Примеры решения задач

Задача 8.

Определить полосу пропускания канала передачи на видеомонитор изображения, содержащего 5*10⁵элементов трех основных цветов. Изображение передается с частотой 25 кадров/с. Каждый элемент имеет 8 равновероятных градаций яркости. Полезный сигнал является шумоподобным, отношение мощностей сигнал/шум равно 15

Решение.

Поток информации, рассчитанный через информационную энтропию, будет равен:

I= -(5*10⁵)*25*3*log₂(1/8) = 112,5×10⁶(бит/с).

Необходимая полоса пропускания:

F_K = I/D = I/[log₂(1+N_C/N_Ш)] = I/log₂(16) = 112,5*10⁶/4 = 28,125*10⁶ Гц = 28,125 МГц

Задача 9.

Определить за какое время можно передать по каналу связи запись музыкального произведения, чтобы при последующем воспроизведении слышимые искажения отсутствовали. Продолжительность произведения 4,5 минуты, полоса частот канала 6 МГц, динамический диапазон канала в 4 раза уже диапазона произведения. Принять, что верхний предел частот, слышимых человеком равен 25 кГц

Решение.

Объем передаваемой информации:

V_C=F_CD_CT_C= 25*10³*D_C*×4,5*60 = 6,75*10⁶*D_Cбит.

Поскольку диапазон канала в 4 раза уже диапазона сигнала, т.е. D_C= 4D_Kполучим

V_C= 27*10⁶×D_Kбит.

Из выражения для объема канала и условия передачи получим:

T_К=V_C/(F_КD_К) = 27*10⁶×D_K/(6*10^6*D_K) =4,5с

Задача 10.

Сигнал подается на вход канала с вероятностью 0,6. Определить количество информации, передаваемое по каналу, если граф канала приведен на рисунке.

Решение.

Матрица вероятностей будет иметь вид: .

Вероятности P(х_i) таковы:P(х₁) = 0,6;P(х₂) = 1 – 0,6 = 0,4.

Рассчитаем вероятности P(y_i).

Р(у₁) = Р(х₁)Р(у₁/х₁) + Р(х₂)Р(у₁/х₂) = 0,60,9 + 0,40,3 = 0,66;

Р(у₂) = Р(х₁)Р(у₂/х₁) + Р(х₂)Р(у₂/х₂) = 0,60,1 + 0,40,7 = 0,34

Максимальная энтропия в выходных сигналах:

H(Y) = -Р(у₁)log₂Р(у₁) - Р(у₂)log₂Р(у₂) = -0,6log₂0,6 - 0,4log₂0,4 = 0,925

Энтропия шумов (условная энтропия):

H(Y/Х) = -Р(х₁)[Р(у₁/х₁)log₂Р(у₁/х₁)+Р(у₂/х₁)log₂Р(у₂/х₁)] -

- Р(х₂)[Р(у₁/х₂)log₂Р(у₁/х₂) + Р(у₂/х₂)log₂Р(у₂/х₂)] =

= - 0,6[0,9log₂0,9 + 0,1log₂0,1] - 0,4[0,3log₂0,3 + 0,7log₂0,7] = 0,634

Отсюда количество информации, передаваемое по каналу:

I = H (Y) – H (Y/X) = 0,925 – 0,634 = 0,29 бит/знак.

Задача 11.

Определить количество информации, передаваемое по двоичному каналу со стиранием с равновероятными сигналами на входе, если вероятность искажения символа равна нулю, а вероятность стирания 0,1.

Решение.

Граф такого канала будет иметь вид, показанный на рис.

Матрица вероятностей передачи:

Вероятности на входе P(х₁) =P(х₂) = 0,5.

Вероятности на выходе:

Р(у₁) = Р(х₁)Р(у₁/х₁) = 0,50,9 = 0,45; Р(у₂) = Р(у₁) = 0,45

Р(у_С) = Р(х₁)Р(у_С/х₁) + Р(х₂)Р(у_С/х₂) = 0,50,1 + 0,50,1 = 0,1

Отсюда максимальная энтропия в выходных сигналах по (6.11):

H(Y) = -Р(у₁)log₂Р(у₁) - Р(у₂)log₂Р(у₂) -Р(у_С)log₂Р(у_С) =

-0,45log₂0,45 -0,45log₂0,45 -0,1log₂0,1 = 1,369

Энтропия шумов по (6.12):

H(Y/Х) = -Р(х₁)[Р(у₁/х₁)log₂Р(у₁/х₁) + Р(у_С/х₁)log₂Р(у_С/х₁)] -

- Р(х₂)[Р(у_С/х₂)log₂Р(у_С/х₂) + Р(у₂/х₂)log₂Р(у₂/х₂)] =

= - 0,5[0,9log₂0,9 + 0,1log₂0,1] - 0,5[0,1log₂0,1 + 0,9log₂0,9] = 0,469

Отсюда количество информации, передаваемое по каналу по (6.10):

I = H (Y) – H (Y/X) = 1,369 – 0,469 = 0,9 бит/знак.