Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4086

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

434.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

§ 10. ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим интегралы вида:

∫ R (x, a2 - x2 )dx , ∫ R (x, a2 + x2 )dx и ∫ R (x, x2 - a2 )dx .

Для приведения интегралов от иррациональной функции к рациональной функции используются подстановки:

для первого интеграла x = a cos t или x = asint ,

для второго x = a tg t (x = a ctg t ) и

третьего x =	a	или x =	a	, соответственно.
	cost
			sin t

Пример 10.1. Найти интеграл ∫					a2 − x2	dx .
					x

Рассматриваемый интеграл относится к интегралу первого вида. Выполняя подстановку x = asint , получим dx = a cost dt .

Интеграл запишется в виде:

∫

a2 - a2 sin2 t

a × cos t dt =

a sin t

= a∫

cos2 t

dt = a∫

1 - sin2 t

dt = a∫

- a∫ sin t dt =

sin t

Вычисление интеграла ∫

(см. пример 9.1)

sin t

= a ln

cost

+ a cost + C .

sin t

Учитывая, что sin t =

, cos t =

a 2 − x2

, получим:

∫

a 2 - x2

a - a2 - x2

dx = a ln

+ a2 - x2 + C .

Пример 10.2. Найти интеграл ∫

+ x

Выполняя подстановку x = a tgt , получим dx = a

dt . Тогда интеграл

cos2 t

запишется

∫

a dt

∫

cos

t a × tg t a

+ a

tg t

cos2 t ×

sin t

cos

t + sin

sin t

cos2 t

cos t

=1 ln cosec t - ctg t + C a

Возвращаясь к исходным переменным, учитывая, что tgt = x и, следовательно, a

ctgt =

, а cosec t =

a 2 + x2

1 + ctg 2 t

, получим:

− a

+ C .

a2 + x2

∫ x a2 + x2

Рассмотрим интегралы от дифференциального бинома ∫ xm (a + bxn )p dx , где m, n

и p – рациональные числа.

Интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях.

1.р – целое число, тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки x = t S , где

S = HOK {знаменателей дробей тип};

2.т + 1 - целое число, в этом случае интеграл рационализируется с

	помощью подстановки a + bxn = t k , где k – знаменатель дроби р.
3.		т + 1	+ р - целое число, в этом случае к цели приводит

		п

подстановка a x− n + b = t k , где k – знаменатель дроби р.

Пример 10.3. Найти интеграл ∫				dx		.

			x 1 + x		3
			x 1 + x
					1
Запишем подынтегральную функцию в виде x−1 (1 + x3 )								.
Запишем подынтегральную функцию в виде x−1 (1 + x3 )							2	.
Из записи следует, что р =	1	, т = −1,	п = 3 .
Из записи следует, что р =		, т = −1,	п = 3 .
2

Так как т + 1 = − 1 + 1 = 0 - целое число, то выполняя подстановку 1 + x3 = t 2 ,

п3

получим 3x2 dx = 2t dt , x2 dx = 2 t dt . 3

Преобразуем интеграл

∫

= ∫

x2 dx

∫ (t 2

t dt

∫

t -1

+ C

-1)× t

t 2 -1

t + 1

x 1

+ x

(1 + x

учитывая, что t = 1 + x3 , получим:

∫

t -1

1 + x3 -1

+ C =

+ C .

t + 1

+ 1

1 + x3

Пример 10.4. Найти интеграл ∫

(1 + x3 )3

Запишем интеграл в виде:

∫

=∫ x−2 × (1 + x2 )2

× dx .

(1 + x2 )

Здесь т= - 2,

п=2, р = -

т + 1

+ р = − 2 + 1 -

= -2 - целое число. Полагая

x−2 + 1 = t 2 , получим - 2

= 2t dt ,

= -t dt ,

x2 =

. Интеграл находится

t 2

-1

(t 2 -1)×

×t dt =

так: ∫

= ∫

= -∫

t 2 -1

(1 + x2 )3

x2 (1 + x2 )

(1 + x2 )

t 2 -1 ×t 3

t 2

−1

t 2 +1

= −∫

dt = −t −

+ C = −

+ C

1 + x2

Учитывая, что t

t =

1 + x2

, получим:

∫

= −

2x2

+ 1

+ C .

