МУ ЭММ _часть 1_
.pdf
31
Рис. 10. Результат добавления ограничений
Рис. 11. Окно Параметры
Рис. 12. Результаты Поиска решения
7. Для просмотра результатов выбираем тип отчета Результаты и нажимаем кнопку ОК. В рабочей книге появится лист Отчет по результатам, который состоит из трех таблиц (рис. 13): в таблице 1 приводятся сведения о целевой функции, в таблице 2 приводятся
32
значения переменных задачи, а в таблице 3 показаны результаты поиска для ограничений задачи.
Рис. 13. Отчет по результатам решения задачи
Из этих таблиц видно, что в оптимальном решении:
максимальный доход ($D$4) равен 99,17;
объем выпуска продукта А ($B$3) равен 5,39;
объем выпуска продукта В ($С$3) равен 1,83;
расход ресурса Электроэнергия ($D$7) равен 29, статус ресурса
связанный, разница (остаток ресурса) 0;
расход ресурса Сырье ($D$8) равен 18, статус ресурса связанный, разница (остаток ресурса) 0;
расход ресурса Оборудование ($D$9) равен 16,39, статус ресурса
не связанный, разница (остаток ресурса) 6,611.
Первоначальная таблица рабочей книги заполняется результатами, полученными при решении (рис. 14).
Рис. 14. Результат поиска решения
33
8. Если в окне для просмотра результатов выбрать тип отчета Устойчивость, нажимаем кнопку ОК. В рабочей книге появится лист Отчет по устойчивости, который позволяет проанализировать изменение параметров задачи (рис. 15).
Рис. 15. Отчет по устойчивости решения задачи
Отчет состоит из двух таблиц: в таблице 1 приводятся сведения о чувствительности решения к изменению коэффициентов целевой функции (cj), в таблице 2 приводятся сведения о чувствительности решения задачи к изменению запасов сырья (bi).
Чувствительности решения к изменению коэффициентов целевой функции. Отчет позволяет определить допустимые диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции (рассматривая каждый из коэффициентов отдельно) и их влияние на оптимальность полученного ранее решения. В таблице отчета целевой коэффициент соответствует
коэффициенту cj, допустимое увеличение ( c(j ) ) – максимально возможное увеличение коэффициента cj, а допустимое уменьшение
( c(j ) ) максимально возможное уменьшение коэффициента cj.
Для первого коэффициента целевой функции получен следующий диапазон изменения с1:
с1 = c1 c1( );c1 c1( ) 15 10,71;15 15 4,29;30 .
Для второго коэффициента целевой функции с2:
с2 = c2 c2( );c2 c2( ) 10 5;10 25 5;35 .
Таким образом, найденный оптимальный план выпуска продукции не будет меняться при изменении цены на единицу продукции А в диапазоне от 4,29 до 30 денежных единиц и цены на единицу продукции В в диапазоне от 5 до 35 денежных единиц.
34
Чувствительности решения задачи к изменению запасов ресурсов
целесообразно проводить для связанных ресурсов (для примера Электроэнергия и Сырье). Отчет по устойчивости определяет интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений (bi) исходной задачи линейного программирования, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется.
Свойство двойственных оценок утверждает, что изменение значений величины bi приводит к увеличению или уменьшению Fmax и это изменение определяется величиной yi.
В таблице отчета результ. значение объем израсходованных ресурсов на выполнение плана производства; теневая цена соответствует значению двойственной оценки каждого вида ресурса yi,
отражает значение свободных членов системы ограничений bi,
допустимое увеличение ( bi( ) ) – максимально возможное увеличение коэффициента bi, а допустимое уменьшение ( bi( ) ) максимально
возможное уменьшение коэффициента bi.
Для ресурса Электроэнергия получен следующий диапазон изменения b1:
b1 = b1 b1( );b1 b1( ) 29 11;29 7 18;36 .
Данный интервал позволяет определить величину изменения дохода при изменении ресурса, т.е.
F( ) = b1( ) yi = 11 0,833 = 9,163 денежных единиц;F( ) = b1( ) yi = 7 0,833 = 5,831 денежных единиц.
При изменении запасов ресурса Электроэнергия в пределах от 18 до 36 единиц значение целевой функции принимает значения от
90,01 (99,17 – 9,16) до 105 (99,17 + 5,83) денежных единиц.
Для ресурса Сырье получен следующий диапазон изменения b2: b2 = b2 b2( );b2 b2( ) 18 10,82;18 11 7,18;29 .
Данный интервал позволяет определить величину изменения дохода при изменении ресурса, т.е.
F( ) = b1( ) yi = 10,82 4,17 = 45,12 денежных единиц;
F( ) = b1( ) yi = 11 4,17 = 45,87 денежных единиц.
При изменении запасов ресурса Сырье в пределах от 7,18 до 29 единиц значение целевой функции принимает значения от
54,05 (99,17 – 45,12) до 145,04 (99,17 + 45,87) денежных единиц.
