3482
.pdf[Введите текст]
3. Выведем полярное уравнение окружности радиуса R в случае, когда полюс лежит на ней, а полярная ось проходит через центр окружности.
|
M |
|
ρ |
|
|
ϕ |
|
N |
O R |
R |
p |
Рис. 24.
Возьмем произвольную точку M на окружности. Треугольник OMN прямоугольный. Получаем уравнение окружности в виде ρ = 2R cosϕ .
4.Покажем, что уравнение ρ = 2a sinϕ и полярных координатах
определяет окружность радиуса a . Подставим выражения для ϕ и ρ через
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||
x |
и y |
в |
уравнение: |
|
x2 + y 2 |
= 2a × |
|
. |
Умножая |
обе |
части |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y 2 |
= 2ay |
|
x2 + (y - a)2 = a2 . Это |
|||||||||||
уравнения на |
|
x2 + y 2 |
, |
получим |
x2 |
или |
|||||||||||||||||
уравнение окружности радиуса |
|
a |
|
с центром в точке (0, a). |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
5. |
Пусть в декартовой системе координат заданы прямые |
x = a , |
||||||||||||||||||||
y = b . Уравнения этих прямых в полярной системе координат ρ = |
a |
, |
|||||||||||||||||||||
cosϕ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ρ = |
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6. |
Рассмотрим |
уравнение |
ρ = a sin 3ϕ , |
a > 0 . |
Переход |
к |
декартовым координатам здесь довольно громоздкий и приводит к алгебраическому уравнению высокой степени. Поэтому посмотрим эту кривую, исходя из качественных соображений.
Период правой части уравнения равен |
2π |
, поэтому |
достаточно |
||||
|
|||||||
3 |
|
|
2π |
|
|
||
построить кривую для значений полярного угла из интервала |
0, |
|
. По |
||||
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
свойствам функции ρ = a sin 3ϕ , см. рис. 22, видно, что полярный радиус
ρ монотонно возрастает при 0 £ ϕ £ π |
и при ϕ £ π монотонно убывает. |
6 |
3 |
При π £ ϕ £ 2π правая часть уравнения ρ = a sin 3ϕ отрицательна, для этих
3 3
30
[Введите текст]
значений ρ точек кривой нет. Для остальных значений кривая получается
при повороте на угол 2π n |
(n = 1,2) части кривой, расположенной между |
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
лучами ϕ = 0 и ϕ = 2 π , рис. 24. |
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
π |
π |
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
6 |
||
a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
π |
2π |
ϕ |
|
O |
|
O |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
− a
Рис. 25.
Задание 3.
Построить кривые в полярной системе координат.
3.01. ρ = 4sin 2ϕ 3.02. ρ = 2(1 + sinϕ ) 3.03. ρ = 3cos3ϕ 3.04. ρ = 2sin 2 2ϕ 3.05. ρ = 3cos2 2ϕ 3.06. ρ = 4cos 2ϕ 3.07. ρ = 3(1 − cosϕ )
3.08. ρ = 2(cosϕ + sinϕ ) 3.09. ρ = 6(sinϕ − cosϕ )
3.10. ρ = 4cos2 ϕ
3.11. ρ = |
3 |
|
|
|
sin |
ϕ |
|||
|
||||
3.12. ρ = |
5 |
|
||
|
|
|
||
cosϕ |
||||
|
3.13. ρ = 3(1 − sinϕ )
31
[Введите текст]
3.14. ρ = |
|
3 |
|
|
|
|
|
8cos 2ϕ |
|||||||
|
|||||||
3.15. ρ = |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5sin 2ϕ |
|||||||
|
|||||||
3.16. ρ = |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− cosϕ |
||||||
1 |
|||||||
3.17. ρ = |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− 4cosϕ |
||||||
3 |
|||||||
3.18. ρ = 4 − 2sin 2ϕ |
3.19. ρ = 3 + cos 2ϕ 3.20. ρ = 2 − sin 3ϕ 3.21. ρ = 3 + 2cos 2ϕ 3.22. ρ = 4 − 2sin 3ϕ 3.23. ρ 2 = 4cos 2ϕ 3.24. ρ = 2(1 + 2cosϕ ) 3.25. ρ 2 × sin 2ϕ = 4 3.26. ρ × cosϕ = 2
3.27.ρ = 2 - 2cosϕ
3.28.ρ =1 + cos 2ϕ
3.29.ρ = 2 + cosϕ
3.30.ρ = 3 - sin 2ϕ1
§9. Поверхности второго порядка
1.Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям.
