Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4086

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

434.22 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

c)В случае комплексных корней

Rα ( x)

M1x + N1

M r x + Nr

+ L +

, (9)

(x2 + p1x + q1 )L(x2 + pr x + qr )

x2 + p1x + q1

x2 + pr x + qr

где каждой паре комплексных

корней или множителю

второй

степени

знаменателе соответствует простейшая дробь вида

M i x + Ni

x2 + p x + q

Пример 6.5. Разложить правильную дробь

4x + 7

на

(x2 + 3x + 8)(x2 − 2x + 7)

простейшие дроби.

Согласно формуле (9) разложение запишется в виде:

4x + 7

M1x + N1

M 2 x + N2

(x2 + 3x + 8)(x2 − 2x + 7)

x2 + 3x + 8

x2 − 2x + 7

d) В случае, когда среди множителей знаменателя имеются

повторяющиеся множители второй степени:

Rα ( x)

M1x + N1

(x2 + p1x + q1 )β 1 L(x2 + pr x + qr )β r

x2 + p1x + q1

M 2 x + N2

+ L +

M β 1 x + Nβ 1

+ L +

(10)

(x2 + p1x + q1 )2

(x2 + p1x + q1 )β 1

D x + L

Dβ r x + Lβ r

+ L +

x2 + pr x + qr

(x2 + pr x + qr )2

(x2 + pr x + qr )β r

Пример 6.6. Разложить правильную дробь

7x2 + 3x − 5

на

(x2 − 3x + 8)2 (x2 + x + 4)

простейшие дроби.

По формуле (10) разложение запишется в виде:

7x2 + 3x − 5	A x + B		+	A x + B			Dx + L
(x2 − 3x + 8)2 (x2 + x + 4)	= x2 − 3x + 8			(x2 − 3x + 8)2		+ x2 + x + 4 .
	1	1		2	2

Подводя итог вышесказанному, разложение правильной дроби запишется

R (x)

Aγ

+ ... +

Qm (x) = (x − a1 ) +

(x − 1)2 + ... +

(x − a )γ1

+ Lβ

(11)

x + N

D x + L

Dβ

+ ... +

x 2 + pr x + qr

(x 2 + p

x + q

)βr

где

A1, A2 ,L, Aγ1 ,L, M1, N1,L, D1, L1,L, Dβr Lβr

—

неопределённые

коэффициенты, которые необходимо вычислить.

Нахождение неизвестных коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие дроби покажем на примерах.

x + 3

Пример 6.7. Разложить правильную дробь x3 − 2x2 + x на простейшие дроби.

Разлагая многочлен x3 − 2x2 + x на множители,

x3 − 2x2 + x = x(x2 − 2x + 1) = x( x − 1)( x − 1) = x( x − 1)2

обнаруживаем, что многочлен имеет три действительных корня x1 = 0, x2 = 1 и

x3 = 1, один из которых x1 = 0 —

простой и два x2 = 1 и x3 = 1 —

кратные.

Согласно формуле (11) разложение правильной дроби на простейшие

дроби запишется в виде:

x + 3

(12)

x ( x − 1)2

( x

− 1)2

x x −

Приведя правую часть равенства к общему знаменателю

x + 3

(

)

2 + B

(

)

− 1

x − 1 x + Cx

x ( x − 1)2

отметим, что дроби с равными знаменателями равны, когда равны их числители. Знаменатели дробей равны, значит должны быть равны и числители, т.е.

x + 3 = A( x − 1)2 + B ( x − 1) x + Cx .

Приравнивая в тождестве коэффициенты при одинаковых степенях x :

0 × x2 + x + 3 = x2 ( A + B) + x(C - B - 2A) + A,

получим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными A, B, C вида:

A + B = 0 при	x2
	при x .
−2 A − B + C = 1	при x .

