3. 3. Линейная интерполяция
В тех случаях, когда нет необходимости в отыскании приближенного выражения функции y=f(x), заданной таблично, можно использовать линейную интерполяцию, которая состоит в следующем.
Отыскивается
интервал [xi+1,
xi],
в который попадает значение
.
необходимо вычислить
.
На отрезке [xi-1, xi] заменим дугу кривой y=f(x) стягивающей ее хордой MN (рис. 2.3).
y M
y=f(x) y N
y=f(x)
x
xi-1
x0
…
xn
xi
…
Рис. 3.2
Уравнение прямой,
проходящей через точки
и
,
имеет вид:
,
т.е.
.
В качестве
приближенного значения функции
возьмем
.
3. 4. Метод наименьших квадратов
При интерполировании основным условием является совпадение значений функции и значений интерполяционного многочлена в узлах интерполяции.
Однако при большом количестве узлов интерполяции получается высокая степень многочлена, что затрудняет вычисление. Кроме того, экспериментальные данные, полученные в результате измерений или наблюдений, могут содержать ошибки, которые вызваны несовершенством измерительных приборов, различными случайными факторами. Построение аппроксимирующего многочлена с условием обязательного прохождения его графика через эти экспериментальные точки будет означать повторение ошибок. Поэтому иногда целесообразней строить многочлен, график которого проходит «близко» от заданных точек.
Итак, пусть при изучении неизвестной функциональной зависимости y от x получена таблица значений:
|
x0 |
x1 |
… |
xn |
|
y0 |
y1 |
… |
yn |
Нужно найти эмпирическую зависимость y=f(x), значение которых при x=xi мало отличались бы от опытных данных yi. График функции y=f(x), вообще говоря, не проходит через точки (xi, yi), как в случае интерполяции, что приводит к сглаживанию экспериментальных данных (рис. 3.3)
y
yi
Δi
y1
f(x)
y0
x
x1
…
x0
xn
xi
Рис. 3.3
Построение эмпирической формы состоит из двух этапов:
выбор общего вида зависимости;
выбор наилучших значений параметров, входящих в формулу.
Метод наименьших квадратов не дает возможности выбрать вид зависимости, он позволяет лишь оптимально подобрать параметры приближающей функции. Вид зависимости выбирается из каких-либо дополнительных соображений: физических, геометрических т.д.
Будем считать,
что тип эмпирической зависимости выбран,
и ее можно записать в виде:
,
гдеf
– известная
функция;
- неизвестные постоянные параметры,
значения которых надо найти.
В каждой точке xi
вычислим разность между табличным
значением функции yi
и вычисленным значением
,
.
- назовем отклонениями.
Поскольку
и
,
вообще говоря, не совпадают все или
некоторые
.
Запишем сумму квадратов отклонений для
всех точек
.
S является функцией от независимых переменных
Параметры
будем находить из условия минимума
функцииS.Минимум найдем, приравнивая к нулю частные производные по этим переменным
(3.5)
Из системы уравнений
(3.5) найдем
.
Геометрически (рис. 3.4) метод наименьших квадратов можно интерпретировать так: среди бесконечного множества линий данного вида, проведенных относительно данных экспериментальных точек, выбрать одну, для которой сумма квадратов отклонений будет наименьшей.
приводит к сглаживанию экспериментальных данных (рис. 3.3)
y
x
x1
x0
xn
x2
… 
Рис. 3.4