- •Дифференциальные уравнения.
- •§ 1. Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.
- •§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.
- •§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
- •§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
- •§ 6. Обобщенное однородное уравнение.
- •§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •§ 8. Уравнение Бернулли.
- •§ 9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
- •Доказательство.
- •§ 10. Интегрирующий множитель.
§ 8. Уравнение Бернулли.
Определение.
Дифференциальное уравнение вида , где, называется уравнением Бернулли.
Предполагая, что , разделим обе части уравнения Бернулли на. В результате получим:(8.1)
Введем новую функцию . Тогда. Домножим уравнение (8.1) наи перейдем в нем к функцииz(x): , т.е. для функцииz(x) получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методами, разобранными в предыдущем параграфе. Подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли, который легко разрешается относительноy. При добавляется решениеy(x)=0. Уравнение Бернулли можно также решать, не делая перехода к линейному уравнению путем подстановки , а применяя метод Бернулли, подробно разобранный в§ 7. Рассмотрим применение этого способа для решения уравнения Бернулли на конкретном примере.
Пример. Найти общее решение уравнения: (8.2)
Решение.
Уравнение (8.2) является уравнением Бернулли, причем .
Будем искать решение уравнения в виде .
Тогда .
В левой части последнего уравнения сгруппируем второе и третье слагаемые, которые содержат функцию u(x), и потребуем, чтобы . Откуда. Тогда для функцииu(x) будем иметь следующее уравнение:
или ,
которое является уравнением с разделяющимися переменными для функции u(x). Решим его ,
,
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид: ,y(x)=0.
§ 9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
Определение. Если в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (9.1) левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то оно называется уравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде du(x,y)=0, следовательно, его общий интеграл есть u(x,y)=c.
Например, уравнение xdy+ydx=0 есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде d(xy)=0. Общим интегралом будет xy=c.
Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того, чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество (9.2).
Доказательство.
Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2). Покажем, что может быть найдена такая функция u(x,y), что и.
Действительно, поскольку ,то
(9.3) , где - произвольная дифференцируемая функция. Продифференцируем (9.3) поy:
. Но , следовательно,.
Положим и тогда.
Итак, построена функция , для которой, а.
Рассмотрим пример.
Пример. Найти общий интеграл уравнения: .
Решение. Здесь
Тогда . Следовательно, заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, т.е. существует такая функцияu(x,y), частные производные которой соответственно по x и y равны M(x,y) и N(x,y):
. Интегрируем первое из двух соотношений по x:
, .
Теперь продифференцируем u(x,y) по y и приравняем полученное в результате выражение выписанной выше частной производной :
.
Откуда и. Следовательно, общим интегралом заданного уравнения является:.