6.Теория вероятностей

6.1.Краткие сведения из теории

6.1.1. Основные положения

Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности в случайных событиях (явлениях),т.е. таких событиях, которые могут произойти или не произойти в неизменных условиях. Теория вероятностей исследует не все случайные события, а только те, которые обладают двумя признаками: массовостью и устойчивостью. Эти признаки неразрывно связаны друг с другом. Массовость предполагает наличие большого количества однородных опытов. Устойчивость проявляется в стабильности частоты (частости) случайного события в этом большом количестве однородных опытов.

Устанавливаемые теорией вероятностей закономерности не обязательно отражают причинно-следственные связи процессов и явлений. Поэтому теоретико-вероятностными выводами нельзя подменять исследования конкретных наук.

Из достаточно большого количества понятий и определений теории вероятностей, которые должен изучить студент по рекомендованным учебникам и учебным пособиям, остановимся на важнейшем – вероятность случайного события – как мера возможности наступления события.

Если A –случайное событие, то p(A) –вероятность случайного события. Для достоверного события p(A)=1, для невозможного события p(A)=0. Это значит 0≤ p(A)≤1.

Общей формулы определения вероятности случайного события нет, но в зависимости от условий существует три способа ее определения.

Способ 1 –классическая формула определения вероятности

Формула (6.1) применяется для узкого круга задач, когда количество всех возможных попарно несовместных, равновозможных событий ограничено (их можно посчитать). Формулу применяют «априори»до опыта.

В формуле (6.1):

n-общее число всех случаев (исходов),

m-число случаев(исходов),благоприятных событию A. Например, в партии из n=50 изделий имеется m=7 бракованных.

Вероятность случайно выбрать бракованное изделие p(A)= 507 .

Применение формулы (6.1) достаточно часто связано с использованием комбинаторики-раздела дискретной математики, изучающего различные комбинации групп элементов конечного множества.

Перечислим основные типы комбинаций.

Перестановки Pm –всевозможные упорядоченные множества, содержащие m различных элементов. Иными словами – это всевозможные

100

группы из m элементов, отличающиеся друг от друга порядком элементов (элементы «переставляются»).

Сочетания Cmn- неупорядоченные подмножества, содержащие по n элементов, составленные из m элементов основного множества. Иными словами – это группы, содержащие n элементов из m элементов основного множества, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Количество сочетаний равно:

Способ 2-стстистический. Вероятность определяется «апостериори» (после опыта), как среднее значение частоты события за большое количество опытов.

Способ 3-геометрический, являющийся геометрической интерпретацией способа 1.

6.1.2. Алгебра случайных событий и их вероятностей

Событие C=A+B называется суммой событий A и B , если оно заключается в том, что происходит или событие A ,или событие B , или оба вместе.

Событие D=AB называется произведением событий A и B ,если оно заключается в том, что происходит и событие A и событие B одновременно.

Алгебра вероятностей случайных событий: P(A+B)=P(A)+P(B)-для несовместных событий;

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)-в общем случае;

P(AB)=P(A)P(B)-для независимых событий; P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)-для зависимых событий, где условная

вероятность P(B/A)-есть вероятность события B при условии, что A произошло; P(A/B)-есть вероятность события A при условии, что B произошло.

P(A)=1-P( A), или p=1-q,где P(A)=p-вероятность события A, P( A)=q-

вероятность противоположного события A .

Если событие A происходит при условии, что имеет место одно из попарнонесовместных событий H1, H2,…,Hn, называемых гипотезами и образующих полную группу событий ( одно, любое из событий обязательно

101

произойдет), то вероятность события A определяется по формуле полной вероятности:

P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+··+P(Hn)P(A/Hn)= ∑n P(Hi )P(AHi )(6.5)

i =1

Если в перечисленных условиях событие A произошло, то по формуле Байеса можно уточнить вероятность той или иной гипотезы:

P(Hi A)= nP(Hi )P(AHi ) = P(Hi )P(AHi ) (6.6.) ∑P(Hi )P(AHi )

i =1

6.1.3. Последовательные испытания

Если при проведении n независимых испытаний событие A может появиться с одной и той же вероятностью p и не появиться с вероятностью q , то вероятность того , что событие A из n испытаний появится ровно k раз определяется по формуле Бернулли:

формула Муавра-Лапласа (при больших n формулу Бернулли использовать практически невозможно).