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, пересекающей заданную линию и параллельной заданному направлению. Заданная линия называется направляющей, а
совокупность параллельных прямых – образующими.
32
[Введите текст] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
F (x, y) = 0 |
задает |
цилиндрическую |
поверхность |
с |
||||||
образующей, параллельной оси oz и направляющей – кривой F (x, y) = 0 |
в |
||||||||||
плоскости xoy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
F (x, z) = 0 |
задает |
цилиндрическую |
поверхность |
с |
||||||
образующей, параллельной оси oy и направляющей – кривой F (x, z) = 0 |
в |
||||||||||
плоскости xoz . |
F (z, y) = 0 |
|
|
|
|
||||||
Уравнение |
задает |
цилиндрическую |
поверхность |
с |
|||||||
образующей, параллельной оси oz и направляющей – кривой F (z, y) = 0 |
в |
||||||||||
плоскости zoy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
x2 + y 2 |
= R2 |
задает |
круговой цилиндр |
с образующей |
||||||
параллельной оси |
oz и |
направляющей – окружностью |
x2 + y 2 = R2 |
в |
|||||||
плоскости xoy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
x2 |
+ |
|
y 2 |
= 1 задает эллиптический цилиндр. |
|
|||||
a2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|||
Уравнение y 2 |
= 2 px задает параболический цилиндр. |
|
|
||||||||
Уравнение |
x2 |
− |
y 2 |
= 1 задает гиперболический цилиндр. |
|
||||||
a2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
2.Поверхности второго порядка, заданные своими каноническими уравнениями.
a) x2 |
+ y 2 |
+ z 2 |
= 1 – эллипсоид |
|
|
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
− a |
|
|
− b |
a |
|
0 |
b |
y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− c |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
При a = b = c |
x2 + y 2 + z 2 |
= a2 – сфера |
|
|
33
[Введите текст] |
|
|
|
|
|
||
b) |
x2 |
+ |
y 2 |
− |
z 2 |
= 1 – однополостный гиперболоид |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
z
|
b |
a |
o |
y |
x
Рис. 27.
c) |
x2 |
+ |
y 2 |
− |
z 2 |
= −1 – двуполостный гиперболоид |
|
a2 |
b2 |
c2 |
|||||
|
|
|
|
z
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
-b |
0 b |
y |
|
|
|
|
|
|
|
− c |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 28. |
|
d) |
x2 |
+ |
y 2 |
|
= 2z , p × q > 0 – |
эллиптический параболоид |
||
p |
q |
|||||||
|
|
|
|
|
z
(p > 0, q > 0)
O |
y |
x Рис. 29.
34
[Введите текст]
e) x2 + y 2
pq
f)x2 + y 2 a2 b2
= 2z , p × q < 0 – гиперболический параболоид
z
(p > 0, q < 0)
y
x
Рис. 30.
2
= z – конус второго порядка c2
z
y
x
Рис. 31.
Задание 4
Определить виды поверхностей и изобразить их.
4.01.
1.3x2 + 4 y 2 − z 2 = 12
2.z 2 − 2x + 4 = 0
3.x2 + 2x + y 2 = 0
35
[Введите текст]
4.02.
1.x2 − 3y 2 + z 2 = −6
2.2 y 2 − 4 y + x + 1 = 0
3.x2 − 2 y 2 + z 2 = 0
4.03.
1.2x2 + 4 y 2 + z = 1
2.2x2 + 4x + 3y 2 = 0
3.z + 4 + y 2 + 2 y = 0
4.04.
1.2x2 − 4 y 2 + z 2 = 4
2.3y 2 + 6 y + z − 1 = 0
3.x2 + y 2 = 2 y
4.05.
1.3x2 + 4z 2 + y = 3
2.x2 + 3y 2 − z 2 = −6
3.2 y 2 + y − z + 4 = 0
4.06.
1.3x2 + 4z − 5 = 0
2.x2 + y 2 + z 2 − x = 0
3.y 2 − x2 + 2z 2 = 0
4.07.