35
3. ЗАДАНИЯ КВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХРАБОТ
Лабораторная работа № 1
В соответствии со своим вариантом в работе необходимо выполнить следующие задания:
1)сформулировать экономико-математическую модель задачи в виде задачи линейного программирования;
2)построить многогранник решений (область допустимых решений)
инайти оптимальную производственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом;
3)привести задачу линейного программирования к канонической форме и решить ее с помощью симплекс-таблиц.
Вариант 1. Для выпуска двух видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Нормы затрат ресурсов на производство единицы продукции каждого вида, прибыль на единицу продукции каждого вида, а также запасы ресурсов, которые могут быть использованы предприятием, приведены в табл. 3.
|
|
|
Таблица 3 |
|
Ресурс |
Нормы затрат ресурсов на |
Запасы |
||
единицу продукции |
||||
ресурсов |
||||
|
Продукт 1 |
Продукт 2 |
||
Сырье |
3 |
5 |
60 |
|
Рабочее время |
22 |
14 |
250 |
|
Оборудование |
10 |
14 |
128 |
|
Прибыль на единицу продукции |
30 |
25 |
|
|
Вариант 2. Цех выпускает два вида деталей – А и Б. Каждая деталь обрабатывается тремя станками. Организация производства в цехе характеризуется следующими данными (табл. 4).
Таблица 4
|
Длительность обработки |
Запасы |
||
Станок |
детали, мин |
|||
ресурсов |
||||
|
Деталь А |
Деталь Б |
||
|
|
|||
Станок 1 |
12 |
10 |
220 |
|
Станок 2 |
15 |
18 |
370 |
|
Станок 3 |
6 |
4 |
100 |
|
Отпускная цена за одну деталь |
30 |
32 |
|
|
Составить план загрузки станков, обеспечивающий цеху получение максимальной прибыли.
36
Вариант 3. Цех выпускает два вида продукции – А и В, используя при этом последовательно три станка. Данные о технологическом процессе указаны с табл. 5.
|
|
|
Таблица 5 |
|
Трудоемкость на одну |
Фонд |
|
Станок |
единицу продукции |
времени, |
|
|
Деталь А |
Деталь В |
ч |
Станок 1 |
3 |
3 |
150 |
Станок 2 |
2 |
6 |
180 |
Станок 3 |
1 |
2 |
80 |
Прибыль на единицу продукции |
2 |
3 |
|
Составить план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию наибольшую прибыль.
Вариант 4. На заводе используется сталь трех марок A, B и C, запасы которых соответственно 10, 16 и 12 единиц.
Завод выпускает два вида изделий. Для изделия № 1 требуется по одной единице стали всех марок. Для изделия № 2 требуется две единицы стали марки B , одна единица марки С и не требуется сталь марки А. От реализации единицы изделия № 1 завод получает три усл. ден. ед. прибыли, изделия № 2 две усл. ден. ед. (табл. 6).
|
|
|
Таблица 6 |
Ресурсы |
Нормы расхода ресурса |
Общее количество |
|
|
на 1 ед. изделия |
ресурса |
|
|
Изделие № 1 |
Изделие № 2 |
|
Сталь марки А |
1 |
0 |
10 |
Сталь марки В |
1 |
2 |
16 |
Сталь марки С |
1 |
1 |
12 |
Прибыль |
3 |
2 |
|
Составить план выпуска продукции , дающий наибольшую прибыль .
Вариант 5. Для изготовления двух видов изделий A и B, используется токарное, фрезерное и сварочное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия указаны в табл. 7.
В таблице также указан общий фонд рабочего времени, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.
Требуется определить, сколько изделий следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.
37
|
|
|
|
Таблица 7 |
Тип |
Затраты времени на обработку |
Общий фонд |
||
|
изделия, станко-ч |
рабочего |
||
оборудования |
|
|||
A |
|
B |
времени (ч) |
|
|
|
|||
Фрезерное |
2 |
|
4 |
120 |
Токарное |
1 |
|
8 |
280 |
Сварочное |
7 |
|
4 |
240 |
Прибыль |
10 |
|
14 |
|
Вариант 6. Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в табл. 8.
|
|
|
Таблица 8 |
|
Нормы затрат |
Общее |
|
Ресурс |
на одно изделие |
количество |
|
|
стол |
шкаф |
ресурсов |
Древесина: |
|
|
|
1-й вид |
0,2 |
0,1 |
40 |
2-й вид |
0,1 |
0,3 |
60 |
Трудоемкость (чел-ч.) |
1,2 |
1,5 |
371,4 |
Прибыль от реализации |
|
|
|
единицы изделия (усл. ден. ед.) |
6 |
8 |
|
Определить сколько столов и шкафов фабрике следует изготовить, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.