(1 + x2 )3

1 + x2

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Найти неопределенные интегралы

1.01 ∫

x dx

;

5 - x

1.03

∫ e−3x2 x dx ;

1.05

∫

;

x ln2 x

∫ x × 3

1.07

2 + x2 dx ;

1.09

∫

sin x dx

;

1 + cos2 x

1.11

∫sin

7 x × cos x dx ;

1.13

∫

;

- x

arcsin

1.15

∫

x dx

;

1.17

∫

4 - 5× ln x

dx ;

1.19

∫

dx ;

+ 6

∫

x - (arctg x)4

1.21

dx ;

1 + x

∫

5arсtg x − x

1.23

dx ;

1 + x2

1.25

∫

x dx

;

1.27

∫

x3 + 2x

dx ;

+ 1

1.29

∫

cos x dx

;

sin

1.02

∫

x dx

;

3 + 16x4

1.04

∫

cos x dx

;

4 + sin 2 x

∫

x dx

1.06

;

5 + 3x2

1.08

∫

x2 dx

;

4 - x

1.10

∫e2×sin x

× cos x dx ;

∫

1.12

5 tg 7 x ×

;

cos

1.14

∫ x × e4-x2 dx ;

∫

(arccos x)3 -1

1.16

dx ;

1 - x

∫

tg(2 - x)

1.18

dx ;

cos2 (2 - x)

∫

2x - arctg 2x

1.20

dx ;

1 + 4x

∫

sin x dx

1.22

;

cos4 x

1 -

1.24

∫

dx ;

× (1 + x)

∫

(x2

+1)dx

1.26

(x3 + 3x +1)5 ;

1.28

∫ xx3 dx ;

∫

x4 dx

1.30

3x5 + 4

Задание 2.

Найти неопределенные интегралы

2.01 ∫	10		− 3x		dx ;

		2x − x		2

2.03 ∫		6x − 1				dx ;

	6x2		+ 6x + 1

2− 3x

2.05∫ 3 − 2x − x2 dx ;

2.07	∫		4 − 3x			dx ;

		5	− 2x −	9x	2
		5	− 2x −	9x
2.09	∫		6 − 2x			dx ;


		7	− 2x +	9x	2
		7	− 2x +	9x

8− 2x

2.11∫ 9 − 2x − 9x2 dx ;

10− 4x

2.13∫ 11 − 2x + 9x2 dx ;

12− 3x

2.15∫ 13 − 4x − 4x2 dx ;

∫

2 − 3x

2.17

dx ;

4x2

+ 4x − 2

∫

x − 2

2.19

dx ;

2x2

+ 4x + 1

2.21

∫

7x + 1

dx ;

10 − 6x − x

∫

2x − 1

2.23

dx ;

2x2

− 4x − 5

∫

7x − 5

2.25

dx ;

x2 + x − 12

∫

5x − 3

2.27

dx ;

2 + 3x − 3x2

2− 3x

2.29∫ 3x2 − 12x − 16 dx ;

2.02	∫		2 − 3x			dx ;
2.02	∫	4x2 − 4x + 13				dx ;
2.04	∫		1 − x				dx ;


		2	− 2x −	4x	2
		2	− 2x −	4x
2.06	∫		3 − 2x				dx ;


		4	− 2x −	4x	2
		4	− 2x −	4x
2.08	∫		5 − 4x				dx ;


		6	− 2x −	4x	2
		6	− 2x −	4x
2.10	∫		7 − 3x				dx ;


		8	− 2x +	4x	2
		8	− 2x +	4x

9− 4x

2.12∫ 10 − 2x − 4x2 dx ;

11 − 2x

2.14 ∫ 12 − 2x + 9x2 dx ;

13 − 2x

2.16 ∫ 14 + 6x + 9x2 dx ;

2+ 3x

2.18∫ 7 + 4x + 4x2 dx ;

2.20

∫

2x − 1

dx ;

4x2

− 2x + 1

2.22

∫

5x + 12

dx ;

4x − 4x

2.24

∫

2x − 7

dx ;

− 32x +

2.26

∫

9x + 2

dx ;

6x − x

2.28

∫

(x − 5) dx

;

2x2

− 8x + 5

2.30

∫

4x + 7

dx .