A = 3 при x0

Решая её, находим A = 3,

B = −3 и

С = 4 . Подставляя в (12) найденные

значения A,

и С, получим:

x + 3

−

( x − 1)2

x3 − 2x + x x x − 1

∫

P ( x)

Задача интегрирования выражения вида

свелась к отысканию

Qm ( x)

интегралов от простейших дробей.

∫

dx = Aln

x + a

+ C

+ a

−n+1

dx = A (

x + a

)

∫

II.

+ C

( x + a)

−n +

III. ∫

Mx + N

+ px + q

Mx + N

IV. ∫ (x2 + px + q)n dx

Интегралы первых двух дробей найдены. Вычисление интеграла под номером IV выходит за рамки излагаемого материала. Покажем способ вычисления интеграла III.

	Mx + N			2
∫ x2 + px + q dx =			t = x		+ px + q,	найдём
		обозначая					dt = (2x + p)dx

Выполняя тождественные преобразования, получим:

Mx + N

(2x + p) −

+ N

∫

dx = ∫

dx =

+ px

+ q

+ px + q

(2x + p)dx

+ N −

∫ x2 + px + q

2 ∫ x2 + px + q

−

∫ t

p 2

∫

+ q −

Учитывая,

что знаменатель

x2 + px + q

имеет только комплексные корни,

дискриминант

- q = D < 0 тогда

-D = q -

> 0 .

Обозначая q -

= a2 и

x + p = u , находим du = dx . 2

Продолжая вычисления, получим:

+ N -

2 ∫ u

2 + a2

+ px + q

+ N

× arctg

+ C

Интеграл равен:

Mx + N

dx =

x2 + px + q

N − Mp

arctg

2x + p

+ C .

∫ x2 + px + q

4q − p2

Пример 6.8. Найти интеграл ∫ ( x − 1)( x + 2) dx .

Подынтегральная функция	3x	является правильной рациональной
	( x −1)( x + 2)
дробью (n =1, m = 2, n < m) . Методом		неопределённых коэффициентов

разложим её на сумму простейших дробей. Согласно формуле (7) разложение запишется в виде:

3x	=	A ( x+2	A ( x−1	A ( x + 2) + A ( x -1)		,
( x -1)( x + 2)		x -1 +	x + 2 =	1	( x -1)( x + 2)
		1	2		2

откуда

A1x + 2 A1 + A2 x − A2 = 3x или ( A1 + A2 ) x + 2 A1 − A2 = 3x .

Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях x

( A1 + A2 ) × x + (2A1 - A2 ) × x0 = 3x + 0 × x0 ,

получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными A1 и A2 :

x : A + A = 3		3A = 3		A = 1
x0	1 2		1	1
x0	: 2A1 − A2 = 0	A2	= 2A1	A2 = 2

Таким образом,

( x -1)( x + 2)

x -1

x + 2

x -1

x + 2

Следовательно,

dx =

2dx

∫

( x -1)( x + 2)

∫

∫ x -

∫ x + 2

x -

1 x

+ 2

= ln

x -1

+ 2ln

x + 2

+ C = ln

( x -1) × ( x - 2)2

+ C.

Ответ:

∫

= ln

( x -1)( x + 2)

+ C .

( x -1)( x + 2)

Пример 6.9. Найти интеграл ∫

dx .

+ 4x

+ 3

Подынтегральная функция

является правильной рациональной

x2 + 4x + 3

дробью (n =1,

m = 2, n < m) .

