Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум по математике часть 3

.pdf

Скачиваний:

121

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

p2 = p (A)= p (H1 ) p (A H1 )+ p (H2 ) p (A H2 )+ p (H3 ) p A H3 = = 0,65 0,0025 +0, 2 0,006 +0,15 0,007 = 0,0038.

Ответ. Вероятность брака в наугад взятом изделии p2=0,0038.

Задача 3. Отпущенное со склада изделие оказалось бракованным. Каковы вероятности p3' , p3'' , p3''' того, что оно изготовлено на первой, второй,

третьей линиях соответственно?

Решение. Вероятность того, что изделие изготовлено на I линии, если известно, что оно бракованное, есть условная вероятность p3' = p (H1 A).

Аналогично p3'' = p (H2 A), p3''' = p H3 A . H1, H2 , H3 - полная группа несовместных гипотез. Значит, для решения задачи применима формула Байеса.

p' = p

(

p (H1 ) p (A H1 )

( H1 )

( H2 )

p (H1 ) p A

+ p (H2 ) p A

+ p (H3 ) p A

p (H1 ) p (A H1 )

0,65 0,0025

= 0, 42.

p (A)

0,0038

p''

= p H2

p (H2 ) p (A H2 )

= 0, 2 0,006 = 0,31.

(

p (A)

0,0038

p (H3 ) p

'''

0,15 0,007

= p

= 0, 27.

p (A)

0,0038

Ответ. Вероятность того, что бракованная деталь изготовлена на I линии p3' = 0, 42, на II линии p3'' = 0,31, на III линии p3''' = 0, 27.

Задача 4. Со склада отобрано произвольно 7 изделий. Какова вероятность p4 того, что среди них будет не менее пяти изделий, изготовленных на второй линии?

Решение. Обозначим через k число изделий, изготовленных на II линии из числа отобранных n = 7. Тогда p4 есть вероятность неравенства k ≥ 5 из 7, т.е. p4 = p7 (k ≥ 5)= p7 (5)+ p7 (6)+ p7 (7).

Эти вероятности соответствуют схеме последовательных испытаний при n = 7, p = p (H2 )= 0,3;q =1− p =1−0,3 = 0,7 и формуле Бернулли:

pn (k )= Cnk pk qn−k .

p4 = p7 (5)+ p7 (6)+ p7 (7)= C75 p5q2 +C76 p6q +C77 p7q0 =

= 5!2!7! 0,35 0,72 + 6!1!7! 0,36 0,7 + 7!0!7! 0,37 0,70 = 0,03.

110

190 ≤ k ≤ 215,

p6 = p1000 (190 ≤ k ≤ 215).

Ответ. Искомая вероятность p4 = 0,03.

Задача 5. Какова вероятность p5 того, что в партии из 150 изделий, отпущенных со склада, ровно 35 изготовлены на II линии?

Решение. В данном случае имеет место схема последовательных испытаний p5 = p150 (35) при условии:

n =150, k = 35, p = p (H2 )= 0, 2, q =1− p = 0,8, npq =150 0, 2 0,8 = 24 15.

При этих условиях формула Бернулли неэффективна. Вместо нее применяют локальную формулу Муавра-Лапласа:

	ϕ (t )		1		t2
pn (k )=	ϕ (t )	, где ϕ (t )=	1	e−	2 ,t = k −np
pn (k )=	npq	, где ϕ (t )=	2π	e−	2 ,t = k −np
	npq		2π			npq
Вычисляем: npq =150 0, 2 0.8 = 24;t =						35 −150 0, 2	=1,02.
						24

Функция ϕ (t )-четная, т. е. ϕ (t )=ϕ (−t ).

По таблице 1 приложения определяем ϕ (1,02)= 0, 2371. p5 = p150 (35)= ϕnpq(t ) = 0, 237124 = 0,048.

Ответ: искомая вероятность p5 = 0,048.

Задача 6. Какова вероятность p6 того, что в партии из 1000 изделий,

отпущенных со склада, количество изделий, изготовленных на второй линии, находится в пределах от 190 до 215?

