Методичка по ЭММ РГЗ

13

плата, личные доходы членов кооперативов, денежное довольствие военнослужащих и т. д.), государства (налоги, прибыль с производства государственного сектора и т. д.), кооперативных и других предприятий перераспределяются через различные каналы (финансово-кредитную систему, сферу обслуживания, общественно-политические организации и т. д.), в результате чего образуются конечные доходы населения, государства и т. д.

Основные соотношения

n

Xi Xij Yi – баланс между производством потреблением.

j 1

n

X j Vj Xij – стоимостная структура продукции i-ой отрасли.

продукции i-й отрасли непосредственно затрачивается в качестве средств производства на выпуск единицы продукции j-й отрасли.

(E – A)-1 = B – обратная матрица Леонтьева представляет собой матрицу коэффициентов полных материальных затрат. Экономический смысл ее элементов bij заключается в следующем: коэффициент bij показывает потребность в валовом выпуске продукции отрасли j.

1.4. Элементы теории массового обслуживания

Системами массового обслуживания (СМО) называются системы,

предназначенные для многоразового использования при решении однотипных задач. Примерами систем массового обслуживания являются магазины, ателье, телефонные станции, билетные кассы, ремонтные мастерские и т.д. Каждая СМО может состоять из одной или нескольких обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания.

По числу каналов системы массового обслуживания подразделяются на одноканальные и многоканальные.

Каждое обращение клиента в СМО называется заявкой. Как правило, заявки поступают в систему массового обслуживания случайным образом, формируя случайный поток заявок. Продолжительность обслуживания заявки в канале СМО также носит случайный характер. В

14

конечном счете система массового обслуживания по времени оказывается загруженной неравномерно. В периоды времени, когда мало заявок, СМО работает с недогрузкой или простаивает.

Если же поступает большое число заявок, то часть из них либо покидают систему необслуженными, либо становятся в очередь. По этому признаку СМО подразделяются на два основных класса:

1.Система массового обслуживания с отказами, в которой заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему;

2.Система массового обслуживания с ожиданием (с очередью), в которой в случае занятости всех каналов заявка становится в очередь на обслуживание. При этом способ отбора для обслуживания заявок из очереди называется дисциплиной обслуживания.

Различают следующие виды дисциплин обслуживания заявок:

первой пришла – первой обслужена;

последней пришла – первой обслужена;

обслуживание с приоритетом – в первую очередь обслуживаются наиболее важные заявки;

обслуживание с ограниченной длиной очереди;

обслуживание с ограниченным временем пребывания в очереди и

т.д.

Показатели эффективности функционирования систем массового

обслуживания характеризуют ее способность справляться с потоком заявок.

К числу показателей эффективности СМО с отказами относятся:

А – абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, обслуживаемых за единицу времени;

Q – относительная пропускная способность – отношение абсолютной пропускной способности к числу заявок, приходящих в единицу времени;

Ротк – вероятность отказа в обслуживании; Sk – среднее число занятых каналов.

В случае СМО с ожиданием к показателям эффективности дополнительно относятся:

Lсист – среднее число заявок в системе; Lm – среднее число заявок в очереди;

Тсист – среднее время ожидания обслуживания.

Системы массового обслуживания с ожиданием

Пусть имеется одноканальная СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой). То есть на СМО не

15

наложены никакие ограничения ни по длине очереди, ни по времени ожидания.

Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность . Поскольку обслуживание ведет один канал, то обслуживание заявок производится с одинаковой интенсивностью для всех состояний.

Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

Система может находиться в одном из состояний S0, S1, S2, …, Sk, … по числу заявок, находящихся в СМО:

S0 – канал свободен;

S1 – канал занят, обслуживает заявку, очереди нет; S2 – канал занят, в очереди одна заявка;

…

Sk – канал занят, в очереди (k – 1) заявка;

…

Размеченный граф состояний СМО имеет вид, изображенный на рис. 1.

Рис. 1. Одноканальная СМО с ожиданием

Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. Для такого процесса доказано, что если среднее число приходящих заявок в единицу времени меньше среднего числа обслуживаемых заявок

< 1

то предельные вероятности существуют.

Если ≥ 1, то очередь растет до бесконечности.

Для определения предельных вероятностей состояний можно воспользоваться формулами для процесса гибели и размножения:

Тогда для случая одного канала n = 1 можно записать p0 = (1 + + 2 + … + k + …)-1.

16

Предельные вероятности могут существовать лишь при < 1. Ряд,

стоящий в скобках, сходится к сумме 1 , так как это геометрический

1

ряд со знаменателем меньшим единицы. Поэтому можно записать для первого члена прогрессии

p0 = 1 – ,

а предельные вероятности других состояний определяются по формулам

p1 = p0 = (1 – ); p2 = 2p0 = 2(1 – ); …, pk = kp0 = k(1 – ) …

Анализируя полученные зависимости, можно сделать вывод, что предельные вероятности состояний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем < 1. Тогда в этой прогрессии первый член p0 – наибольший.

Это значит, что если СМО справляется с потоком заявок, то наиболее вероятным ее состоянием из всех возможных состояний будет отсутствие заявок в системе.

Рассмотрим основные показатели эффективности СМО с ожиданием:

среднее число заявок в системе Lсист определяется по формуле математического ожидания

Lсист kpk 1 k k

k 1 k 1 .