Пуассона ( формула малых вероятностей):

102

Функция λk e−λ табулирована (см. приложение ,табл.4). k!

6.1.4. Случайные величины и их законы распределения

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение заранее не известное. Обозначают случайные величины: X,Y,Z ,V и др. Случайные величины бывают двух видов.

Дискретная случайная величина (ДСВ)- величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения. Например, число выпавших очков игрального кубика.

Непрерывная случайная величина (НСВ)- величина, значения которой нельзя отделить друг от друга. Например, время наработки на отказ какоголибо устройства.

Случайные величины (СВ) характеризуются законом распределения, устанавливающим связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может задаваться формулами, таблицами и графиками.

Существует три вида закона распределения СВ.

Для ДСВряд распределения и функция распределения.

Для НСВфункция распределения и плотность распределения.

Ряд распределения ДСВ- таблица, в которой перечислены все возможные значения ДСВ и соответствующие им вероятности. Свойство ряда распределениясумма всех вероятностей равна единице.

Функция распределения ДСВ и НСВ –вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем x. Обозначается –F(x).

F(x)=P{X<x}.

Плотность распределения НСВ – есть производная функции

Отметим два важных свойства плотности распределения.

2.Вероятность попадания НСВ X в интервал между a и b равна:

b

P{a ≤ X ≤b} = ∫ f (x)dx

a

Остальные свойства всех видов закона распределения СВ нужно усвоить по рекомендованной литературе.

103

На практике для ДСВ в качестве закона распределения пользуются рядом распределения (соответствующие законы приведены ниже). Переход от ряда распределения к функции распределения рассмотрен также ниже. Для НСВ в качестве закона распределения пользуются плотностью распределения, а переход к функции распределения можно произвести по формуле:

F(x)= ∫x f (x)dx .

−∞

6.1.5. Числовые характеристики СВ

Законы распределения СВ полностью характеризуют их, но на практике они громоздки и очень часто информативно избыточны. Нужно иметь существенную, но краткую информацию об СВ. Для этого служат числовые характеристики СВ.

Из достаточно большого разнообразия числовых характеристик, которые изложены в литературе, отметим только три.

Математическое ожидание (МОЖ) есть неслучайная,

детерминированная величина (число), определяемая по формулам:

Для ДСВ: mx = M [X ]= ∑n xi pi ,где

i=1

xi-значения СВ,

pi –соответствующие этим значениям вероятности, n-количество СВ.

Для НСВ: mx = M [X ]= ∞∫xf (x)dx .

−∞

МОЖ есть вычисленное среднее значение СВ, вокруг которого разбросаны сами значения СВ. Единицы измерения МОЖ совпадают с единицами СВ.

Свойства МОЖ:

1.Если C –const, то M [C]= C , в частности M [M [X ]]= M [X ].

2.M [CX ]=CM [X ].

3.M [X + C]= M [X ]+ C , в частности M [x − M [X ]]= 0.

4.M [X ±Y ]= M [X ]± M [Y ].

5.M [XY ]= M [X ]M [Y ], если X,Y- независимые СВ.

Дисперсия СВ –есть детерминированная величина, равная математическому ожиданию квадрата случайного отклонения СВ от его МОЖ. и определяемая по формуле:

D[X ]= M [(x − M [X ])2 ], или D[X ]= M [X 2 ]− M 2 [X ].

104

Для НСВ: D[X ]= ∞∫(x − M [X ])2 f (x)dx , или D[X ]= ∞∫x2 f (x)dx − M 2 [X ]

Дисперсия СВ определяет разброс (рассеяние) значений СВ от МОЖ в среднем.

Свойства дисперсии СВ.

1.Если C –const , тоD[C]= 0 .

2.D[CX ]=C 2 D[X ].

3.D[X + C]= D[X ].

4.D[X +Y ]= D[X ]+ D[Y ], если X,Y –независимые СВ.

Единицы измерения дисперсии СВ являются квадраты единиц измерения самой СВ (кг2,А2 и т.д.). Этот недостаток устраняет следующая числовая характеристика СВ.