Решение. Если количество изделий, изготовленных на второй линии, равно k и то

Здесь применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа:

−np

k −np

−t2

pn (k1

≤ k ≤ k2 )= Φ

−Φ

где Φ(x)=

∫

2 dt

npq

2π

В нашем случае :

n=1000, k1 =190, k2 = 215, p = p (H2 )= 0, 2, q =1− p = 0,8;np =1000 0, 2 = 200; npq = 1000 0, 2 0,8 =12,6.

k1 −np	=	190 −200	= −0,79; k2 −np	=	215 −	200	=1,19.
npq		12,6	npq		12,	6

По таблице 2 приложения определяем значение функции Φ(x).

Φ(−0,79)= −0, 2852;Φ(1,19)= 0,3830.

p6 = Φ(1,19)−Φ(−0,79)= 0,3830 +0, 2852 = 0,6682.

Ответ. Вероятность p6 = 0,6682.

111

Задача 7. Какова вероятность p7 того, что в партии из 1000 изделий число бракованных не превзойдет 3 ?

Решение. Вероятность брака в каждом из изделий, находящихся на складе, равна p=p2=0,0038 (см. задачу 2). В соответствии со схемой последовательных испытаний p7=p1000(k≤3).

Событие k≤3 –число бракованных изделий не превзойдет 3 –является событием, когда бракованных изделий нет совсем k=0 ,или только одно k=1 ,или два k=2 ,или три k=3, т.е. событие k≤3 состоит из суммы несовместных событий k=0, k=1, k=2, k=3.

Поэтому p7 = p1000 (k ≤ 3)= p1000 (0)+ p1000 (1)+ p1000 (2)+ p1000 (3).

При n=1000, p=0,0038, np=3,8<10 применяем формулу Пуассона: pn (k )= λkk! e−λ , где λ=np.

Эти вероятности можно определить в приложении по таблице 4 значений функции Пуассона при λ=3,8.

p1000 (0)= 0,6844; p1000 (1)= 0, 2589; p1000 (2)= 0,0495; p1000 (3)= 0,0064.

p7 = 0,6844 +0, 2589 +0,0495 +0,0064 = 0,9992.

Ответ: с вероятностью p7=0,9992 в партии из тысячи деталей будет не более трех бракованных.

Продолжение условия. Из изделий, имеющихся на складе, формируются две выборки по следующему правилу: сначала произвольно отбираются изделия по одному до тех пор, пока не появится изделие, изготовленное на первой линии или количество отобранных деталей не достигнет четырех. Затем таким же образом формируется вторая выборка, но вместо изделий первой линии фигурируют изделия второй линии. Обозначим через X,Y,Z случайные величины, равные количеству изделий в первой и во второй выборках и суммарное количество в обеих.

Задача 8. Построить ряды распределения случайных величин X,Y,Z. Решение 8.1. Построим ряд распределения случайной величины X.

По условию, X принимает значение x1=1, если первая отобранная деталь изготовлена на I линии. СВ X принимает значение x2=2, если при последовательном отборе деталей первая деталь изготовлена не на I линии, а вторая изготовлена на I линии. СВ X равна x3=3, если последовательно первая и вторая отобранные детали изготовлены не на I линии, а третья изготовлена на I линии. Наконец, x4=4, когда число отобранных деталей достигнет четырех.

112

Если x1=1, то p1 = p (H1 )= 0,65.

Если x2=2, то p2 = p (

)p (H1 )= (1− p (H1 ))p (H1 )= (1−0,65) 0,65 = 0, 227.

Если x3=3, то

p3 = p (

)p (

)p (H1 )= (1− p (H1 ))2 p (H1 )= (1−0,65)2 0,65 = 0,079.

События x=1, x=2, x=3, x=4

образуют полную группу событий.

Поэтому p1 + p2 + p3 + p4 =1. Тогда

=1−(p1 + p2 + p3 )=1−(0,65 +0, 227 +0,079)= 0,044.

Ответ: случайная величина X имеет ряд распределения:

0,65

0,227

0,079

0,044

Решение 8.2. Для случайной величины Y вычисления аналогичны, только событие H1 меняется на событие H2.

y1 =1; p1 = p (H2 )= 0, 2.

= 2; p2 = p (

)p (H2 )= (1−0, 2) 0, 2 = 0,16.

y3 = 3; p3 = p (

)p (

)p (H2 )= (1−0, 2)2 0, 2 = 0,128.