− 6x

−

Задание 3.

Найти неопределенные интегралы:

3.01 ∫sin3

dx ;

3.02 ∫cos2

dx ;

3.03 ∫ tg3

dx ;

3.04

∫ctg3

dx ;

3.05

∫sin 4

dx ;

3.06

∫cos4

dx ;

sin 3

3.07

∫ tg4 x dx ;

3.08

∫

dx ;

cos2

cos3

sin5

3.09

∫

dx ;

3.10

∫

dx ;

sin 2

cos3

cos5

3.11

∫

dx ;

3.12

∫sin5

dx ;

sin

+ α

∫cos

∫

3.13

dx ;

3.14

dx ;

+ α

cos

sin

cos3 (x - L)

− x

∫

3.16 ∫

3.15

dx ;

sin(x - L)

cos

5 π

−

cos

∫

∫cos

× cos3x × cos

3.17

dx ;

3.18

dx ;

−

sin

3.19

∫sin3

× cos2

dx ;

3.20

∫cos5 3x × sin 2 6x dx ;

3.21

∫sin

× sin 3x × cos

dx ;

3.22

∫cos5 3x × cos6x dx ;

cos3

3.23 ∫

dx ;

3.24 ∫sin

× cos

× sin 2x dx ;

sin 2

cos

5x -

3.25 ∫sin

× cos

dx ;

3.26 ∫

;

sin 5x

−

cos

sin

3.27 ∫

dx ;

3.28 ∫

dx ;

−

sin

5 cos

3.29 ∫ cos2 2α × cos x × sin(3x - 2α ) dx ; 3

3.30 ∫sin(5α - 2x)× cos(x - 2α )× sin(3α + 3x) dx.

Задание 4.

Найти неопределенные интегралы:

4.01 ∫(x

+ 5x)× cos2x dx ;

4.02 ∫

x dx

;

cos

4.03

∫ x × sin2 x dx ;

4.04

∫(7x -10)×sin5x dx ;

∫(3x + 4)× e

∫ arctg

4.05

dx ;

4.06

3x -1

dx ;

4.07

∫ x2 × e−3 x

dx ;

4.08

∫ln(4x2 + 5)dx ;

4.09

∫ x2 arctgx dx ;

4.10

∫ x × cos2 2x dx ;

∫

x × cos x

∫ (3 - 7x

)× cos

4.11

;

4.12

dx ;

sin

∫ arctg

∫ x2 × e−

dx ;

4.13

6x -1

4.14

dx ;

4.15

∫ x3 × ln2 x dx ;

4.16

∫ x2 × arcsinx dx ;

4.17

∫ x3 × arctgx dx ;

4.18

∫ x2 × arccosx dx ;

∫ ln(x +

)dx ;

x × cos 2x dx

3 + x

∫

4.19

4.20

;

sin

∫cos(ln x) dx ;

4.21

4.22

∫e2 x sin 3x dx ;

4.23

∫l x

× cos 4x dx ;

4.24 ∫ x2 × 23−x dx ;

4.25

∫ x × sin 2x × cos 2x dx ;

4.26

∫ x3 arcctg x dx ;

4.27

∫e−3 x (2 - 9x) dx ;

4.28

∫(x + 1)× 3x dx ;

4.29

∫ x2 ln (x + 3) dx ;

4.30

arctg

dx .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023433.99 Кб04081.pdf
#
21.11.2023434.04 Кб14082.pdf
#
21.11.2023434.11 Кб04083.pdf
#
21.11.2023434.14 Кб14084.pdf
#
21.11.2023434.14 Кб04085.pdf
#
21.11.2023434.22 Кб04086.pdf
#
21.11.2023434.29 Кб04087.pdf
#
21.11.2023434.33 Кб14088.pdf
#
21.11.2023434.48 Кб24089.pdf
#
21.11.2023117.53 Кб0409.pdf
#
21.11.2023434.72 Кб04090.pdf