Аппроксимация функций
Будем считать, что некоторый процесс характеризуется двумя изменяющимися величинами x и y, из которых x выбирается как независимая, а y – как зависимая переменная величина. Предположим, сто каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y, т.е. y является функцией x.
На практике часто известна аналитическая зависимость между x и y, т.е. функцию нельзя записать в виде y=f(x). В некоторых случаях эта зависимость известна, но вычисления значений функций громоздко. В этих случаях прибегают к табличному способу задания функций. Таблица представляет собой набор значений функций для последующих значений аргументов:
|
x |
x0 x1 …. xn |
|
y |
y0 y1 …. yn |
Эти значения либо вычислены, либо получены экспериментально.
Преимуществом табличного способа задания функций является то, что для каждого значения аргумента, содержащегося в таблице, без вычислений можно найти значение функции.
Недостаток этого способа в том, что нельзя составить таблицу для всех значений аргумента, всегда найдутся такие значения аргумента, которых нет в таблице.
Таким образом, возникает задача о приближении (аппроксимации) функции: данную функцию y=f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией y(x) так, чтобы отклонения (в некотором смысле) Y(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция Y(x) называется аппроксимирующей.
3. 1. Математическая постановка задачи интерполирования
Пусть на отрезке [x0, xn] задана функция y=f(x) своими n+1 значениями.
y0=f(x0), y1=f(x1), …, yn=f(xn) в точках x0, x1, …, xn, которые назовем узлами интерполяции.
Предполагается,
что при
.
Требуется найти аналитическое выражениеY(x)
функции, заданной таблично.
|
x0 |
x1 |
… |
xn |
|
y0 |
y1 |
… |
yn |
y0=Y(x0), y1=Y(x1), …, yn=Y(xn)
Процесс вычисления значений функции в точках x, отличных от узлов интерполяции, называют интерполированием функции f(x).
Если аргумент x,
для которого определяется приближенное
значение функции
,
то задача называется интерполированием
в узком смысле. Еслиx
находится за пределами отрезка [x0,
xn],
то задача отыскания значения функции
в точке x
называется экстраполированием.
Геометрически задача интерполирования для функции одной переменой y=f(x) означает построение кривой, проходящей через точки плоскости с координатами (x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) (рис. 3.1)
следующие формулы для уточнения корня уравнения:
y y=f(x)
y=Y(x)
x
x1
x2
x0
xn
Рис. 3.1
Очевидно, что через данные точки можно провести бесконечно много кривых. Таким образом, задача отыскания функции Y(x) по конечному числу ее значений является неопределенной. Но если в качестве интерполирующей функции Y(x) взять многочлен степени не выше nYn(x), то задача станет однозначной.
3. 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция задана таблично
|
x0 |
x1 |
… |
xn |
|
y0 |
y1 |
… |
yn |
Построим многочлен Ln(x), такой, что
Ln(x0)= y0, Ln(x1)= y1, …, Ln(xn)= yn. (3.1)
При такой постановке задачи узлы интерполяции x0, x1, …, xn могут произвольно отстоять друг от друга, т.е. узлы интерполяции неравноотстоящие.
Задача имеет решение, если степень многочлена Ln(x) будет не выше n.
Представим многочлен Ln(x) в виде:
,
где ai (i=0,1,…,n) неизвестные коэффициенты, которые надо найти. Из условий (3.1) следует, что
Таким образом, получаем систему из n+1 уравнение для нахождения (n+1) неизвестных a0, a1, …, an
(3.2)
определитель которой
отличен от нуля, еслиx0,
x1,
…, xn
различны.
Тогда существует единственное решение этой системы
.
Найдя коэффициенты a0, a1, …, an, запишем многочлен Ln(x). Однако, каждый раз решать систему уравнений (3.2) затруднительно, поэтому рассмотрим другой способ построения Ln(x). Запишем его в виде:
. (3.3)
Из выражения (4.3) следует, что функция Qn(x) должна удовлетворять условиям:
.
Легко видеть, что этим условиям отвечает многочлен вида:
(3.4)
В точках
функцияQi(x)
обращается в 0, а в точке xi
равна 1.
Тогда, подставляя в (3.3) выражение (3.4), окончательно получим:
.
Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
В сокращенном виде его можно записать так:
.