= 4; p4 =1−(p1 + p2 + p3 )=1−(0, 2 +0,16 +0,128)= 0,512.

Ответ: случайная величина Y имеет ряд распределения:

0,2

0,16

0,128

0,512

Решение 8.3. Построим ряд распределения случайной величины Z=X+Y. Случайная величина Z=X+Y принимает все целые значения от z=1+1=2 до z=4+4=8,т.е. z1 = 2, z2 = 3, z3 = 4, z4 = 5, z5 = 6, z6 = 7, z7 =8.

Событие z1=2 наступает, когда и x=1 и y=1. Значит :

p1 = p (z1 = 2)= p (x =1) p (y =1)= 0,65 0, 2 = 0,13.

Событие z2=3 наступает, когда и x=1 и y=2, или x=2 и y=1. Значит:

p2 = p (z2 = 3)= p (x =1) p (y = 2)+ p (x = 2) p (y =1)= 0,65 0,16 +0, 227 0, 2 = 0,1494.

Событие z3=4 наступает, когда и x=1 и y=3, или и x=2 и y=2, или и x=3 и y=1. Значит:

p3 = p (z3 = 4)= p (x =1) p (y = 3)+ p (x = 2) p (y = 2)+ p (x = 3) p (y =1)= = 0,65 0,128 +0, 227 0,16 +0,079 0, 2 = 0,135.

113

Событие z4=5 наступает, когда и x=1 и y=4, или и x=2 и y=3, или и x=3 и y=2, или и x=4 и y=1. Значит:

p4 = p (z4 = 5) = p (x =1) p (y = 4)+ p (x = 2) p (y = 3)+ p (x = 3) p (y = 2)+

+p (x = 4) p (y =1)= 0,65 0,512 +0, 227 0,128 +0,079 0,16 +0,044 0, 2 = 0,383.

Событие z5=6 наступает, когда и x=2 и y=4, или x=3 и y=3, или x=4 и

y=2.

Значит:

p5 = p (z5 = 6)= p (x = 2) p (y = 4)+ p (x = 3) p (y = 3)+ p (x = 4) p (y = 2)= = 0, 227 0,512 +0,079 0,128 +0,044 0,16 = 0,133.

Событие z6=7 наступает, когда и x=3 и y=4, или и x=4 и y=3. Значит:

p6 = p (z6 = 7)= p (x = 3) p (y = 4)+ p (x = 4) p (y = 3)= 0,079 0,512 +0,044 0,128 = 0,046.

Событие z7=8 наступает, когда и x=4 и y=4.
Значит: p7	= p (z7 =8)= p (x = 4) p (y = 4)= 0,044 0,512 = 0,023.
	Ответ: случайная величина Z имеет ряд распределения:

zi	2	3	4	5	6	7	8
pi	0,13	0,149	0,135	0,383	0,133	0,046	0,023

Задача 9. Построить график функции распределения случайной величины Z.

Решение. Функция распределения F(z) есть вероятность того, что данная СВ имеет значение меньше, чем z : F(z)= p(Z z).

Если Z< z1 ,то F(z1 )= p(Z z1 )= 0 ,т.к. событие Z< z1 невозможное (СВ Z не имеет значений < z1).

Если Z< zi, то F(zi )= p(Z zi )= p(z1 )+ p(z2 )+ + p(zi−1 ), т.к. событие Z<zi является событием или z1, или z2, или … zi-1, т.е. суммой несовместных событий.

Функция распределения F(zn) в точке zn, где zn –максимально возможное значение СВ Z ,согласно определения является:

F (zn )= p (Z zn )= p (z1 )+ p (z2 )+ + p (zn−1 ).

Обратим внимание на то, что не смотря на то, что функция распределения определяется в точке zn (последней точке значений СВ), само значение СВ Z=zn и вероятность появления этого значения здесь не учитываются. Значит, должна существовать еще одна точка функции распределения, которая учитывала данное обстоятельство.

114

Не трудно видеть, что в этой предполагаемой точке значение

функции распределения	становится	максимальным и равным единице:
p (z1 )+ p (z2 )+ + p (zn )=1	(свойство	ряда распределения). Согласно

определения обозначить функцию распределения в этом случае можно, как :

F(zn+1 )= p(Z < zn+1 )= p(z1 )+ p(z2 )+ + p(zn )=1.