1.x2 + 2x + y 2 + z 2 = 1
2.y 2 + 2 y + z 2 = 1
3.z + 4 − x2 + x = 0
4.08.
1.2 y + 1 + x2 = 2x
2.y 2 − x2 + 2z 2 = −4
3.2x2 + 4 y 2 + 8z 2 = 1
4.09.
1.3x − 1 + y 2 = − y
2.2x2 − 3y 2 = 16
3.z 2 − x2 + 2 y2 − 4 = 0
36
[Введите текст]
4.10.
1.2z + 4 + x2 = 2x
2.x2 + 2 y 2 = 1
3.2x2 + 4 y 2 + z 2 = 4
4.11.
1.2z − 3 − x2 + 4x = 0
2.x2 − 2 y 2 = 2x
3.3x2 − y 2 − z 2 = 6
4.12.
1.2 y + 3 + z 2 − 2z = 0
2.3y 2 + 4z 2 = x − 4
3.z 2 + z + y 2 − 2 y = 1
4.13.
1.2x2 + 6 y 2 = 3z
2.x2 − 2x − 2 y 2 + 4 y = 0
3.3x2 + 2 y 2 − z 2 = 1
4.14.
1.3x2 − y 2 + 6z 2 = 12
2.x2 − 2x + 2 y 2 = 0
3.3x + 2 + y 2 + 2 y = 0
4.15.
1.z = 3 y + 1
2.3x2 + y 2 − 3z 2 = −6
3.y 2 + 2 y + z 2 = 1
4.16.
1.y = −3x + 1
2.x2 + 2 y 2 + z 2 = 8
3.z 2 − 2 y 2 + 4 = 0
4.17.
1.y 2 + 2 y + z 2 = x − 4
2.3x2 + 4z 2 = 1
37
[Введите текст]
3. 2x + 1 + y 2 = 0
4.18.
1.3y + 4 − z 2 = 0
2.x2 + 2x − z 2 = 1
3.2x2 − y 2 − z 2 = 4
4.19.
1.− x2 + 2x + z = 1
2.x2 − 2 y 2 + z 2 = −4
3.3y2 + 4z 2 = 1
4.20.
1.2x2 + 4 y 2 = 8z
2.x2 − 3z 2 = 6
3.y + z 2 − 2z = 0
4.21.
1.2x2 + 4 y 2 + z 2 = 8
2.x2 − 2x + y2 − 1 = 0
3.y = 2 z − 3
4.22.
1.y 2 + 2x2 = 4z
2.x2 + 2x + y 2 + z 2 = 3
3.z = 2 y + 1
4.23.
1.3z + y2 = x − 3
2.y = − x + 4
3.x2 − 3y2 − z2 = 0
4.24.
1.x = 1 − y + 2
2.x2 − 2x − y2 + z2 = 1
3.2x2 + z2 = 4
38
[Введите текст]
4.25.
1.x2 + 2x + z2 = y − 4
2.3y2 + 4z2 = 1
3.2 y + 1 + x2 = 0
4.26.
1.3x − 4 − z2 = 0
2.y2 + 2 y − z2 = 1
3.2z2 − y2 − x2 = 4
4.27.
1.− y + x2 − 2x = 1
2.z2 − 2 y2 + 2x2 = −1
3.3z2 + 4 y2 = 1
4.28.
1.2x + 4 + z2 = 2z
2.2 y2 + 3z2 = x
3.3y2 + z2 = 1
4.29.
1.z = −3 x = 1
2.x2 + 4 y2 + 2z2 = 16
3.x2 − 2 y2 + 4 = 0
4.30.
1.x2 − 3y2 − 6z2 = 24
2.2 y + 1 + x2 = 1
3.x2 + 4z2 = 12
Задание 5
Построить тело, ограниченное поверхностями:
5.01. z = x2 |
+ y 2 , x = 4, |
y = 2, |
x = 0, y = 0, z = 0 |
||||||||
5.02. y = |
|
|
|
y = 2 |
|
|
|
x + z = 6, z = 0 |
|||
|
x, |
|
x , |
||||||||
5.03. x2 + y 2 |
= 4 y, |
z = 4 − x2 , |
z = 0 |
||||||||
5.04. y = 0, |
|
z = 0, z = 3x, y = |
|
|
|
||||||
|
|
9 − x2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|