2441

21

4. Нанести заданные точки на график и по рассчитанным в программе значениям функций в заданных точках xi (отчетная таблица 11) построить кривые линейной и квадратичной аппроксимации. Отметить отклонения заданных точек от точек на построенных кривых разными цветами.

Контрольные вопросы

1.В чём заключается аппроксимация?

2.Чем аппроксимация отличается от интерполяции?

3.Оценивая результаты в отчетной таблице 11, укажите, как изменилась точность аппроксимации в узлах с увеличением порядка аппроксимирующей кривой?

22

Лабораторная работа №8

Тема: Численное интегрирование функций,

имеющих табличное представление

Задание: Пользуясь таблицей зависимостей y от xвычислить

определённый интеграл двумя методами

1.По формуле трапеций;

2.По формуле Симпсона.

Значения для своего варианта взять из таблицы 6 заданий к расчётным работам.

Порядок выполнения работы

1.Вычислить интеграл вручную по формуле трапеций ([1] формулы (2),

(3)на стр. 167, а=x1, b=x7).

2.Решить ту же задачу на ПК (программа Р14, [1] стр. 167).

3.Решить вручную ту же задачу, используя формулу Симпсона (формула

(9), [1] стр. 168).

4.Решить ту же задачу на ПК (программа Р15, [1] стр. 169).

5.Результаты вычислений занести в отчетную таблицу 13.

Таблица 13 - Результаты численного интегрирования Формулы

Трапеций Симпсона

Вручную

На ПК

23

Контрольные вопросы

1.По каким формулам можно было бы вычислить интеграл, если бы было задано восемь точек и x8 = 4,5?

2.По каким формулам можно было бы вычислить интеграл, если бы было задано восемь точек и x8 = 5?

3.Каким должно быть число точек деления на [a, b], чтобы можно было применить формулу Симпсона?

4.Какой алгебраический порядок точности имеют формулы трапеций и Симпсона? (см. [1] стр. 171). Что это означает?

24

Лабораторная работа №9

Тема: Численное интегрирование функций,

имеющих аналитическое представление

b

Задание: Вычислить определённый интеграл ∫ f ( x )dx для функции f(x)

a

на отрезке [a,b] двумя методами:

1.По формуле трапеций;

2.По формуле Симпсона.

Функцию f(x), значения a, b взять для своего варианта из таблицы 7

заданий к расчётным работам.

Порядок выполнения работы

1. Вычислить на ПК приближённое значение интеграла с помощью формул трапеций. Для этого использовать алгоритмпрограммы 14 ([1] стр. 167).

Внести изменения в текст программы:

- предусмотреть ввод величин А и В и вычисление шага табулирования

H=(B-A)/(N-1)

после 4-ой строки программы.

-ввод X(I), Y(I) (5-ая и 6-ая строки программы) заменить на вычисление этих величин по формулам

X(I) = A+H*(I-1),

Y(I) = f(X(I)),

где f – функция из задания.

Решение выполнить при N=7, N=15 и N=71.

Результаты занести в таблицу 14.

25

Таблица 14 - Результаты численного интегрирования

2.Решить ту же задачу с помощью формулы Симпсона (см. [1] формула

(9)на стр. 168). Для этого использовать алгоритмпрограммы 16 ([1] стр. 176).

Решение выполнить при N=7, N=15 и N=71. Результаты занести в отчетную таблицу 14.

3. Пользуясь режимом непосредственного вычисления, найти точное значение заданного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница

b

I = ∫ f ( x )dx = F(b) –F(a),

a

где F(x) – первообразная функция для f(x) (см. свой вариант в таблице 7заданий

красчётным работам – последняя колонка).

4.Вычислить абсолютные погрешности результатов

= Iприбл. – I

для всех найденных значений Iприбл. Величины погрешностей занести в отчетную таблицу13.

Контрольные вопросы

1.В каких случаях прибегают к численному вычислению интеграла от функции, заданной аналитически?

2.По каким формулам следовало бы вычислять интеграл при N=70?

3.По каким формулам следовало бы вычислять интеграл, если предусмотреть неравномерный шаг вычисления x?

4.За счёт чего уменьшается погрешность результата при использовании формул Симпсона по сравнению с формулами трапеций?

5.Почему с увеличением N погрешность вычисления уменьшается?

26

Лабораторная работа №10

Тема: Решение обыкновенного дифференциального

уравнения первого порядка

Задание: Найти приближённое решение дифференциального уравнения yʹ = f(x,y) при заданных начальных условиях y(x0) = y0 на заданном интервале интегрирования [a,b] при числе шагов N = 10 двумя методами:

1.Методом Эйлера;

2.Методом Эйлера с пересчётом.

Уравнение для своего варианта взять из таблицы 8 заданий к расчётным работам.

Порядок выполнения работы

1. Найти вручную методом Эйлера решение дифференциального уравнения в трёх точках: x1 =a+h;x2 = a+2h;x3 = a+3h, где h = (b-a)/N (см. [1]

формулу (7) на стр. 191). Решение занести в отчетную таблицу 15.

2.Решить ту же задачу на ПК (программа 17, [1] стр.194) для десяти шагов. Обратить внимание на то, что в 6-ой строке текста программы следует внести изменение: набрать выражение, соответствующее вашему варианту дифференциального уравнения. Результаты занести в отчетную таблицу 15.

3.Вычислить вручную в трёх точках x1 =a+h;x2 = a+2h;x3 = a+3h значения

y по формулам Эйлера с пересчётом (см. [1] формулы (19), (20) на стр. 196).

Результаты занести в отчетную таблицу 15.

4. Решить ту же задачу на ПК (программа 18, [1] стр.196) для десяти шагов. Обратить внимание на то, что в 6-ой и 7-ой строках величины F1 и F2

следует подсчитывать по формулам, соответствующим вашему заданию.

Результаты занести в отчетную таблицу 15.

27

Таблица15 - Решения дифференциального уравнения

5.Пользуясь точным решением дифференциального уравнения (указано в таблице), вычислить в EXCEL точные значения y в тех же точках. Результаты занести в отчетную таблицу 15.

6.Вычислить погрешности решений в 10-ой точке, полученные методом Эйлера и Эйлера с пересчётом:

=yприбл. - yточное

Контрольные вопросы

1.В каких случаях используют численные методы решения дифференциальных уравнений?

2.Что представляет собой ломаная Эйлера?

3.К чему сводится приближённое решение дифференциального уравнения?

4.Какой порядок точности имеют используемые в работе формулы решения дифференциального уравнения (см. [1] стр. 194-195)?

28

Задания к расчетным работам

Таблица 1 - Задания к расчетной работе № 1

Таблица 1а - Список уравнений к расчетной работе № 1

29

Таблица 2 - Задания к расчетным работам № 2,3

30

Таблица 3 - Задания к расчетной работе № 4