Разложим знаменатель этой дроби на линейные множители:

x2 + 4x + 3 = ( x - x1 )( x - x2 ), где

x =		-4 ± 42 - 4 ×1× 3				=	-4 ±			16 -12		=	-4 ±		4	=	-4 ± 2
x =						=						=				=
1,2			2 ×1						2			2					2
			2 ×1						2			2					2
x =			-4 + 2	= -2 = -1, x =							-4 - 2	= -6 = -3.
x =				= -2 = -1, x =								= -6 = -3.
	1		2	2				2	2			3
			2	2					2			3
Тогда x2 + 4x + 3 = ( x +1)( x + 3) и следовательно,
					4x			=			4x			.

					x2 + 4x + 3				( x + 1)( x + 3)

Методом неопределённых коэффициентов разложим последнюю дробь на сумму простейших дробей. Согласно формуле (7) имеем:

( x+3

( x+1

(

x + 3

)

+ B

(

+ 1

Ax + 3A + Bx + B

)

( x + 1)( x + 3)

x + 1

x + 3

( x + 1)( x + 3)

откуда

( A + B) × x + 3A + B = 4x + 0 × x0

x : A + B = 4

-2A = 4

A = -2

x0 : 3A + B = 0 Û

B = -3A

Û B = 6

Итак,

-2

dx = -2

∫

+ 3

∫ x + 1

∫ x

(13)

∫ x2 + 4x + 3

x + 1 x

= -2 ln

x + 1

+ 6ln

x + 3

+ C

3 x + 5

Пример 6.10. Найти интеграл ∫

dx .

+ 2x + 5

Выполняя замену

t = x2 + 2x + 5 , найдём

dt = (2x + 2)dt . Преобразуем

подынтегральную функцию:

3x + 5

(2x + 2) -

3 × 2

+ 5

(2x + 2) + 2

x2 +

x 2 + 2 x + 5

2x + 5

x2 + 2x + 5

Интеграл запишется:

3x + 5

(2x + 2) + 2

2x + 2

)

∫

dx = ∫

dx =

∫

(

+ 2∫

+ 2x + 5

+ 2x

+ 5

+ 2x

+ 2x +

∫

+ 2∫

+ 2x + 5

Выделяя полный квадрат

x2 + 2x + 5 = ( x + 1)2 − 1 + 5 = ( x + 1)2 + 4

и обозначая x + 1 = u,

du = dx , получим:

x2 +

2x + 5

2∫

x2 + 2x

+ 5

+ 2∫

( x +

+ 22

x2 + 2x + 5

+ arctg

x+1

+ C

Пример 6.11. Найти ∫

x5 + 4x4 + 18x + 19x2 − 6x + 20

dx .

+ 2x

+ 10x

Подынтегральная функция является неправильной дробью. Выполняя

деление

−

x5 + 4x4 + 18x3 + 19x2 − 6x + 20

x4 + 2x3 + 10x2

x5 + 2x4 + 10x3

x + 2

2x4 + 8x3

+ 19x2 − 6x + 20

−

2x4 + 4x3 + 20x2

4x3 − x2

− 6x + 20 ,

находим:

x5 + 4x4 + 18x3 + 19x2 − 6x + 20

= x + 2 +

4x3 − x2 − 6x + 20

x4 + 2x3 + 10x2

Разложение на простейшие дроби запишется:

4x3 − x2 − 6x + 20

4x3 − x2 − 6x + 20 A

Mx + N

(14)

x4 + 2x3 + 10x2

x2 (x2 + 2x + 10)

x2 + 2x + 10

Неопределённые коэффициенты, полученные из решения системы уравнений, равны A = −1, B = 2, M = 5, N = −1. Подставим их в выражение

(13) и запишем интеграл:

∫

x5 + 4x4 + +18x3 + 19x2 - 6x + 20

∫

dx =

x + 2

x4 + 2x3 + 10x2

(2x + 2) - 6

+ 2x - ln

∫

+ 2x

+ 10

Найдем интеграл

(2x + 2) − 6

(2x + 2)dx

∫

dx =

∫

− 6∫

2x + 10

+ 2x + 10

x2 + 2x + 10

−

arctg

x + 1

+ C

Решение запишется в виде:

1	+	2	+	5x -1		=

x		x2		x2 +
					2x + 10

=	5	∫	dt	− 6∫	dx			=
	2		t		( x + 1)	2	+ 32

∫

x5 + 4x4 + +18x3 + 19x2 - 6x + 20

dx =

+ 2x - ln

x4 + 2x3 + 10x2

x2 + 2x +10

- 2arctg

x + 1

+ C.