Можно показать, что эта формула преобразуется при < 1 к виду

1 ;

среднее число заявок, находящихся иод обслуживанием Lоб также легко определить по формуле для математического ожидания

Lоб = 0p0 + 1(1 – p0) = 1 – p0 = 1 – (1 – ) = ;

среднее число заявок в очереди Lоч, очевидно, определяется как разность Lсист и Lоб

среднее время пребывания заявки в системе Тсист или в очереди Точ равно среднему числу заявок в системе или в очереди, деленному на интенсивность потока заявок,

17

2. ОФОРМЛЕНИЕ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ

Расчетно-графическое задание предоставляется преподавателю для проверки в двух видах: отчет, на бумажных листах в формате А4, и в виде файлов. Например,

tema.docx – файл, раскрывающий теоретическое задание, согласно варианту задания;

task1.xlsx – файл выполнения в табличном процессоре задания 1; task2.xlsx – файл выполнения в табличном процессоре задания 2.

Отчет расчетно-графического задания должен иметь следующую структуру:

1.Титульный лист.

2.Содержание.

3.Практическая часть.

3.1.Теоретическое задание.

3.2.Задание 1.

3.3.Задание 2.

4.Список использованной литературы.

Теоретическое задание. Согласно варианту задания подготовить реферат, раскрывающий тему задания, объемом 5-7 страниц.

Параметры оформления. Шрифт – Times New Roman, размер шрифта –14 пт, междустрочный интервал – одинарный. Поля: левое – 25 мм, верхнее, нижнее – 20 мм, правое – 15 мм. Формат абзаца: полное выравнивание («по ширине»). Отступ красной строки одинаковый по всему тексту.

Заголовки разделов и подразделов следует печатать на отдельной строке с прописной буквы без точки в конце, не подчеркивая. Выравнивание по центру. Расстояние между названием раздела и последующим текстом должно быть равно полуторному междустрочному интервалу. Подчеркивать заголовки и переносить слова в заголовке не допускается.

Страницы следует нумеровать арабскими цифрами, соблюдая сквозную нумерацию по всему тексту.

Библиографические ссылки в тексте реферата оформляются в виде номера источника в квадратных скобках.

18

Задание 1. Оформление задачи должно состоять из условия варианта задания, модели решения и формул в алфавите языка MS Excel. А также всех отчетов надстройки Поиск решения с пояснениями и выводами.

Задание 2. Оформление задачи должно состоять из условия варианта задания, модели решения и формул в алфавите языка MS Excel. Все этапы решения задания быть приведены в отчете.

Срок сдачи расчет-графического задания определяется преподавателем.

19

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Темы теоретического задания

1.Моделирование как метод научного познания

2.История развития экономико-математического моделирования как науки

3.Применение экономико-математического моделирования для обоснования плановых прогнозных решений

4.Применение новейших экономико-математических методов для решения задач

5.Применение экономико-математических методов при решении конкретных аналитических задач

6.Прогнозирование на основе экономико-математических моделей

7.Классификация экономико-математических моделей

8.Этапы экономико-математического моделирования

9.Моделирование макроэкономических процессов

10.Области применения и ограничения использования макроэкономических моделей при решении экономических задач

11.Использование математических методов и моделей в управлении микроэкономическими системами

12.Транспортная задача с ограничениями возможных транспортных средств

13.Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики

14.Типы производственных функций и их свойства

15.Разработка динамических моделей для транспортнопроизводственной системы

16.Особенности экономических задач, решаемых математическими методами

17.Моделирование экономических функций

18.Аппарат теории двойственности для экономикоматематического анализа

19.Применение методов линейного программирования для оптимизации стоимости перевозок

20.Классификация моделей массового обслуживания

21.Экономико-математические модели

22.Применение экономико-математических методов в экономике

20

23.Экономико-математическое моделирование как способ изучения хозяйственной деятельности

24.Основные понятия и методы экономико-математического моделирования

25.Особенности формирования и способы решения оптимизационной задачи

26.Предмет экономико-математического моделирования, цель разработки экономико-математических методов

27.Моделирование экономических процессов, основные этапы их исследования

28.Экономико-математическое моделирование, как метод принятия решения

29.Сетевое моделирование при планировании

30.Сетевые методы планирования и управления

21

Приложение 2

Варианты практического задания 1

Вариант 1

Для откорма животных употребляют 2 корма – 1 и 2. Стоимость 1 кг корма 1 5 ден. ед., корма 2 2 ден. ед. В каждом килограмме корма 1 содержится 5 ед. витамина А, 2,5 ед. витамина В и 1 ед. витамина С. В каждом килограмме корма 2 содержится 3 ед. витамина А, 3 ед. витамина В и 1 ед. витамина С. Какое количество корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты на откорм были минимальны, если суточный рацион предусматривает не менее 225 питательных единиц витамина А, не менее 150 ед. витамина В и не менее 80 ед. витамина С?

Вариант 2

Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 ч. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны – в течение 16,25 ч. Прибыль от реализации 1 тонны молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 ден. ед. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной?

Вариант 3

При откорме каждое животное ежедневно должно получить не менее 60 ед. питательного вещества А, не менее 50 ед. вещества В и не менее 12 ед. вещества С. Указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц в 1 кг каждого из видов корма приведено в табл. 1.

Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ, при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг корма I вида составляет 9 ден. ед., корма II вида 12 ден. ед. и корма III вида 10 ден. ед.

22

Вариант 4

Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В, C использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку, фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 тонны карамели, общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, прибыль от реализации 1 тонны карамели каждого вида представлены в табл. 2.

Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.

Вариант 5

На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трёх видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в табл. 3. В ней же указана величина отходов, которые получены при данном способе раскроя одного листа фанеры