Среднеквадратическое отклонение СВ (СКО)-детерминированная величина, определяемая по формуле: σx = D[X ].

Свойства СКО: 1.σx = 0 .

2.σcx = C σx .

3.σx+y = σx2 +σ y2 .

4.σx = σnx -среднеквадратическое отклонение среднеарифметического ( x )

в n раз меньше среднеквадратического отклонения СВ.

6.1.6.Частные законы распределения СВ

Взависимости от различных условий существует достаточно большое количество законов распределения СВ. Остановимся только на пяти из них (два для ДСВ и три для НСВ).

Если при n последовательных испытаний в условиях формулы Бернулли случайной величиной X является число наступления события A , то она распределена по биномиальному закону и имеет ряд распределения:

105

Ньютона, поэтому закон называется биномиальным.

Числовые характеристики СВ, распределенной по биномиальному закону:

M [X ]= np, D[X ]= npq,σx = npq .

Если при n последовательных испытаний в условиях формулы Пуассона случайной величиной X является число наступления события A, то она распределена по закону Пуассона и имеет ряд распределения:

Числовые характеристики СВ, распределенной по закону Пуассона:

M [X ] = D[X ] = λ = np;σx = λ = np.

Распределением Пуассона описывается простейший поток случайных однородных событий.

Непрерывная СВ имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность вероятности этой СВ равна:

Такое распределение имеют ошибки измерения стрелочным прибором, когда за результат измерения берется ближайшее целое деление шкалы. Таким же образом распределены ошибки округления данных при расчете на калькуляторах и компьютерах.

Непрерывная СВ имеет показательное распределение, если

106

Показательное распределение имеет большую роль в теории Марковских процессов, теории массового обслуживания и теории надежности – существенных разделах прикладной теории вероятности.

Непрерывная СВ с математическим ожиданием mx , среднеквадратическим отклонением σ имеет нормальное распределение, если

вероятностью p = 0,0027 .

СВ распределена по нормальному закону, если причиной «случайности» является результирующее воздействие большого количества различных, равноценных, случайных, независимых факторов, каждый из которых незначительно влияет на результат воздействия.

Примеры нормально распределенных СВ : ошибки измерения, ошибки артиллерийской и ракетной стрельбы, ошибки вывода космического аппарата в заданную точку пространства, «дробовой» эффект, «тепловой» шум и др.

6.1.7. Закон больших чисел

Под «законом» больших чисел понимают ряд математических теорем , доказывающих устойчивость массовых случайных явлений, относящихся к

107

стремлению частоты случайного события к вероятности этого события, среднего арифметического значения к математическому ожиданию СВ, закона распределения суммы независимых СВ, имеющих одинаковые распределения, матожидания и дисперсии, к нормальному закону.

Доказательство этих теорем опирается на неравенство Чебышева, которое является для них леммой.

Первая форма неравенства Чебышева:

p ( X −mx ≥α)≤ Dα[X2 ].

Вероятность отклонения СВ от ее математического ожидания превзойдет по абсолютной величине положительное число ά не более отношения дисперсии СВ к квадрату ά.

Это форма вероятности больших отклонений.

Для оценки вероятности малых отклонений применяется вторая форма неравенства Чебышева:

p ( X −mx ≤ β )≤1− Dβ[X2 ]; β >0.

6.2.Решение типовых заданий

6.2.1. Задание 1

Три линии выпускают одно и то же изделие так, что на первой линии выпускается 65% общего объема выпуска, на второй – 20%, на третьей – 15%. Вероятность брака в изделии составляет: 0,0025 –для первой линии, 0,006 –для второй, 0,007 –для третьей. Все изделия поступают на склад готовой продукции.

Далее следуют 11 задач, каждое из которых будем решать отдельно. Каждый ответ нужно прокомментировать.

Предварительное замечание.

Условие задачи можно сформулировать следующим образом. Имеются следующие гипотезы случайного события: H1-изделие изготовлено на I линии;

H2- изделие изготовлено на II линии;

H3- изделие изготовлено на III линии. Тогда вероятности гипотез равны:

p (H1 )= 0,65; p (H2 )= 0, 2; p (H3 )= 0,15.

108