- •ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ И ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •Требования к оформлению лабораторных работ
- •1. ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ И ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •13.1 План разработки алгоритмов и программ
- •Таблица 1.1 Результат ручной прокрутки после первого этапа
- •Таблица 1.2 Результат ручной прокрутки после первого этапа
- •Таблица 1.3 Итог выполнения ручной прокрутки
- •13.2 Перевод алгоритма в Паскаль-программу
- •13.3 Использование готовых алгоритмов при решении задач
- •Подсчет элементов, обладающих заданным свойством
- •Поиск максимального и минимального элементов
- •Поиск элементов, обладающих заданным свойством
- •Задача 1. Подсчет ненулевых элементов
- •Задача 2. Подсчет элементов, абсолютная величина которых больше 7
- •Задача 3. Поиск элемента равного 7
- •Задача 5. Найти количество элементов массива больших среднего арифметического этих элементов
- •Задача 6. Поиск максимального элемента и подсчет частоты его появления в массиве
- •Задача 7. Поиск нулевого элемента
- •Задача 8. Поиск отрицательного числа с конца массива
- •13.4 Стандартная обработка двумерных массивов
- •Двумерный массив и его части
- •Индексы элементов двумерного массива
- •Индексы строки и столбца двумерного массива
- •Индексы диагоналей двумерного массива
- •Перенос простейших алгоритмов на двумерные массивы
- •13.5 Отладка и тестирование программ
- •2. СОЗДАНИЕ КОНСОЛЬНЫХ ПРИЛОЖЕНИЙ СРЕДСТВАМИ DELPHI 7.0
- •13.1 Создание консольного приложения средствами Delphi
- •13.2 Структура программы в Delphi
- •Таблица 2.1
- •13.3 Введение в типы данных Delphi
- •13.4 Венгерская нотация
- •13.5 Отладка и тестирование программ средствами среды Delphi 7
- •3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 «ЛИНЕЙНЫЕ ПРОГРАММЫ»
- •13.1 Пояснения и примеры к лабораторной работе
- •13.2 Задания к лабораторной работе №1:
- •4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 «АЛГОРИТМЫ С ВЕТВЛЕНИЯМИ»
- •13.3 Пояснения и примеры к лабораторной работе
- •13.2 Реализация алгоритмов с ветвлениями средствами C#
- •13.3 Задания к лабораторной работе №2
- •5. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 «ОПЕРАТОР ВЫБОРА»
- •13.1 Пояснения и примеры к лабораторной работе
- •13.2 Реализация оператора выбора в языке C#
- •13.3 Задания к лабораторной работе №3
- •6. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 «ЦИКЛИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ»
- •13.1 Основные разновидности циклов
- •Цикл с постусловием
- •Цикл с предусловием
- •Цикл с параметром
- •Программное прерывание выполнения циклов
- •13.2 Примеры решения задач с использованием операторов цикла
- •Проверка корректности введенных данных
- •Решение задач с использованием диапазонов чисел
- •Решение задач полным перебором
- •Пояснения к задачам 18, 23, 24, 25:
- •13.3 Задания к лабораторной работе №4
- •7. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 «РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ»
- •13.1 Примеры решения задач
- •Вычисление суммы n-первых членов ряда
- •Вычисление суммы n-первых членов последовательности, удовлетворяющих условию
- •Нахождение наименьшего номера члена последовательности, для которого выполняется некоторое условие
- •13.2 Задания к лабораторной работе №5
- •8. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 «ТАБУЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»
- •13.1 Пример решения задачи на табулирование функции
- •8.1.2 Организация перенаправления ввода-вывода средствами C#
- •13.2 Задания к лабораторной работе №6
- •9. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7 «ПОДПРОГРАММЫ»
- •13.1 Задания к лабораторной работе №7
- •13.2 Задания к лабораторной работе №8
- •13.1 Примеры и пояснения к лабораторной работе
- •13.2 Задания к лабораторной работе №9
- •Задания к лабораторной работе №10
- •13.1 Примеры работы со строками
- •Пример 13.2 Удалить из строки символ, указанный пользователем.
