3. Дифференциальное уравнение теплопроводности

Для решения задач по переносу тепла способом теплопроводности требуется, кроме уравнения Фурье, еще уравнение температурного поля, описывающие распределение температур в пространстве и во времени.

Для вывода этого уравнения выделяем в тепловом потоке элементарный объем (параллелепипед) с ребрами dx, dy, dz, по каждому направлению действуют тепловые потоки (по правилу статики). Сумма сил (или тепловых потоков) равно нулю. Полный тепловой поток равен сумме тепловых потоков по направлению осей, то есть

.

Этот же тепловой поток можем записать как: (массу выразим через ).

Приравняв эти два выражения мы получим:

В этом выражении а - коэффициент температуропроводности.

, размерность этого коэффициента

а - характеризует теплоинерционные свойства жидкости и твердых тел.

В выражении V мы получили величину - показывающую насколько процесс протекает в стационарных условиях, если он полностью стационарен -, тогда , но нулю не равен, следовательно, т.е. сумма вторых производных температур по направлениям имеет вид:

это дифференциальное уравнение теплопроводности.

4. Теплопроводность плоской стенки

Процессы теплообмена между жидкостями, газами и парами в химических аппаратах протекают чаще всего через разделяющие плоские, цилиндрические и сферические стенки. Толщина последних часто очень мала по сравнению с их протяженностью вдоль осей Y и Z, поэтому температурное поле в таких стенках можно с достаточной точностью считать одномерными .

Расположим плоскую стенку так, что ее размер по оси X будет на много меньше, чем по направлениям Y и Z. Тепловой поток направлен внутри стенки и температуры изменяются отдо,dy и dz- велики.

Поэтому дифференциальное уравнение теплопроводности трансформируется и принимает вид:

Интегрирование этого выражения приводит к функции.

Проинтегрируем это выражение (два раза, значит, появятся две постоянные интегрирования). Получим:

[1]

Это уравнение показывает, что по толщине плоской стенки, температура изменяется прямолинейно. Теперь нам надо определить и-постоянные интегрирования. Еслиx=0,то. Если, т.е.- это толщина стенки, то после некоторых преобразований получим:

Подставив ив уравнение [1], получим:

или

где -коэффициент теплопроводности материала стенки,

- толщина стенки, [м]

() -разность температур поверхностей стенки ;⁰С

S-поверхность стенки, [м²]

-время

Для непрерывного процесса передача тепла теплопроводностью при

уравнение принимает вид:

Это уравнение теплопроводности плоской стенки при .

Теплопроводность плоской многослойной стенки.

Теплопроводность каждого слоя стенки обозначим через . Разделив уравнениена S получим величину- удельный тепловой поток.- удельный тепловой поток есть величина постоянная, при переходе от одной среды к другой.

Если мы запишем для каждой стенки, они будут равны.

Величина обратная -удельное термическое сопротивление теплопроводности (по аналогии с электропроводностью и электросопротивлением величина обратная электропроводности).

Чем больше - тем хуже перенос.

измеряется от 1до n, где n- число слоев многослойной стенки.

Это уравнение теплопроводности плоской многослойной стенки.