Но значение СВ Z, равное zn+1 равнозначно значению zn+2 и т.д., и значению z=∞, т.к. эти значения не существуют. И тогда данный случай оформляют как:

F(∞)= p(Z < ∞)= p(z1 )+ p(z2 )+ + p(zn )=1.

Используя ряд распределения СВ Z , получаем следующие значения функции распределения:

						0; Z < 2;
						0,13; Z < 3;
						0,13; Z < 3;
					0,13 + 0,149 = 0,279; Z < 4;
					0,13 + 0,149 = 0,279; Z < 4;
					0,13 + 0,149 + 0,135 = 0,414; Z < 5;
					0,13 + 0,149 + 0,135 = 0,414; Z < 5;
	F(z)=			0,13 + 0,149 + 0,135 + 0,383 = 0,797; Z < 6;
			0,13 + 0,149 + 0,135 + 0,383 + 0,133 = 0,93; Z < 7;

		0,13 + 0.149 + 0,135 + 0.383 + 0.133 + 0,046 = 0,976; Z < 8;
						1; Z < ∞.
						1; Z < ∞.



	Вычисления сводим в таблицу.

z	2		3		4	5	6	7	8	∞

F(z)	0		0,13		0,279	0,414	0,797	0,93	0,976	1

Ответ: функция F(z) распределения СВ Z имеет следующий график:

115

F(z)

0,93

0,8

0,7

0,6

0,5

0,414

0,3

0,2

0,1

										z
0
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Задача 10. Вычислить математическое ожидание M [Z ], дисперсию D[Z ], и среднеквадратическое отклонение σ z случайной величины Z.

			n	n
Решение. По определению: M [Z ]= ∑zi pi ; D[Z ]= ∑(zi − M [Z ])2 pi =
			i=1	i=1
	n	[Z ];σ z = D[Z ].
	= ∑zi2 pi − M 2	[Z ];σ z = D[Z ].
	i=1
Промежуточные вычисления сведем в таблицу.

zi	pi		zipi	zi2	zi2 pi

2	0,13		0,26	4	0,52

3	0,149		0,447	9	1,341

4	0,135		0,54	16	2,16

5	0,383		1,915	25	9,575

6	0,133		0,798	36	4,788

7	0,046		0,322	49	2,254

8	0,023		0,184	64	1,472

∑	1		4,466		22,11

M [Z ]= 4,466; D[Z ]= 22,11− 4,4662			= 2,165;σ z =	2,165 =1,47.

116

Ответ. СВ Z имеет следующие числовые характеристики:

M [Z ] = 4.466; D[Z ] = 2,165;σz =1, 47.

Задача 11. Проверить справедливость неравенства Чебышева для СВ Z при значении β =1,5.

Решение. Неравенство Чебышева по второй форме имеет вид: p(Z − M [Z ] ≤ β)≥1− Dβ[Z2 ].

Для СВ Z имеем:

p(Z − 4,466 ≤1,5)≥1− 21,,16552 = 0,0377 .

Неравенство Z − 4,466 ≤1,5 эквивалентно неравенству

−1,5 ≤ Z − 4,466 ≤1,5 или неравенству 4,466 −1,5 ≤ Z ≤ 4,466 +1,5 , т.е.

2,966 ≤ Z ≤ 5,966.

В диапазон последнего неравенства попадают следующие значения СВ Z : z2 = 3, z3 = 4, z4 = 5 .

Вероятность попадания СВ Z в диапазон последнего неравенства есть сумма вероятностей перечисленных значений Z.

p(Z − 4,466 ≤1,5)= p(2,966 ≤ Z ≤ 5,966)= p(z2 )+ p(z3 )+ p(z4 )= = 0,149 + 0,135 + 0,383 = 0,667.

Ответ. Полученное значение левой части неравенства Чебышева больше значения правой части: 0,667>0,0377. Неравенство выполняется.

6.2.2.Задание 2

Непрерывная случайная	величина					X задана	плотностью
распределения f (x).


0; x < 0,
			x		π
f (x)= a cos				;0 ≤ x ≤		,
f (x)= a cos		2		;0 ≤ x ≤	2	,
		2			2
		π		.
0; x >		2		.
		2
Задача 1. Найти значение	a, при котором функция						f (x) является
плотностью распределения?