- •Пример 13.3 Удалить из строки лишних пробелов (пробелы в начале и в конце строки, между словами также должен быть один пробел).
- •Пример 13.4 Определить количество слов в заданном тексте.
- •13.2 Задания к лабораторной работе №11
- •13.1 Задания к лабораторной работе №12
- •13.1 Пояснения к работе
- •13.1 Задания к лабораторной работе №13
- •13.1 Пояснения к лабораторной работе №14
- •Формирование файла случайных чисел
- •Анализ файла случайных чисел
- •13.2 Задания к лабораторной работе №14
- •13.1 Примеры решения задач с использованием текстовых файлов
- •13.2 Задания к лабораторной работе №15
- •13.1 Задания к лабораторной работе №16
- •13.1 Задания к лабораторной работе №17
- •13.2 Задания к лабораторной работе №18
- •13.1 Задания к лабораторной работе №19
- •ПРИЛОЖЕНИЕ А
- •ПРИЛОЖЕНИЕ Б
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
7. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 «РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ»
Цель работы: Сформировать навыки по вычислению суммы n членов бесконечных рядов и использованию элементов приближенных вычислений средствами изучаемого языка программирования
13.1 Примеры решения задач
Вычисление суммы n-первых членов ряда
Пример 7.1 Дано целое число n=5. Вычислить значение суммы членов
бесконечного ряда S =1− |
1 |
|
+ |
1 |
|
−K+(−1) |
k+1 |
1 |
|
, где k=1..n. |
|
2! |
3! |
|
k! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Таблица 7.1 Система тестов |
Таблица 7.2 Исполнение алгоритма |
k |
Член ряда |
Сумма |
1 |
1.000000 |
1.000000 |
2 |
-0.500000 |
0.500000 |
3 |
0.166667 |
0.666667 |
4 |
-0.041667 |
0.625000 |
5 |
0.008333 |
0.633333 |
Листинг 7.1
шаг |
k |
u |
s |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
2 |
1.000000 |
1.000000 |
2 |
3 |
0.500000 |
0.500000 |
3 |
4 |
0.166667 |
0.666667 |
4 |
5 |
0.041667 |
0.625000 |
5 |
6 |
0.008333 |
0.633333 |
var
s,u:real; n,k,a,i:byte; f:longint; begin
//Задание начальных значений суммы, члена ряда и k s:=0; u:=1; n:=5;
for k:=1 to n do begin
//Определение знака члена бесконечного ряда if odd(k) then a:=1 else a:=-1;
//Вычисление факториала следующие 2 строки f:=1;
for i:=1 to k do f:=f*i;
u:=1/f; |
//Вычисление |
члена бесконечного ряда |
s:=s+a*u; |
//Накопление |
суммы |
end; |
//Вывод суммы |
|
writeln(s); |
end.
В данном примере выбор знака “+” или “-” происходит при помощи проверки на четность функцией Odd.
Существуют и другие варианты реализации смены знака. Например:
66
Листинг 7.2
for k:=1 to n do begin
f:=1;
for i:=1 to k do f:=f*i; u:=1/f;
s:=s+u*(2*(i mod 2)-1); //Накопление суммы end;
при нечетном i выражение 2*(i mod 2)-1 =2*1-1=1, при четном i выражение 2*(i mod 2)-1 =2*0-1= -1
Если есть желание поменять знак в зависимости от четности тогда:
2*((i+1) mod 2)
при нечетном i выражение 2*((i+1) mod 2)-1 =2*0-1=-1, при четном i выражение 2*((i+1) mod 2)-1 =2*1-1= 1.