§7. ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

Рассмотрим интеграл

∫ ax2

+ bx +

Для его вычисления преобразуем квадратный трехчлен ax2 + bx + C к виду:

+ bx

+ с = a × x

x +

= a x

= a x +

± k

Знак «плюс» или «минус», стоящий перед k2 берется в соответствии со знаком

b 2

выражения

Интеграл запишется в виде:

∫	dx	1		∫		dx
		=
	ax2 + bx + c	=	a			b 2		2
					x +		± k
					x +		± k
						2a

Выполняя замену переменной x + b = t , получим dx=dt. Тогда:

									2a
1	∫		dx			1		∫	dt
						=				.
a			b 2		2	=	a		t 2 ± k 2	.
		x +		± k
		x +		± k
			2a

Последний интеграл табличный (см. формулы).

Пример 7.1. Найти интеграл ∫ 2x2 + 4x − 6 .

Преобразуем знаменатель

2x2 + 4x − 6 = 2( x2 + 2x − 3) = 2[(x + 1)2 −1 − 3]= 2[(x + 1)2 − 4]= 2[(x + 1)2 − 22 ].

Запишем интеграл в виде:

∫			dx	=	1	∫	dx
	2x	2	+ 4x + 6		2		(x +1)	2	− 2	2

Делаем замену переменной x + 1 = t , dx = dt . Подставляя в интеграл, получим:

∫

× ln

t - 2

+ C .

(x + 1)2 - 22

t 2 - 22

2 × 2

t + 2

Тогда:

∫

×ln

x +1 - 2

+ C =

x -1

+ C .

2x2 + 4x + 6

x +1 + 2

x + 3

Пример 7.2. Найти интеграл

∫

9x + 27

Выполним преобразования:

+ 9x + 27 = 3[x

+ 9]

+ 3x

3 x +

+ 9 =

3 x

+ 9

					3		2		27					3		2
					3				27					3
			= 3 x +					+		=	3	x +
			= 3 x +					+	4	=	3	x +
					2				4					2


Интеграл запишется в виде:
∫			dx	=		1	∫				dx
	3x	2	+ 9x + 27							3 2					2
		2											27		2
				3									27
								x +			+
								x +			+
										2			2
										2			2

		2
	27


+	2

Заменяя x +

= t , получим

dx=dt. Подставляя, интеграл запишется в виде:

∫

× arctg

+ C .

x +

Тогда

arctg

+ C .

∫ 3x2 + 9x + 27 3 27

Рассмотрим интеграл

A x + B

(2a x + b) + B -

dx =

∫ a x2

+ b x +

∫

a x2 + b x + с

∫

2a x + b

dx + B -

a x

+ b x

+ с

∫

a x

+ b x + с

2 a

Последний интеграл есть интеграл I1, вычисленный выше.

Выполняя замену переменной a x2

+ b x + с = t , получим (2a x + b) dx = dt .

Следовательно,

(2a x + b)dx

+ R =

a x2 + bx + с

+ R .

2a ∫ a x2 + b x + с 2a ∫ t

Окончательно получим:

A x + B

dx =

a x

+ b x + с

+ B -

× I1 .

∫ a x2 + b x + с

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023433.99 Кб04081.pdf
#
21.11.2023434.04 Кб14082.pdf
#
21.11.2023434.11 Кб04083.pdf
#
21.11.2023434.14 Кб14084.pdf
#
21.11.2023434.14 Кб04085.pdf
#
21.11.2023434.22 Кб04086.pdf
#
21.11.2023434.29 Кб04087.pdf
#
21.11.2023434.33 Кб14088.pdf
#
21.11.2023434.48 Кб24089.pdf
#
21.11.2023117.53 Кб0409.pdf
#
21.11.2023434.72 Кб04090.pdf