Вариант 7. На звероферме могут выращивать черно-бурых лисиц и песцов. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в табл. 9. Также в таблице указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
|
|
|
Таблица 9 |
|
Ежедневное количество |
Общее |
|
Вид корма |
единиц корма |
количество |
|
|
лисица |
песец |
корма |
I |
2 |
3 |
180 |
II |
4 |
1 |
240 |
III |
6 |
7 |
426 |
Прибыль от реализации одной |
16 |
12 |
|
шкурки (усл. ден.ед.) |
|
|
|
38
Определить сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкур была максимальной.
Вариант 8. Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере 2 ден. ед., а каждый шахматный набор в размере 4 ден. ед. На изготовление одной клюшки требуется 4 ч работы на участке A и 2 ч работы на участке B. Шахматный набор изготавливается с затратами 6 часов на участке A, 6 ч на участке B и 1 ч на участке C. Доступная производственная мощность участка A составляет 120 н-ч в день, участка В 72 н-ч и участка С 10 н-ч.
|
|
|
Таблица 10 |
|
|
Затраты времени на |
Доступный |
||
Производственные участки |
единицу продукции, н-ч |
фонд |
||
клюшка |
набор |
времени, |
||
|
||||
|
шахмат |
н-час |
||
|
|
|||
А |
4 |
6 |
120 |
|
В |
2 |
6 |
72 |
|
С |
|
1 |
10 |
|
Прибыль на единицу продукции |
2 |
4 |
|
|
Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?
Вариант 9. Фабрика изготовляет два вида красок: для внутренних и наружных работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу.
Для производства красок используются три исходных продукта А, В и С. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 56, 80 и 117 т соответственно. Расходы продуктов А, В и С на 1 т соответствующих красок и максимально возможный запас приведены в табл. 11.
|
|
|
Таблица 11 |
|
|
Расход продуктов |
Суточные |
||
Вид исходного продукта |
на 1 т красок |
запасы |
||
краска для |
краска для |
исходных |
||
|
||||
|
наружных работ |
внутренних работ |
продуктов |
|
А |
1 |
2 |
56 |
|
В |
2 |
1 |
80 |
|
С |
3 |
1 |
117 |
|
Оптовые цены 1 т красок |
3 |
2 |
|
|
Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
39
Вариант 10. Мастерская имеет в своем распоряжении определенное количество производственных ресурсов: трудовые, денежные средства, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Для получения оптимального плана рассмотрите использование ресурсов трех видов трудовые, сырье и оборудование, которые имеются в количестве соответственно 60, 28 и 42 единицы. Мастерская выпускает ковры двух видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида (о нормах расхода производственных ресурсов), и доходах, получаемых предприятием от реализации единицы каждого вида товаров, приведена в табл. 12.
Таблица 12
|
Нормы расхода ресурсов на единицу |
Наличие |
||
Ресурс |
|
изделия |
||
|
ресурсов |
|||
|
Ковер А |
|
Ковер В |
|
|
|
|
||
Труд |
4 |
|
2 |
60 |
Сырье |
1 |
|
1 |
28 |
Оборудование |
3 |
|
1 |
42 |
Цена |
14 |
|
10 |
|
Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором будет получен максимальный доход от реализации продукции (сбыт всей выпущенной продукции обеспечен).
Контрольные вопросы
1.Задача линейного программирования: основные понятия, общий вид, типы задач.
2.Дайте определения математической модели, плана, допустимого плана, оптимума, области допустимых решений.
3.Как решить задачу линейного программирования методом перебора вершин?
4.Как решить задачу линейного программирования методом градиента?
5.Назовите условия разрешимости задачи и единственности решения задачи линейного программирования.
6.Сформулируйте основные теоремы симплекс-метода.
7.Дайте определения базисных и свободных переменных, решений оптимальных и допустимых.
8.Как заполнить симплекс-таблицу?
9.Объясните алгоритм перехода от одной симплекс-таблицы к другой.
10.Назовите этапы нахождения оптимального плана симплексметодом.
40
Лабораторная работа № 2
В соответствии с данными лабораторной работы № 1, необходимо выполнить следующие задания:
1)сформулировать экономико-математическую модель задачи двойственную к исходной и найти решение двойственной задачи;
2)решить задачу линейного программирования в MS Excel и выполнить анализ полученных результатов.
Контрольные вопросы
1.Раскройте основные понятия двойственного анализа.
2.Сформулируйте правила составления двойственной задачи.
3.Дайте определения теорем двойственного анализа.
4.Как с помощью двойственных оценок задачи линейного программирования оценить целесообразность включения в план новых изделий?
5.Назовите основные этапы решения задачи линейного программирования с помощью Microsoft Excel.
6.Какие таблицы составляют отчет о результатах решения задачи линейного программирования?
7.Как выполнить анализ чувствительности решения к изменению коэффициентов целевой функции?
8.Как выполнить анализ чувствительности решения задачи к изменению запасов сырья?