Данный бесконечный ряд изменяется по определенному закону, поэтому для упрощения программирования, находим коэффициент, при домножении на который k-ый элемент становится k+1-вым. Находим отношение k-го элемента
к (k-1):
|
(−1)k |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
k! |
|
= − |
|
, тогда: |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
(−1)k−1 |
|
1 |
|
|
|
|
k |
|
||
(k −1)! |
|
|
|||||||||
Листинг 7.3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
begin |
|
u:=1; |
n:=5; |
|
|||||||
|
s:=0; |
|
|
||||||||
|
for k:=2 to n do |
|
|||||||||
|
begin |
|
|
|
|
//Накопление суммы |
|||||
|
s:=s+u; |
|
|
|
|
||||||
|
u:=u*(-1/k); |
//Вычисление следующего члена ряда |
|||||||||
|
end; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
writeln(s); //Вывод суммы end.
Вычисление суммы n-первых членов последовательности, удовлетворяющих условию
Для большинства задач связанных с приближенными вычислениями важно определить условие, по достижении которого решение считается найденным. Обычно рассматривается два варианта:
− n-ый член ряда стал по модулю меньше точности
67
− разница между текущим членом ряда и предыдущим стала по модулю меньше точности Так как практически все ряды являются убывающими, то точность в ре-
альных вычислениях принимается достаточно малой, так например, в Mathcad допуск сходимости TOL=10-3.
Пример 7.2 Вычислить значение суммы членов бесконечного ряда
S =1 − 21! + 31! −K+(−1)k +1 k1! , где k=1..n, с заданной точностью E=0.001,
т.е. вычисление суммы прекратить, когда k-тый член ряда станет по модулю меньше точности.
Таблица 7.3 Система тестов |
Таблица 7.4 Исполнение алгоритма |
k |
Член ряда |
Сумма |
1 |
1.000000 |
1.000000 |
2 |
-0.500000 |
0.500000 |
3 |
0.166667 |
0.666667 |
4 |
-0.041667 |
0.625000 |
5 |
0.008333 |
0.633333 |
6 |
-0.001389 |
0.631944 |
7 |
0.000198 |
0.632143 |
шаг |
k |
u |
s |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
2 |
0.500000 |
1.000000 |
2 |
3 |
0.166667 |
0.500000 |
3 |
4 |
0.041667 |
0.666667 |
4 |
5 |
0.008333 |
0.625000 |
5 |
6 |
0.001389 |
0.633333 |
6 |
7 |
0.000198 |
0.631944 |
Листинг 7.4 |
|
|
var |
n,k,a,i:byte; f:longint; |
|
s,u, e:real; |
||
begin |
k:=1; |
e:=0.001; |
s:=0; u:=1; |
||
while abs(u)>e do |
|
|
begin |
|
//Накопление суммы |
s:=s+u; |
|
|
inc(k); |
|
//Вычисление следующего члена ряда |
u:=u*(-1/k); |
end;
writeln(s); //Вывод суммы end.
Нахождение наименьшего номера члена последовательности, для которого выполняется некоторое условие
Пример 7.3 Найти наименьший номер члена последовательности A
68
1+ 21! + 31! +K+ n1!, для которого выполняется условие |A n — A n-1| < E.
Вывести на экран этот номер и все элементы аi, где i= 1, 2,..., n. E=0.01
Таблица 7.5 Система тестов Таблица 7.6 Исполнение алгоритма при e=0.01
Член ряда |
Разность |
a1=1.000000 |
|
a2=0.500000 |
0.500000 |
a3=0.166667 |
0.333333 |
a4=0.041667 |
0.125000 |
a5=0.008333 |
0.033333 |
a6=0.001389 |
0.006944 |
шаг |
i |
at |
ap |
Abs(at-ap) |
0 |
1 |
1.000000 |
|
|
1 |
2 |
0.500000 |
1.000000 |
0.500000 |
2 |
3 |
0.166667 |
0.500000 |
0.333333 |
3 |
4 |
0.041667 |
0.166667 |
0.125000 |
4 |
5 |
0.008333 |
0.041667 |
0.033333 |
5 |
6 |
0.001389 |
0.008333 |
0.006944 |
Таким образом, при е=0.01 ответ 6, т.к. |A6 - A5| = 0.006944 < e = 0.01
Листинг 7.5 var
at, ap, e :real; k,i,f:integer; begin
e:=0.01; at:=1; i:=1; while true do
begin
writeln('a',i,'=',at:0:6);//вывод в формате a2=0.500000
i:=i+1; |
|
f:=1; |
f:=f*k; |
for k:=1 to i do |
|
ap:=at; |
//Запоминаем (n-1)-й член в ap |
at:=1/f; |
//Вычисляем n-й член |
if abs(at-ap)<e then //вычисляем разность |A n — A n-1| begin
writeln('a',i,'=',at:0:6);
//вывод в формате |a6-a5|=0.006944 writeln('|a',i,'-a',i-1, '|=',abs(at-ap):0:6); writeln('n=',i);
break;
end;
end;
end.
