МУ968

20

Рис.3.2

21

3.3. Пересечение сферы с цилиндром

Задача на построение линии пересечения сферы с цилиндрической поверхностью показана на рис.3.3 – образующие цилиндрического выреза являются фронтально-проецирующими прямыми, в связи с чем фронтальная проекция линии пересечения будет совпадать с очерком цилиндрической поверхности (дуга радиуса R1).

Построение линии пересечения начинают с нахождения горизонтальных и профильных проекций точек, лежащих на фронтальном меридиане – 1 и 14, профильном меридиане – 3, 3', 9, 9' и экваторе – 14, 6, 6'.

Промежуточные точки линии перехода определяют с помощью метода вспомогательных секущих плоскостей. В рассматриваемой задаче введены горизонтальные секущие плоскости £, β, γ, δ, ε, ξ, η, υ, пересекающие сферу по окружностям соответствующего радиуса, а цилиндрическую плоскость – по образующим, точки пересечения, образующие с окружностями на горизонтальной проекции, являются искомыми точками. Так, например, пересечение тел плоскостью ξ дает точки 8, 8', 12, 12'как результат пересечения окружности радиуса Rξ c соответствующими образующими цилиндрической поверхности. После переноса найденных точек на профильную проекцию соединяют последовательно точки линии перехода и определяют ее видимость, – в рассматриваемой задаче горизонтальная и профильная проекции линии пересечения полностью видны.

3.4. Пересечение шара с тором

На рис.3.4 представлена задача на построение линии пересечения сферы и закрытого тора, имеющих фронтальную плоскость симметрии.

Построение линии пересечения начинают с нахождения опорных точек. Две опорных точки – А и В, – являются результатом пересечения фронтальных меридианов шара и тора. Вторую пару опорных точек находят по горизонтальной проекции как результат пересечения экватора шара с окружностью радиуса Rтβ, проведенной из центра тора (точки С и Д). Радиус Rтδ является радиусом сечения тора плоскостью экватора шара δ. По горизонтальным проекциям точки С и Д находят их профильные и фронтальные проекции (в плоскости δ).

Для определения промежуточных точек линии перехода проводят вспомогательные горизонтальные секущие плоскости £, β, γ и ε, пересекающие поверхность шара и тора по окружностям – точки пересечения соответствующих окружностей являются точками линии пересечения тел. Например, точки 2 и 2'определяются как результат пересечения плоскостью β поверхностей шара и тора по окружностям Rшβ и Rтβ соответственно.

После определения горизонтальных проекций точек линии перехода (для всех заданных плоскостей) определяют их фронтальные и профильные проекции.

Найденные точки на всех проекциях соединяют плавными кривыми и определяют их видимость:

-на фронтальной проекции в силу симметричности задачи невидимая часть линии А-а'-1'-2'-3'Д--в'-4'-В перекрывается ее видимой частью А-а-1-2-3-Д-в-4-В;

-на горизонтальной проекции видимая часть линии перехода ограничена точками, лежащими на экваторе шара, – С и Д – видимая часть линии, находящаяся выше экватора;

-на профильной проекции невидимая часть линии перехода находится между точками а и в, а' и в', т.е. часть линии, находящаяся правее профильного меридиана шара (определяется по профильной проекции).

3.5. Пересечение цилиндра с открытым и закрытым тором

На рис.3.5 рассмотрена задача на определение линии пересечения открытого тора с цилиндрическим отверстием, имеющем фронтальную плоскость симметрии δ.

После определения опорных точек 4, 4', 10, лежащих на профильных меридианах тора и цилиндра, находят промежуточные точки линии пересечения.

С этой целью в рассматриваемой задаче применяют фронтальные секущие плоскости £, £', β, β', γ, γ', дающие при пересечении тора кольцевые сечения и пересекающие цилиндрическую поверхность по образующим.

Например, плоскость £ и d' (симметричные относительно фронтальной плоскости симметрии) пересекают поверхность тора по окружностям радиуса R£ и R'£ с внешней и внутренней поверхности тора соответственно. Одновременно эти плоскости пересекаются с цилиндрической поверхностью по образующим 1-1', 7-7'.Точки 1, 1', 7, 7'являются общими для рассматриваемых поверхностей вращения, т.е. принадлежат линии их пересечения.

По аналогии определяют положение других точек, определяющих линию пересечения поверхностей, рассматривая сечение тел плоскостями β, β', γ, γ'. Обводят линию пересечения поверхностей, определяют видимость линий пересечения на проекциях.

На рис.3.6 показан пример решения задачи на взаимное пересечение закрытого тора с цилиндром, а также на определение линий пересечения тора фронтальными и профильными плоскостями.

При решении рассматриваемой задачи целесообразно применять профильные секущие плоскости £, £', β, β', γ, γ', δ, δ', так как только такие плоскости при пересечении тел вращения дают простые фигуры – фигуры, ограниченные окружностями и прямыми линиями.

25