МУ968
.pdf2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ С МНОГОГРАННИКАМИ
Решение задач по пересечению тел вращения с многогранниками базируется на материале по сечению тел вращения плоскостями. Приступая к решению вышеназванной задачи, студент, во – первых, должен четко
представлять, какая фигура получится при пересечении тела вращения с той или иной гранью многогранника.
Как правило, фигуры, получаемые при сечении тел вращения плоскостями, зависит от того, как данная плоскость ориентирована по отношению к оси тела вращения. Типы линий, ограничивающих эти фигуры для цилиндра и конуса показаны на рис.2.1 и 2.2.
Рис.2.1 Рис.2.2
Сечение шара плоскостью всегда дает в сечении круг. В зависимости от положения секущей плоскости в пространстве этот круг будет проецироваться:
а) на одну из плоскостей проекций без изменения, а на две другие в прямые линии, если секущая плоскость занимает положение плоскости уровня; б) на две плоскости проекций в эллиптические фигуры (фигуры,
ограниченные эллипсами), а на третью – в прямую линию, если секущая плоскость является плоскостью проецирующей; в) на все три плоскости проекций в эллиптические фигуры, если секущая плоскость является плоскостью общего положения.
Сечение тора плоскостью, перпендикулярной оси шара, дает в сечении круг (кольцо) в зависимости от типа торовой поверхности. Если же секущая плоскость занимает иное положение в пространстве, то в сечении получается фигура, ограниченная лекальными кривыми.
11
Как правило, фигуры сечения геометрических тел вращения, ограниченные прямыми и окружностями, можно выполнить сразу, без дополнительных построений; фигуры, ограниченные лекальными кривыми линиями, строятся с использованием метода дополнительных секущих плоскостей.
Подробно построение фигур сечения простых геометрических тел вращения плоскостями рассмотрено в литер.3.
Второе, что четко должен представить студент, приступая к решению задачи по пересечению тел вращения с многогранниками, что такое опорные точки и уметь строить их проекции.
Опорными точками называются точки фигуры сечения, проекции которых могут быть найдены без дополнительных построений. Как правило, такими точками являются точки пересечения фигуры сечения с фронтальным (главным) и профильными меридианами, экватором и основанием тел вращения.
Рис.2.3
Рис.2.4
Фронтальным (главным) меридианом
называется линия, по которой поверхность тела вращения пересекается фронтальной плоскостью, проходящей через ось этого тела. Проекции фронтального меридиана для цилиндра показаны на рис.2.3.
Как видим, проекциями фронтального меридиана на фронтальной плоскости проекций является очерковая линия (линия, очерчивающая контур проекции), а на горизонтальной и профильной плоскости проекций – прямые линии, проходящие через ось тела.
Профильным меридианом называется линия, по которой поверхность тела вращения пересекается профильной плоскостью, проходящей через ось этого тела. Проекции профильного меридиана для конуса показаны на рис.2.4. Как видим, проекциями профильного меридиана на профильной плоскости проекций является очерковая линия, а на фронтальной и горизонтальной плоскостях проекций – прямые линии, проходящие через ось тела.
Экватором называется линия, по которой поверхность тела вращения пересекается горизонтальной плоскостью, проходящей через центр этого тела. Проекции экватора для шара показаны на рис.2.5.
12
Как видим, проекциями экватора на горизонтальной плоскости является очерковая линия (окружность), а на фронтальной и профильной плоскостях
– прямые линии, проходящие через центр тела (шара).
Задачи на пересечение тел вращения с многогранниками в работе 3 представлены одним из тел вращения – цилиндром, конусом, сферой или тором, имеющим призматические отверстия (вырезы) с гранями, являющимися фронтальнопроецирующими плоскостями.
Задачи представлены фронтальной проекцией, по которой строят горизонтальную и
профильную проекции тела вращения и проекции линии пересечения отверстия (выреза) с телом.
При решении задач на пересечение тел вращения плоскостями (гранями призматического отверстия или выреза) необходимо проанализировать форму линий, получающихся при сечении тела той или иной плоскостью, найти опорные точки – точки, для нахождения проекций которых не требуется проводить дополнительных вспомогательных построений, определить необходимость задания дополнительных секущих плоскостей и их количества.