13.2 Задания к лабораторной работе №5
Задание 5.1 Ряды
1.Дано натуральное число N. Вычислить
S =1 − |
1 |
+ |
1 |
− |
1 |
+... + (−1)n |
1 |
|
2 |
4 |
8 |
2n |
|||||
|
|
|
|
2.Дано натуральное число N. Вычислить:
69
S = |
1 |
|
+ |
1 |
+... + |
1 |
|
sin1 |
sin1+sin 2 |
sin1+sin 2 +... +sin N |
|||||
|
|
|
3.Дано число N. Вычислить произведение первых Y сомножителей
P = 23 54 76 ... 2N2N+1
4.Дано натуральное число N. Вычислить
cos1 |
|
cos1 |
+ cos 2 |
... |
cos1 + cos 2 +...cos N |
|
sin1 |
|
|
sin1 |
+ sin 2 |
|
sin1 + sin 2 +... + sin N |
5.Дано действительное число Х. Вычислить
x − |
x3 |
+ |
x5 |
− |
x7 |
+ |
x9 |
− |
x11 |
+ |
x13 |
. |
|
3! |
5! |
7! |
9! |
11! |
13! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6.Даны натуральное число N и действительное число Х. Вычислить
S = sin x +sin sin x +... +sin sin ...sin x
14243
nраз
7.Даны действительное число А и натуральное число N. Вычислить
P = a(a +1)...(a + n −1)
8.Даны действительное число А и натуральное число N. Вычислить
P = a(a −n)(a −2 n)...(a −n2 )
9.Даны действительное число А и натуральное число N. Вычислить
S = |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+... + |
1 |
|
a |
a2 |
a4 |
a2 n−2 |
|||||
|
|
|
|
10. Дано действительное число X. Вычислить
(x −1)(x −3)(x − 7)...(x − 63)
(x − 2)(x − 4)(x −8)...(x − 64)
11.Вычислить (1 + sin 0,1)(1 + sin 0,2)...(1 + sin10)
12.Даны натуральное число N и действительное число Х. Вычислить sin x +sin x2 +... +sin xn
13.Дано натуральное число N. Вычислить
S =1 2 + 2 3 4 +... + n(n +1)...2n
14.Дано натуральное число N. Вычислить
P = 1 − 212 1 − 312 ... n − n12 , где N > 2
15.Дано натуральное число n. Вычислить
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
||||
P = 1 |
− |
|
1 |
− |
|
1 |
− |
|
... 1 |
− |
|
. |
|
2 |
4 |
6 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
16. Дано натуральное число n. Вычислить
S =1!+2!+3!+...n! (n >1)
70
17.Дано натуральное число n. Вычислить
S = |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+... + |
1 |
|
|
72 |
(2n +1)2 |
||||
32 |
52 |
|
|
18.Для данного действительного числа х вычислить по схеме Горнера y = x10 + 2x9 + 3x8 +... +10x +11.
19.Числа Фибоначчи (Fn) определяются формулами
f0 = f1 =1 f n = fn−1 + fn−2 при n =2,3,... |
Определить f40. |
20.Дано натуральное число n. Вычислить у = 1 3 5...(2n -1).
21.Дано натуральное число n. Вычислить у = 2 4 6... (2n).
22.Вычислить у = cos х + cos х2 + cos х3 +... + cos хn.
23.Вычислить у = sin 1 + sin 1,1 + sin 1,2 +... + sin 2.