Решение. Необходимо использовать свойство плотности распределения

∞∫ f (x)dx =1.

−∞

117

∞∫ f (x)dx = ∫0

f (x)dx + ∫2

f (x)dx + ∞∫ f (x)dx = 0 + ∫2

a cos

dx +0 =

−∞

= 2a sin

02 = 2a sin

−sin 0

= 2a

=1.

Откуда

a =

Ответ. Функция f (x) является плотностью распределения при

а = 22 .

Задача 2. Найти функцию F(x)

распределения случайной величины X.

Решение. Функция F(x) распределения и плотность распределения

связаны соотношением: F (x)= ∫x

f (x)dx .

−∞

На интервале

−∞ < x ≤ 0, F (x)= ∫x

0dx = 0.

−∞

На интервале

0 ≤ x ≤

π ,

F (x)= ∫

f (x)dx = ∫ 0dx + ∫

cos

dx =

2sin

2 sin

−∞

На интервале

π ≤ x < ∞,

π 2

F (x)= ∫

f (x)dx = ∫ 0dx +

∫

cos

+ ∫ 0dx =

−∞

π 2

2sin

= 2

=1.

Ответ.



0, x < 0,
			x				π
F (x)=	2 sin				,0	≤ x ≤		,
F (x)=	2 sin		2		,0	≤ x ≤	2	,
		π	2				2
		π		.
1, x >		2		.
		2

118

Задача 3. Построить графики F(x) и f(x).

Решение.


									0, x < 0,
0, x < 0,										2			x
			x				π			2			x			π
F (x)=	2 sin				,0	≤ x ≤		,	f (x)=		cos			,0	≤ x ≤		,
F (x)=	2 sin		2		,0	≤ x ≤	2	,	f (x)=	2	cos		2	,0	≤ x ≤	2	,
		π	2				2			2		π	2			2
		π		.								π	.
1, x >		2		.					0, x >			2	.
		2										2

F(x)

f(x)

0,7

0,5

π / 2

				Задача				4.		Найти					числовые					характеристики СВ											X:			математическое
ожидание							M [X ], дисперсию D[X ],													среднеквадратическое отклонение σx .
Решение.
				∞						0						π 2						∞					π 2	2				x
M [X ]= ∫ x f								(x)dx = ∫ x 0dx + ∫ x f											(x)dx + ∫ x 0dx =								∫ x	2	cos			x	dx =
M [X ]= ∫ x f								(x)dx = ∫ x 0dx + ∫ x f											(x)dx + ∫ x 0dx =								∫ x		cos				dx =
				−∞						−∞						0						π 2					0	2			2
	u = x, du = dx,														2				x	π	2	π 2			x			2			π		2			x	π 2
	u = x, du = dx,																					π 2
=																							∫
						x					x		=			2x sin						−2		sin		dx =				2					+4cos			=
													=			2x sin						−2		sin		dx =				2					+4cos			=
															2				2	0					2			2			2		2			2	0
		dv = cos				2	dx,v = 2sin				2				2				2	0			0		2			2			2		2			2	0
						2					2
2				2				2				π					)
			π		+4				−1 =					+2 1− 2				≈ 0,74.
2			π	2	+4			2	−1 =			2		+2 1− 2				≈ 0,74.
2				2				2				2			(

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.11.20183.81 Mб155Подвижной состав. Исправленное.doc
#
12.11.2019176.64 Кб7пособие для поведния семинрских знятий.doc
#
15.02.201530.97 Mб31пособие проводнику.docx
#
15.02.201523.98 Кб22почтовобагажный вагон.docx
#
15.02.20153.83 Mб101практикум математика часть 2.pdf
#
15.02.20154.76 Mб121практикум по математике часть 3.pdf
#
15.02.2015328.84 Кб47Практич_МТТ_с_приложением_МТТ.pdf
#
15.02.2015439.81 Кб34Практическое занятие.doc
#
18.09.201934.46 Кб4Предпринимательство.docx
#
15.02.201530.21 Кб12прием док-в в общ-е (1).doc
#
15.02.201538.66 Кб14Приказ 1Ц.docx