2441
.pdf
11
Таблица 4 - Результаты метода Зейделя
Неизвестные |
Ручной |
|
Решение на ПК |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
счёт |
ε = 0,1 |
|
ε = 0,01 |
|
ε = 0,0001 |
|
|
|
|
||||
X1 |
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
|
X3 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Решить ту же задачу на ПК с помощью программы (см. [1] программу
7 на стр. 88) при различных значениях ε. Результаты поместить в отчетную таблицу 4.
6. Заполнить сравнительную таблицу 5 для итерационных методов, куда записать число приближений, понадобившихся для достижения заданной точности.
Таблица 5 - Числа приближений для достижения заданной точности
ε = 0,1 |
ε = 0,01 |
ε = 0,0001 |
Метод простой итерации
Метод Зейделя
7. Сравнить результаты решения заданной системы точным и приближёнными методами, заполнив отчетную таблицу 6 (для приближённых методов взять значения при ε = 0.0001).
Таблица 6
|
Метод Гаусса |
Метод итерации |
Метод Зейделя |
|
|
|
|
X1 |
|
|
|
X2 |
|
|
|
X3 |
|
|
|
δ |
- |
|
|
12
8.Рассчитать абсолютную погрешность(δ) вычисления корней приближёнными методами по сравнению с точными методами. В отчетную таблицу 6 занести наибольшее значение среди абсолютных погрешностей корней.
9.Сделать вывод о сравнительной эффективности использованных методов.
Контрольные вопросы
1.Какой вид системы линейных уравнений называют нормальным (см.
[1]стр. 79)?
2.Сформулируйте достаточные условия сходимости итерационных методов решения СЛАУ. Проверьте выполнение всех трёх достаточных условий сходимости (см. [1] стр. 83).
3.Чем отличается метод простой итерации от метода Зейделя (см. [1] стр.
87)?
13
Лабораторная работа №4
Тема: Решение системы нелинейных уравнений
Задание: Решить систему нелинейных уравнений методом Ньютона.
f1 (x1 , x2 ) = 0f 2 (x1 , x2 ) = 0
Систему взять в соответствии со своим вариантом из таблицы 3 заданий к расчётным работам.
Порядок выполнения работы
1.Вычислить графически начальное приближение корней для решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона. График привести в отчёте.
2.Найти вручную одно (по выбору студента) решение заданной системы нелинейных уравнений методом Ньютона с точностью ε=0.1 (описание метода -
см. [1] на стр. 113-118, примеры решения задач - см. [1] на стр. 361-362).
3.Найти на ПК все решения системы с точностью ε=0.1; ε=0.01; ε=0.0001.
спомощью программы (см. [1] программу 9 на стр. 116).
Используемые в тексте программы идентификаторы имеют следующий смысл:
F(1), F(2) – левые части уравнений системы, записанной в общем виде,
т.е. функции f1(x1,x2), f2(x1,x2) в системе
f1 (x1 , x2 ) = 0
=f 2 (x1 , x2 ) 0
С(1,1), С(1,2), с(2,1), С(2,2) – частные производные функций:
С1,1 = |
∂f1 |
С1,2 = |
∂f1 |
|
∂x |
∂x |
2 |
||
|
1 |
|
|
|
С2,1 = |
∂f2 |
С2,2 = |
∂f2 |
|
∂x |
∂x |
2 |
||
|
1 |
|
|
|
14
Максимальное число итераций рекомендуется вводить равным 300.
3. Результаты поиска каждого корня, полученные на ПК, записать в отчетную таблицу 7.
Таблица 7 - Результаты вычислений 1-го(2-го…) корня системы уравнений
Переменные |
Начальн. |
ε=0,1 |
|
ε=0,01 |
ε=0,0001 |
|
f(x1,x2) |
|
приближ. |
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
Число итераций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Правильность полученных |
результатов |
проверить |
в табличном |
||||
процессоре Excel, используя надстройку «Поиск решения».
Контрольные вопросы
1.Сколько решений могут иметь системы линейных (см. [1] стр. 64-65) и
нелинейных уравнений (см. [1] стр. 101-102) уравнений?
2.Для чего в программу вводится величина М по запросу «Число итераций» (см. [1] стр. 116)?
15
Лабораторная работа №5
Тема: Одномерная интерполяция
Задание: Пользуясь таблицей экспериментальных точек (x,y), выполнить
x |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
интерполирование в заданной промежуточной точке двумя методами:
1.По формуле линейной интерполяции;
2.По формуле Лагранжа.
Значения для своего варианта взять из таблицы 4 заданий к расчётным работам.
Порядок выполнения работы
1.Найти вручную промежуточное значение у при заданном х по формуле линейной интерполяции.
2.Решить ту же задачу на ПК, используя программу Р10 ([1] стр.126).
Замечание: результаты в п. 1, 2 должны совпадать.
3.Решить ту же задачу вручную по формуле Лагранжа.
4.Решить ту же задачу на ПК, используя программу Р11 ([1] стр.129).
Замечание: результаты в п. 3, 4 должны практически совпадать.
