , k × j = −i , i × k = − j .

Свойства векторного произведения:

1)a × b = −(b × a);

2)c × (a + b)= c × a + c × b ;

3)λ(a × b)= (λa)× b = a × (λb), λ R ;

4)a ´b = 0 a || b .

18

= (- 2 - 3)×i - (-1- 0)× j + (1- 0)× k = - 5i + j + k .

Ответ: a ´ b = - 5i + j + k .

Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b (см. рис. 9) равна модулю векторного произведения векторов a и b, так как:

b

α

a

Рис. 9

a ´b = a × b ×sinα = Sпарал.

Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах a и b (см. рис. 10) равна половине модуля векторного произведения, построенного на векторах a и b, то есть

b

a Рис. 10

Пример. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a = 2i - k

и b = j - k .

Решение. a = {2;0 -1} и b = {0;1;-1}. Тогда

19