24.Даны натуральные числа N и K. Вычислить
k + 2k +... + k(n −1) + kn
25. Дано натуральное число N. Вычислить
12 + 32 + 43 +... + n n+1
26.Дано целое число n. Вычислить значение выражения
b = (1 + |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ ... + |
1 |
) |
n |
. |
||
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
27.Дано натуральное число N. Вычислить
S = 2 + 2 4 +... + n(n + 2)...2n , где n – четное число
28. Даны натуральное число N и действительное число Х. Вычислить sin x + sin2x2 + ... + sinnxn
29.Дано целое число m. Вычислить значение выражения
(9 +(9 +... +(9 +91/ 2 )1/ 3...)1/ m−1 )1/ m .
30.Даны целые числа n и m (n >= m > 0). Вычислить число размеще-
ний из n по m по формуле Amn = n(n −1)K(n −m +1) .
Задание 5.2 Вычисление последовательностей
Для всех задач:
-значение E выбирается студентом в зависимости от конкретной задачи и согласовывается с преподавателем, обычно это число принимается равным 0.001;
-массивы при решении не использовать.
Даны числовой ряд и некоторое число E. Найти сумму тех членов ряда,
71
модуль которых больше или равен заданному E. Общий член ряда имеет вид в соответствии с вашим вариантом, где n =1,2K∞.
1. an = (− |
1) |
n |
−1 |
|
|
|
|
2. an |
= |
|
1 |
+ |
1 |
|
|
3. an |
= |
2 n −1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
3 |
n |
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. an = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5. an |
= |
10n |
|
|
|
|
|
|
6. an |
= |
|
n! |
|
|
|
|||||||||||||
(3 |
n − 2) (3 n +1) |
|
|
|
|
|
|
(2 n)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7. an = |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. a |
|
= |
2n n! |
|
|
|
|
|
9. a |
|
= |
3n n! |
|
|
|
||||||||||||||||
nn |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 n)! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. an = |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
11. an = |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
12. a |
|
= |
2n |
|
|
|
||||||||||||||||
|
nn |
|
|
|
(2n )! |
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
13. an = (−1)n−1 |
( |
x |
)n−1 |
14. an |
= |
|
(−1) |
n |
15. an = (−1)n |
x |
2n |
||||||||||||||||||||||||||||||
(n +1)(n + 2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(n +1)! |
(2n)! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти наименьший номер члена последовательности A, для которого выполняется условие |A n — A n-1| < E. Вывести на экран этот номер и все элемен-
ты Ai где i= 1, 2,..., n.
16. an = arctg an−1 +1, a1 = 0 |
|
17. an |
= |
2 + |
|
1 |
|
|
|
, a1 = 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18. a |
n |
= |
|
|
1 |
tg a |
n−1 |
, a = 0,5 |
|
19. a |
n |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
(2 n)2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20. an |
= |
|
|
1 |
cos an−1 , a1 = 0,5 |
|
21. an |
= |
|
2 + an2−1 |
, |
a1 = 2 |
||||||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 an−t |
|
|
|
|
||||
22. an |
= |
|
|
an−1 + an−2 |
, a1 =1, a2 |
= 2. |
23. an |
= |
|
nln n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(ln n)n |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
24. a |
n |
= e−an −1 , a |
= 0 |
|
25. an |
= |
|
|
x |
, |
|
a1 = x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 an2−1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти наименьший номер элемента последовательности, для которого выполняется условие М. Вывести на экран этот номер и все элементы аi ,
где i=1, 2,.., n.
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
27. an = |
(−1)n n |
, |
M : |
|
an |
|
< ε |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
26. an = |
|
|
an−1 |
+ |
|
, a1 |
= |
1, M : |
an |
− 2 |
|
|
<ε |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
an−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
28. a |
n |
= |
(−1)n 2n |
, M : |
|
a |
n |
|
|
< ε |
|
|
|
|
|
|
29. an = |
|
, M : an <ε |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
30. (−1)n−1( |
|
|
|
|
|
|
)2(n−1) , M : |
|
a |
|
<ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(n +1)(n + 2)(n + |
3) |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72