Метод вспомогательных секущих плоскостей, используемый для построения линий пересечения граней отверстия или выреза с телом вращения, достаточно полно описан в [литерат.3].
2.1. Пересечение цилиндра с призматическим вырезом
Пример решения задачи на пересечение цилиндра призматическим вырезом приведен на рис.2.6.
Анализ формы участков линии пересечения выреза с цилиндром 1-2-3-6- 10-11-11'-10'-6'-3'-2'-1'-приводит1 к следующим выводам:
-участки 1-2, 1'-2', 10-11, 10'-11'представляют отрезки прямых (образующих цилиндра), т.к. секущие плоскости параллельны оси цилиндра;
-участки 2-3, 2'-3' – дуги окружности, т.к. секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра;
-участи 3-6, 3'-6', 6-10, 6'-10' –отрезки эллипсов, образующихся при сечении цилиндра наклонными плоскостями.
13
Так как боковая поверхность цилиндра на горизонтальной проекции проецируется в окружность, равную радиусу цилиндра, то проекция линии пересечения будет совпадать с этой окружностью.
На очерковой окружности после проведения соответствующих линий проекционной связи находят горизонтальные проекции вышеперечисленных точек и переносят их на профильную проекцию тела. Опорными точками отрезков эллипсов являются точки 4, 4', 8, 8',лежащие на профильном меридиане цилиндра.
Для построения отрезков эллипсов на профильной проекции используют вспомогательные секущие плоскости, в рассматриваемом случае это горизонтальные плоскости £, β и γ, дающие при пересечении с плоскостями выреза отрезки прямых 5-5', 7-7', 9-9'.После соответствующего переноса этих точек на профильную проекцию цилиндра, все точки выреза соединяют последовательно отрезками прямых и кривых линий, определяют видимость проекций.
2.2. Пересечение конуса с призматическим отверстием
На рис 2.7 представлен пример решения задачи на построение линии пересечения прямого кругового конуса с призматическим сквозным отверстием с гранями, представляющими из себя фронтально – проецирующие плоскости.
Пересечение поверхности конуса с гранями отверстия дает дуги окружности 1-2 и 1-2', отрезки параболы 2-3 и 2-3', отрезки эллипса 3-4 и 3-4', отрезки гиперболы 1-4 и 1-4'.
Опорными точками являются: точка 1, лежащая на фронтальном меридиане, и точки 8 и 8', находящиеся на профильном меридиане, остальные точки линии пересечения находят с помощью метода вспомогательных секущих плоскостей. Для рассматриваемой задачи проводим горизонтальные плоскости £, β, γ, δ и η, пересекающие поверхность конуса по окружностям соответствующего радиуса, например, плоскость £ пересекает поверхность конуса по окружности радиуса R1, а плоскость γ – радиуса R2. Точки линии пересечения отверстия с конусом находят на пересечении соответствующих окружностей с горизонтальными проекциями линий пересечения вспомогательных секущих плоскостей с гранями отверстия, например, точки 2-2' от плоскости £, точки 5, 5',6, 6'от плоскости γ.
Найденные точки переносят на профильную проекцию конуса, соединяют соответствующие точки и определяют видимость проекций линии пересечения.
15
Рис.2.6
14
Рис.2.7
16
2.3. Пересечение пирамиды с цилиндрическим отверстием
Пример решения задачи на пересечение пирамиды SABC c цилиндрическим сквозным отверстием приведен на рис.2.8. Грани пирамиды SAB и SAC являются плоскостями общего положения, линия пересечения с цилиндрическим отверстием будет представлять собой отрезки эллипсов с точками излома а и а', лежащими на ребре SA (опорные точки). Грань SBC представляет собой профильно-проецирующую плоскость, пересечение с отверстием представляет из себя эллипс, профильная проекция которого совпадает со следом плоскости.
Для нахождения точек пересечения отверстия с гранями пирамиды целесообразно воспользоваться методом вспомогательных секущих плоскостей, более рациональным является применение горизонтальных плоскостей, в нашем случае £, β, γ, δ, η, ξ, q.
Рис.2.8
17
Врезультате пересечения пирамиды этими плоскостями получаемые сечения представляют фигуры, подобные лежащим в основании, в рассматриваемой задаче – треугольники. Цилиндрическое отверстие пересекается секущими плоскостями по образующим.