Результатывычисленийзанестивотчетнуютаблицу8.
Таблица 8 - Результаты интерполяции
Метод |
Ручнойсчёт |
НаПК |
Линейная интерполяция
Формула Лагранжа
Абсолютная погрешность
16
5. Результаты линейного и нелинейного интерполирования представить графиком, гдеэкспериментальные точки на участке интерполяции отметить маркером (кружок), а результаты интерполирования отметить маркером (крестик).
y
yi-1
×
×
yi
x
xi-1 |
x |
xi |
Контрольные вопросы
1.Что такое интерполяция?
2.Почему при линейной и нелинейной интерполяции были получены разные результаты в заданной точке?
3.Укажите наибольшую степень интерполяционного многочлена в вашем варианте.
17
Лабораторная работа №6
Тема: Двумерная интерполяция
Задание: Пользуясь таблицей значений функции Ψ, зависящей от двух переменных S и T (см. таблицу 9), вычислить промежуточные значения функции Ψ для заданных S и T.
Четыре задания для каждого варианта заданы в таблице 5 заданий к расчётным работам.
Таблица 9 - Значения функции Ψ(S,Т)
Т |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
400 |
600 |
800 |
|
1000 |
15000 |
2000 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
8,29 |
8,96 |
9,49 |
9,9 |
|
10,32 |
11,11 |
12,10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
8,09 |
8,75 |
9,26 |
9,69 |
|
10,07 |
10,84 |
11,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
7,82 |
8,47 |
8,96 |
9,38 |
|
9,75 |
10,49 |
11,42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
7,5 |
8,14 |
8,62 |
9,02 |
|
9,37 |
10,09 |
10,99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
7,18 |
7,76 |
8,22 |
8,60 |
|
8,94 |
9,62 |
10,48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
6,8 |
7,39 |
7,82 |
8,18 |
|
8,50 |
9,15 |
9,97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
6,8 |
6,9 |
7,31 |
7,64 |
|
7,95 |
8,5 |
9,31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
5,91 |
6,39 |
6,76 |
7,08 |
|
7,36 |
7,92 |
8,62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок выполнения работы
1. Найти вручную промежуточные значения функции Ψ для заданных S и
T(см. [1] пример на стр. 141-142).
2.Выполнить расчёты на ПК (программа 12, [1] стр.142). Результаты привести в отчёте.
18
Контрольные вопросы
1.Что называется интерполяцией?
2.Применяется ли формула линейного интерполирования и сколько раз для получения значения функции двух переменных в промежуточной точке?
3.Изменится ли результат вычислений, если изменить порядок вычисления результата?
19
Лабораторная работа №7
Тема: Аппроксимация
Задание: Пользуясь таблицей экспериментальных точек (x,y) выполнить
x |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
y |
y1 |
y2 |
y3 |
y4 |
аппроксимацию методом наименьших квадратов:
1.Линейную;
2.Квадратичную.
Значения для своего варианта взять из таблицы 4 заданий к расчётным работам.
Порядок выполнения работы
1. Найти вручную линейную аппроксимирующую функцию и квадратичную аппроксимирующую функцию. Для этого заполнить таблицу 10
и решить соответствующие СЛАУ относительно коэффициентов.
Таблица10
xi |
yi |
xi 2 |
yi xi |
xi 3 |
yi xi 2 |
xi 4 |
x1 |
y1 |
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
x3 |
y3 |
|
|
|
|
|
x4 |
y4 |
|
|
|
|
|
∑ xi |
∑ yi |
∑ xi 2 |
∑ yi xi |
∑ xi 3 |
∑ yi xi 2 |
∑xi4 |
|
na0 + a1 ∑ xi = ∑ yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
= a |
+ a x |
|||||||
|
∑ xi + a1 ∑ xi2 = ∑ yi |
|
|||||||
a0 |
xi |
1 |
0 |
1 |
|
||||
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
na0 + a1 ∑ xi + a2 ∑ xi2 = ∑ yi |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
∑ xi + a1 ∑ xi2 + a2 ∑ xi3 = ∑ yi xi p1 = |
a0 |
+ |
a1 |
x + |
a2 |
x2 |
|
∑ xi2 + a1 ∑ xi3 + a2 ∑ xi4 = ∑ yi xi2 |
||||||
a0 |
|||||||
2. Решить ту же задачу на ПК, используя программу Р13 ([1] стр.150).
Результат поместить в отчетные таблицы 11 и 12.
Таблица 11
xi |
yi |
Ручной счёт |
Счёт на ПК |
Линии тренда |
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р1 |
|
LTR1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р2 |
|
LTR2 |
|
|
|
|
|
LTR3 |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12
xi |
|
yi |
yi1 |
|
yi2 |
yi |
1 |
2 |
|
|
(линейная) |
|
(квадратичная) |
|
yi |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
y4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑( yi1) |
∑( yi2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Построить в EXCEL |
для точек (xi,yi) линии |
тренда, выводя |
||||||
соответствующие уравнения полиномов. Результаты поместить в отчетную
таблицу 11.