Точки, принадлежащие искомой линии пересечения, находят на горизонтальной проекции как результат пересечения соответствующего треугольного сечения с горизонтальными проекциями образующих цилиндра, полученных в этой же секущей плоскости.
Найденные точки линии пересечения переносят на профильную проекцию пирамиды, соединяют точки плавной кривой и определяют видимость проекций.
3.ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Вобщем случае линия пересечения тел вращения представляет пространственную кривую линию. Так как эта линия принадлежит обоим пересекающимся телам, её часто называют линией перехода. Построение линий перехода начинают с определения проекций опорных точек, т.е. точек для нахождения проекций которых не требуется дополнительных построений. Такими точками являются точки пересечения линий перехода с фронтальным и профильным меридианами, а также экватором.
Для нахождения промежуточных (текущих) точек в предлагаемых задачах используется метод дополнительных секущих плоскостей. Положение секущих плоскостей в пространстве выбирают таким образом, чтобы в сечении тел вращения этими плоскостями получались так называемые простые фигуры, под которыми здесь понимаются фигуры, ограниченные окружностями (дугами) и прямыми линиями.
После определения опорных и промежуточных точек их проекции соединяют лекальными кривыми с установлением видимости проекций.
3.1.Взаимное пересечение цилиндров
На рис.3.1 представлена задача на построение линии пересечения вертикального прямого кругового цилиндра с цилиндрическим отверстием, образующие которого являются фронтально-проецирующими прямыми (горизонтальный цилиндр).
Так как линия пересечения принадлежит обоим цилиндрам, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком горизонтальной цилиндрической поверхности, а горизонтальная проекция – с очерком вертикального цилиндра.
Опорными точками линии перехода являются точки, лежащие на фронтальном меридиане вертикального цилиндра, – 1 и 11, а также на профильном меридиане этого же цилиндра – 4, 4', 8, 8' – их положение определяется непосредственным проецированием на профильную проекцию.
18
Достаточно легко находятся точки, лежащие на профильном меридиане и в плоскости экватора горизонтального цилиндра, точки 3, 3', 9, 9',и 6, 6' соответственно. Ординаты этих точек переносятся с горизонтальной на профильную проекцию.
Для более точного построения линии пересечения и минимизации количества построений целесообразно ввести дополнительные секущие плоскости, симметричные относительно плоскости экватора горизонтального цилиндра – плоскости β и β', γ и γ', δ и δ'. Данные горизонтальные плоскости пересекают горизонтальный цилиндр по образующим, имеющим общие точки с вертикальным цилиндром 2, 2', 10, 10', 5, 5', 7, 7', a, a',в, в', с, с', d, d'.
Найденные точки переносят на профильную проекцию, соединяют последовательно между собой и устанавливают, что в рассматриваемой задаче на профильной проекции вся линия перехода является видимой.
Рис.3.1
19
3.2.Пересечение конуса с цилиндрической поверхностью
Вкачестве примера на рис.3.2 приведено решение задачи на построение линии пересечения прямого кругового конуса с горизонтальным цилиндрическим отверстием, симметричным относительно профильного меридиана конуса.
К опорным точкам линии перехода относятся точки, лежащие на профильном меридиане 1, 1', 7, 7',которые легко находятся проецированием на профильную проекцию и с профильной проекции переносятся на горизонтальную.
Построение линии пересечения проводят с помощью метода вспомогательных секущих плоскостей – вводят горизонтальные секущие плоскости £, β, γ, δ и ε, пересекающие поверхность конуса по окружностям соответствующего радиуса, а цилиндрическую поверхность – по соответствующим образующим.
Более подробно нахождение точек линии пересечения поверхностей показано на примере плоскости £. Искомые точки определяются как точки
пересечения окружности R£ с соответствующими образующими цилиндра – точки 2, 2', 12, 12'.Замеряют ординаты этих точек и переносят на профильную проекцию.
Аналогичные построения повторяют с другими плоскостями. Полученные точки соединяют плавной кривой и определяют ее видимость на проекциях. На горизонтальной проекции линия пересечения полностью видна, на профильной проекции в силу симметричности задачи видимая часть линии 7-8-9-10-11-12-1 и 7'-8'-9'-10'-11'-12'-1'перекрывает ее невидимую часть 1-2-3-4-5-6-7 и 1'-2'-3'-4'-5'-6'-7'соответственно.